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2013年高考数学 一轮复习 第6讲 幂函数与二次函数(教师版)

第6讲
【2013 年高考会这样考】 1.求二次函数的解析式. 2.求二次函数的值域与最值.

幂函数与二次函数

3.利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题. 【复习指导】 本讲复习时,应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质,重点解决二次 函数在闭区间上的最值问题,掌握求函数最值的常用方法:配方法、判别式法、不等式法、换元法、 导数法等,注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用.

基础梳理 1.幂函数的定义 一般地,形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量,α 为常数.

2.幂函数的图象 1 在同一平面直角坐标系下,幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=x-1 的图象分别如右图. 3.幂函数的性质

y=x

y=x2

y=x3

1 y=x2

y=x-1

定义域

{x|x∈R 且 R R R [0,+∞) x≠0} {y|y∈R 且 R [0,+∞) R [0,+∞) y≠0}
-1-





奇偶性



偶 x∈[0,+∞)



非奇非偶

奇 x∈(0,+∞)时,

单调性



时,增 x∈(-∞,0] 时,减





减 x∈(-∞,0)时, 减

定点 4.二次函数的图象和性质 解析式

(0,0),(1,1)

(1,1)

f(x)=ax2+bx+c(a>0)

f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图象

定义域 值域

(-∞,+∞) ?4ac-b ? ? ,+∞? ? 4a ?
2

(-∞,+∞) 4ac-b ? ? ?-∞, ? 4a ? ?
2

单调性

? b ? 在 x∈?-2a,+∞?上单调递增 ? ? b? ? 在 x∈?-∞,-2a?上单调递增 ? ?

b? ? 在 x∈?-∞,-2a?上单调递减 ? ? ? b ? 在 x∈?-2a,+∞?上单调递减 ? ?

奇偶性 顶点 对称性

当 b=0 时为偶函数,b≠0 时为非奇非偶函数 ? b 4ac-b ? ?- , ? 4a ? ? 2a
2

b 图象关于直线 x=-2a成轴对称图形

5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

五个代表
-2-

1 函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=x-1 可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表. 两种方法 函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)的图象关于 x= 对称. (2)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数 y=f(x)的图 象关于直线 x=a 对称(a 为常数). 双基自测 1.(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=( A.-3 解析 答案 B.-1 C.1 D.3 ). x1+x2 2

∵f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-3. A

1 2.如图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象.已知 n 取± 2,± 四个值,则相应于曲线 C1,C2, 2 C3,C4 的 n 值依次为( ).

1 1 A.-2,-2,2,2 1 1 C.-2,-2,2,2 答案 B

1 1 B.2,2,-2,-2 1 1 D.2,2,-2,-2

?-x,x≤0, 3.(2011· 浙江)设函数 f(x)=? 2 若 f(α)=4,则实数 α 等于( ?x ,x>0. A.-4 或-2 C.-2 或 4 解析 答案 B.-4 或 2 D.-2 或 2

).

?α≤0, ?α>0, 由? 或? 2 得 α=-4 或 α=2,故选 B. ?-α=4 ?α =4, B ).

4.已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b 等于( A.3 解析 B.2 或 3 C.2 D.1 或 2

函数 f(x)=x2-2x+2 在[1,b]上递增,

-3-

?f?1?=1, 由已知条件?f?b?=b, ?b>1,
答案 C

2 ?b -3b+2=0, ? 即 解得 b=2. ?b>1.

5.(2012· 武汉模拟)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4], 则该函数的解析式 f(x)=________. 解析 f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2

由已知条件 ab+2a=0,又 f(x)的值域为(-∞,4],

?a≠0, 则?b=-2, ?2a2=4.
答案 -2x2+4

因此 f(x)=-2x2+4.

考向一

二次函数的图象 ).

【例 1】?(2010· 安徽)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是(

[审题视点] 分类讨论 a>0,a<0. 解析 b 若 a>0,则 bc>0,根据选项 C、D,c<0,此时只有 b<0,二次函数的对称轴方程 x=-2a

b >0,选项 D 有可能;若 a<0,根据选项 A,c<0,此时只能 b>0,二次函数的对称轴方程 x=-2a b >0,与选项 A 不符合;根据选项 B,c>0,此时只能 b<0,此时二次函数的对称轴方程 x=-2a< 0,与选项 B 不符合.综合知只能是选项 D. 答案 D 分析二次函数的图象,主要有两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二次函数图
-4-

象的开口方向;二是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体位置.对于函数图象判断类似题要会 根据图象上的一些特殊点进行判断,如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等. 【训练 1】 已知二次函数 f(x)的图象如图所示,则其导函数 f′(x)的图象的大致形状是( ).

解析

由函数 f(x)的图象知:当 x∈(-∞,1]时,f(x)为减函数,∴f′(x)≤0;当 x∈[1,+∞)时,f(x)

为增函数,∴f′(x)≥0.结合选项知选 C. 答案 C 考向二 二次函数的性质

【例 2】?函数 f(x)=x2-2x+2 在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数表达式; (2)作 g(t)的图象并写出 g(t)的最小值. [审题视点] 分类讨论 t 的范围分别确定 g(t)解析式. 解 (1)f(x)=(x-1)2+1.

当 t+1≤1,即 t≤0 时,g(t)=t2+1. 当 t<1<t+1,即 0<t<1 时,g(t)=f(1)=1 当 t≥1 时,g(t)=f(t)=(t-1)2+1

?t +1≤0,t≤0, 综上可知 g(t)=?1,0<t<1, ?t2-2 t+2,t≥1.
(2)g(t)的图象如图所示,可知 g(t)在(-∞,0]上递减,在[1,+∞)上递增,因此 g(t)在[0,1]上取到最 小值 1.

2

(1)二次函数 y=ax2+bx+c,在(-∞,+∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式 求出;(2)二次函数 y=ax2+bx+c,在[m,n]上的最值需要根据二次函数 y=ax2+bx+c 图象对称轴

-5-

的位置,通过讨论进行求解. 【训练 2】 已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值. (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 解 (1)当 a=-1 时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],

∴x=1 时,f(x)取得最小值 1; x=-5 时,f(x)取得最大值 37. (2)函数 f(x)=(x+a)2+2-a2 的图象的对称轴为直线 x=-a, ∵y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数, ∴-a≤-5 或-a≥5, 故 a 的取值范围是 a≤-5 或 a≥5. 考向三 幂函数的图象和性质

【例 3】?已知幂函数 f(x)=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数, m m 求满足(a+1)- 3 <(3-2a)- 3 的 a 的取值范围. [审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数 m2-2m-3<0,再结合 m 是整数,及幂函数是偶数可得 m 的值. 解 ∵函数在(0,+∞)上递减,

∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3. ∵m∈N*,∴m=1,2. 又函数的图象关于 y 轴对称, ∴m2-2m-3 是偶数, 而 22-2×2-3=-3 为奇数, 12-2×1-3=-4 为偶数, ∴m=1. 1 而 f(x)=x-3在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数, 1 1 ∴(a+1)-3<(3-2a)-3等价于 a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a. 2 3 解得 a<-1 或3<a<2.

-6-

? 2 3? 故 a 的取值范围为?a|a<-1或3<a<2?. ? ?

本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体,综合性较强,解此题的关键是弄清 幂函数的概念及性质.解答此类问题可分为两大步:第一步,利用单调性和奇偶性(图象对称性)求 出 m 的值或范围;第二步,利用分类讨论的思想,结合函数的图象求出参数 a 的取值范围.

【训练 3】幂函数 y=xa, a 取不同的正数时, 当 在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图). 设 点 A(1,0), B(0,1), 连接 AB, 线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα, y=xβ 的图象三等分, 即有|BM| =|MN|=|NA|.那么,αβ=( A.1 C.3 解析 ). B.2 D.无法确定 1 ?2? 2 ?1? 21 1 ?1 2? ?2 1? 法一 由条件得 M?3,3?,N?3,3?,由一般性,可得3=?3?α,3=?3?β,即 α=log33,β=log3 ? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 lg3 lg3 2 21 12 .所以 αβ=log33· 33= 2· 1=1. log 3 lg lg 3 3 法二 1 ?2? 2 ?1? 由解法一,得3=?3?α,3=?3?β, ? ? ? ?

?1? ??1? ? ?2? 1 则?3?αβ=??3?β?α=?3?a=3,即 αβ=1. ? ? ?? ? ? ? ? 答案

A 规范解答 4——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值

【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题,一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最 值,当函数解析式中含有参数时,要根据参数的取值情况进行分类讨论,避免漏解. 【解决方案】 对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)而言,首先确定对称轴,然后与所给区间的位 置关系分三类进行讨论. 【示例】 ?(本题满分 12 分)(2011· 济南模拟)已知 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间[0,1]内有最大值-5, 求 a 的值及函数表达式 f(x). 求二次函数 f(x)的对称轴,分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论.

-7-

? a? [解答示范] ∵f(x)=-4?x-2?2-4a, ? ? ?a ? ∴抛物线顶点坐标为?2,-4a?.(1 分) ? ? a ①当2≥1,即 a≥2 时,f(x)取最大值-4-a2. 令-4-a2=-5,得 a2=1,a=± 1<2(舍去);(4 分) a a ②当 0<2<1,即 0<a<2 时,x=2时, f(x)取最大值为-4a. 5 令-4a=-5,得 a=4∈(0,2);(7 分) a ③当2≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,1]内递减, ∴x=0 时,f(x)取最大值为-4a-a2, 令-4a-a2=-5,得 a2+4a-5=0, 解得 a=-5 或 a=1,其中-5∈(-∞,0].(10 分) 5 综上所述,a=4或 a=-5 时,f(x)在[0,1]内有最大值-5. 105 ∴f(x)=-4x2+5x- 16 或 f(x)=-4x2-20x-5.(12 分) 求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得, 忽视对称轴 与闭区间的位置关系,不进行分类讨论. 【试一试】 设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a). [尝试解答] ∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线 x=1,而 x=1 不一定在区间[-2,a]

内,应进行讨论. 当-2<a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,ymin=a2-2a;当 a≥1 时,函数在[- 2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,ymin=-1.
2 ?a -2a,-2<a<1, 综上,g(a)=? ?-1,a≥1.

-8-


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