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2013年高考数学 一轮复习 第6讲 幂函数与二次函数(学生)

第6讲
【2013 年高考会这样考】 1.求二次函数的解析式. 2.求二次函数的值域与最值.

幂函数与二次函数

3.利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题. 【复习指导】 本讲复习时,应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质,重点解决二次 函数在闭区间上的最值问题,掌握求函数最值的常用方法:配方法、判别式法、不等式法、换元法、 导数法等,注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用.

基础梳理 1.幂函数的定义 一般地,形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量,α 为常数.

2.幂函数的图象 1 在同一平面直角坐标系下,幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=x-1 的图象分别如右图. 3.幂函数的性质

y=x

y=x2

y=x3

1

y ? x2

y=x-1

定义域 值 域

R R 奇

R [0,+∞) 偶

R R 奇

[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶

{x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0} 奇

奇偶性

-1-

单调性



x∈[0,+∞)时,增 x∈(-∞,0]时,减





x∈(0,+∞)时,减 x∈(-∞,0)时,减

定点 4.二次函数的图象和性质 解析式

(0,0),(1,1)

(1,1)

f(x)=ax2+bx+c(a>0)

f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图象

定义域 值域

(-∞,+∞) ?4ac-b ? ? ? 4a ,+∞? ?
2

(-∞,+∞) 4ac-b ? ? ?-∞, ? 4a ? ?
2

单调性

? b ? 在 x∈?-2a,+∞?上单调递增 ? ? b? ? 在 x∈?-∞,-2a?上单调递增 ? ?

b? ? 在 x∈?-∞,-2a?上单调递减 ? ? ? b ? 在 x∈?-2a,+∞?上单调递减 ? ?

奇偶性 顶点 对称性

当 b=0 时为偶函数,b≠0 时为非奇非偶函数 ? b 4ac-b ? ?- , ? 4a ? ? 2a
2

b 图象关于直线 x=-2a成轴对称图形

5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

五个代表
1

函数 y=x,y=x2,y=x3, y ? x 2 ,y=x-1 可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表.
-2-

两种方法 函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)的图象关于 x= 对称. (2)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数 y=f(x)的图 象关于直线 x=a 对称(a 为常数). 双基自测 1.(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=( A.-3 B.-1 C.1 D.3 ). x1+x2 2

1 2 . 如图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象.已知 n 取± 2,± 四个值,则相应于曲线 C1,C2, 2 C3,C4 的 n 值依次为( ).

1 1 A.-2,-2,2,2 1 1 C.-2,-2,2,2

1 1 B.2,2,-2,-2 1 1 D.2,2,-2,-2 ).

?-x,x≤0, 3.(2011· 浙江)设函数 f(x)=? 2 若 f(α)=4,则实数 α 等于( ?x ,x>0. A.-4 或-2 C.-2 或 4 B.-4 或 2 D.-2 或 2

4.已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b 等于( A.3 B.2 或 3 C.2 D.1 或 2

).

5.(2012· 武汉模拟)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4], 则该函数的解析式 f(x)=________.

考向一

二次函数的图象 ).

【例 1】?(2010· 安徽)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是(

-3-

分析二次函数的图象,主要有两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二次函数图 象的开口方向;二是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体位置.对于函数图象判断类似题要会 根据图象上的一些特殊点进行判断,如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等. 【训练 1】 已知二次函数 f(x)的图象如图所示,则其导函数 f′(x)的图象的大致形状是( ).

考向二

二次函数的性质

【例 2】?函数 f(x)=x2-2x+2 在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数表达式; (2)作 g(t)的图象并写出 g(t)的最小值.

(1)二次函数 y=ax2+bx+c,在(-∞,+∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式 求出;(2)二次函数 y=ax2+bx+c,在[m,n]上的最值需要根据二次函数 y=ax2+bx+c 图象对称轴 的位置,通过讨论进行求解.
-4-

【训练 2】 已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值. (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.

考向三

幂函数的图象和性质

【例 3】?已知幂函数 f(x)=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满 m m 足(a+1)- 3 <(3-2a)- 3 的 a 的取值范围.

【训练 3】幂函数 y=xa, a 取不同的正数时, 当 在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图). 设 点 A(1,0), B(0,1), 连接 AB, 线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα, y=xβ 的图象三等分, 即有|BM| =|MN|=|NA|.那么,αβ=( A.1 C.3 ). B.2 D.无法确定

-5-

规范解答 4——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值 【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题,一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最 值,当函数解析式中含有参数时,要根据参数的取值情况进行分类讨论,避免漏解. 【解决方案】 对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)而言,首先确定对称轴,然后与所给区间的位 置关系分三类进行讨论. 【示例】?已知 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间[0,1]内有最大值-5,求 a 的值及函数表达式 f(x).

【试一试】 设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a).

-6-


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