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2013-2014学年高二上学期 期末考试试卷(必修5+选修1-1)


2013-2014 学年高二上学期期末考试试卷(必修 5+选修 2-1) (高二理科数学)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。
1、 数列 {an } , 通项公式为 an ? n2 ? an , 若此数列为递增数列, 则 a 的取值范围是( (A) a ? ?2 (B) a ? ?3 (C) a ? ?2 ) (D) a ? 0 )

2、命题“ ?x ? 0, 都有x 2 ? x ? 0 ”的否定是( A. ?x ? 0, 使得x 2 ? x ? 0 C. ?x ? 0, 使得x2 ? x ? 0

B. ?x ? 0, 使得x2 ? x ? 0 D. ?x ? 0, 使得x 2 ? x ? 0
)

3、已知空间四边形 ABCD,连接 AC、 BD,则 AB ? BC ? CD ? (
A. BD B. AD C.

AC

D. 0

4、 ?ABC 中,已知 a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 列,则角 C ? ( (A) ) (B)

a cos B ? , A, B, C 成等差数 b cos A

? 3

? 6

(C)

? ? 或 6 2

(D)

? ? 或 3 2
)

x2 y 2 ? 1 的离心率为( 5、已知三个数 2, m,8 构成一个等比数列,则圆锥曲线 ? m 2

(A)

2 2

(B) 3

(C)

2 或 3 2

(D)

2 6 或 2 2
3

6、 已知数列{ an }满足 1 ? log3 an ? log3 an?1 (n ? N ? ) , 且 a2 ? a , 则o l g( 1 a a a ? ) 4 ?6a ? 9 5 ? 7 9 的值是( (A)
1 5

) (B) ?
1 5

(C)-5

(D)5

? x? y?2? 0 y ? 7、设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 u ? 的取值范围是( x ? y?2? 0 ?
第 1 页 共 1 页

)

?1 ? (A) ? , 2 ? ?3 ?

?1 1 ? (B) ? , ? ?3 2?

?1 ? (C) ? , 2 ? ?2 ?

? 5? (D) ? 2, ? ? 2?

8 、 在 ?A B C 中 , a, b, c 分 别 是 A, B, C 的 对 边 , 已 知 a, b, c 成 等 比 数 列 , 且
a 2 ? c 2 ? ac ? bc ,则

c 的值为( b sin B
(B)


) (C)
2 3 3
?x ? R, x 2 ? 1 ? ?x ? 0, x -

(A)

1 2

3 2
1 ?2 x

(D) 3

9、下列命题正确的是(
A. C.

?x ? (?? ,0) ? (0,?? ), x ? ?x ? R, x 2 ? 2 ? 1 ?2 x ?2
2

B. D.

1 ?2 x ?1
2

1 ?0 x

10、 已知直线 y ? k ( x ? a) (a ? 0) 与 x 轴交于点 A , 与直线 x ? c (c ? 0 , c ? a) 交于点 M , 椭圆 C 以 A 为左顶点,以 F (c , 0) 为右焦点,且过点 M ,当 ? k ? 时,椭圆 C 的 离心率的范围是( A. (0 , )
2 3 1 3 1 2

) B.( , 1)
2 3

C. ( , 1)

1 2

D. ( , ) )

1 2 2 3

11、 “ a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2 在区间 [3, ??) 内单调递增”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

12、已知方程 ax2 ? by2 ? ab和ax ? by ? c ? 0(其中ab ? 0, a ? b, c ? 0) ,它们所表示 的曲线可能是 ( )

(A)

(B)

(C)

(D)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13、过点 M (1,1) 作一直线与椭圆 中点,则 AB 所在直线的方程为
x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,若 M 点恰好为弦 AB 的 9 4



第 2 页 共 2 页

14 、 若 对 于 任 意 x ? 0 , 不 等 式 是 .

x ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围 x ? 3x ? 1
2

15 、 若 数 列 ?an ? 满 足 :

a1 ? 1 , 且 对 任 意 的 正 整 数

m , n 都 有

am? n? a m? a n 2 ?

m n ?a ? 的通项公式 a = ,则数列
n
n

. .

16、 若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点在圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 上, 则 p? 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17、 (本小题满分 10 分)设 p :实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q :

? x2 ? x ? 6 ? 0 实数 x 满足 ? 2 ?x ? 2x ? 8 ? 0
(I)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (II)若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 18 . (本 小题 满 分 12 分) 已 知 a, b, c 分 别为 ?ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对边 ,

3c sin B ? b cosC ? 2c ? a
(I)求 B ; (II)若 a ? c ? 2 6 , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积.

19、 (本小题满分 12 分) 云南 省镇雄县高坡村发生山体滑坡,牵动了全国人民的心,为了安置广大灾民, 救灾指挥部决定建造一批简易房,每间简易房是地面面积为 100 m 2 ,墙高 为 3m 的 长方体样式,已知简易房屋顶 每 1 m 2 的造价为 500 元,墙壁每 1 m 2 的造价为 400 元.问怎样设计一间简易房地面的长与宽,能使一间简易房的总造价最低?最低造 价是多少? 20. (本小题满分 12 分)已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,首项为 a1 ,
1 且 , an , S n 等差数列. 2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
第 3 页 共 3 页

1 b 2 (2)若 an ? ( ) bn ,设 cn ? n ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 2 an

21. 22. 已知三棱锥 O-ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两互相垂直,OA=1,OB=OC=2,D 是 OC
中点,E 是 BD 中点 (1)求点 D 到平面 ABC 的距离; (2)求二面角 O-AB-C 的余弦值; (3)在线段 OA 上是否存在一点 F,使得 EF//平面 ABC, 确定 F 的位置,不存在说明理由。

22. (本小题满分 12 分)动点 M ( x, y ) 与定点 F ( 3,0) 的距离和它到直线 l : x ?
3 ,记点 M 的轨迹为曲线 C . 2

4 3

的距离之比是常数

(I)求曲线 C 的方程; (II)设直线 x ? my ? 1 与曲线 C 交于 A, B 两点, O 为坐标原点,求 ?AOB 面积 的最大值.

第 4 页 共 4 页

参考答案
1. B
2 【 解 析 】 因 为 an ? n ? a的 n 对称轴为 n ? ?

a ,因为此数 列为递 增数列, 所以 2

?a 3 ? ,? a ? ?3 . 2 2
2.C 3.D 4.D 试题分析:A、B、C 成等差数列,所以 B ? 60 .由

a cos B ? 及正弦定理得: b cos A

sin A cos B 3 ? ? sin 2 A ? sin 2 B ? .? 2 B ? 60 或 120 .所以 B ? 30 或 60 , C ? 60 sin B cos A 2
或 90 .选 D 5.C 【解析】 试题分析:三个数 2, m,8 构成一个等比数列,所以 m ? 2 ? 8 ? 16 ? m ? ?4 ,当 m ? 4 时,
2

曲线为椭圆,离心率为 e ?

c 4?2 2 ? ? ,当 m ? ?4 时曲线为双曲线,此时离心率为 a 2 2

e?

2 c 2?4 或 3 ? ? 3 ,所以离心率为 2 a 2

6.C 试题分析:

1? l o 3 gan ? l o an? 1? ,a? ? 3g n 1

a3 ?? , a ?n 是 公 比 为 3 的 等 比 数 列 , 由 n
3 5

a2 ? a4 ? a6 ? 9 可得 a5 ? a7 ? a9 ? (a2 ? a4 ? a6 ) ? 3 ? 3 ,
所以 log 1 (a5 ? a7 ? a9 ) ? log 1 3 ? ?5.
5
3

3

7.A

? x? y?2? 0 y ? 解:因为设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 u ? 表示为原点与区域内点连线的斜率的范 x ? y?2? 0 ?
围,那么可知过点(4,2) (1,3)得到取值范围是 ? , 2 ? ,选 A 3

?1 ?

? ?

第 5 页 共 5 页

8.C 试题分析:因为 a , b , c 成等比数列,所以 b 2 ? ac . 又 a 2 ? c 2 ? ac ? bc ,∴ b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc . 在 ABC 中,由余弦定理得: cos A ? 由正弦定理得 sin B ?

b 2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? ,那么 ?A ? 60? . 2bc 2bc 2

b sin A ,又因为 b 2 ? ac , ?A ? 60? , a

所以 9.C

c ac 1 2 3 . ? 2 ? ? b sin B b sin 60? sin 60? 3

10.D

11.A 试题分析:∵当函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2 在区间 [3, ??) 内单调递增时,对称轴 x ? a ? 3 ,∴ “ a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2 在区间 [3, ??) 内单调递增”的充分不必要条件. 12.B 【 解 析 】 方 程 ax2 ? by2 ? ab 可 化 为

x2 y2 ? ? 1 , 方 程 ax ? by ? c ? 0 可 化 为 b a

a c a c y ? ? x ? ;由 A 可知 b ? 0, a ? 0 ,则直线 y ? ? x ? 应过第一、三象限,排除 A; b b b b a c 由 B 可知 a ? 0, b ? 0 ,则直线 y ? ? x ? 应过第一、二、三象限.故选 B. b b
13. 4 x ? 9 y - 13 ? 0

x y x2 y 2 设 A( x1 , x2 ), B( x2 , y 2 ) ,分别代入椭圆 ? ? 1 的方程中,可得: 1 ? 1 ? 1, ① 9 4 9 4
2 2 ( x ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ( y ? y 2 )( y1 ? y 2) x2 y ?? 1 ? 2 ? 1, ②,由①-②可得, 1 ,因为点 M 是 9 4 9 4

2

2

弦 AB 的中点, ∴ x1 ? x2 ? 2, y1 ? y 2 ? 2 , ∴ 所以直线 AB 的方程为

y1 ? y 2 4 ? ? =k , 又因为直线过点 M(1,1) , x1 ? x2 9

4 y ? 1 ? ? (x ? 1) ,即 4 x ? 9 y - 13 ? 0 . 9
第 6 页 共 6 页

14. a ?

1 5

1 1 1 1 x 1 x ? 0 ? x ? ? 2 ? x ? ? 3 ? 5? ? , ? 1 x x x ? 3x ? 1 x ? 1 ? 3 x? ?3 5 x x 1 1 1 的最大值为 ? a ? 1 5 5 x? ?3 x
2

15. n 2 令 m ? 1 ,由 am? n ? am ? an ? 2mn 得 an ?1 ? an ? a1 ? 2n ,又 a1 ? 1 ,所以 an?1 ? an ? 2n ? 1 .因此
a2 ? a1 ? 3 a3 ? a2 ? 5 a4 ? a3 ? 7

????
an ? an ?1 ? 2n ? 1(n ? 2)

上 述 n ? 1 个 式 子 累 加 得 : an ? a 1 ? 3 ?5 ? 7 ?
2

n ?1 ?( 2 n ?1) ? 2

( 3 ?n2 ? 1)2 n ?
2

,2 ) ? 1, n ( ?

a1 ? 1 ,所以 an ? n ,(n ? 2) ,又 a1 ? 1 满足该式.所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? n .

16.2

17. 解: (1)当 a =1 时, p : 1 ? x ? 3 2 分

q : 2 ? x ? 3 4 分∵ p ? q 为真
∴ x 满足 ?

?2 ? x ? 3 ,即 2 ? x ? 3 ?1 ? x ? 3

(2)由 ?p 是 ?q 的充分不必要条件知, q 是 p 的充分不必要条件 8 分 由 p 知,即 A= ?x | a ? x ? 3a, a ? 0? 由 q 知,B= ?x | 2 ? x ? 3? ∴B ? A 所以, a ? 2 且 3 ? 3a 即实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2

第 7 页 共 7 页

18.解: (1)由正弦定理: 3 sin B ? cos B ? 2

3分

? 2? . sin( B ? ) ? 1, B ? 6 3

6分

(2)因为, a ? c ? 2 6 , b ? 2 3 ,所以,应用余弦定理可得 ac ? 12 ,

?ABC 的面积为 3 3 .
100 --------------------------------------2 分 m x 100 则总造价 y ? 100 ? 500 ? (6 x ? 6 ? ) ? 400 --------------------------------------6 分 x 100 y ? 50000 ? ( x ? ) ? 2400 ------------------------------------8 分 x ? 50000 ? 20 ? 2400 ? 98000 100 所 以 , 当 且 仅 当 x? 时 , 即 x=10m 时 , y 取 得 最 小 值 . x
19.解:设地面的长为 x m,宽为 --------------------------------------11 分 答:设计地面长宽均为 1 0m 时,造价最低,为 98000 元。 ---------------12 分 ??????1 分

1 , an ? 0 2 1 1 ? a1 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? 2 2 1 1 当 n ? 2 时, S n ? 2an ? , S n ?1 ? 2an ?1 ? 2 2
20.解: (1)由题意知 2an ? S n ? 两式相减得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 整理得:

??????3 分

an ?2 an?1

??????? ?4 分

∴数列 ?an ? 是以

1 为首项,2 为公比的等比数列. 2 1 an ? a1 ? 2 n ?1 ? ? 2 n ?1 ? 2 n ?2 2
2 ?bn

????????5 分

(2) an ? 2

? 22n?4
????????6 分

∴ bn ? 4 ? 2n ,

Cn ?
Tn ?

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n

8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? ① 2 2 2 2 2n 1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ② 2 2 2 2n 2
第 8 页 共 8 页

①-②得

1 1 1 1 16 ? 8n Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 2 16 ? 8n 2 2 ? 4 ?8? ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4?( 4 1 ? n ?1 ) ? n ?1 2 2 4n ? n. 2 8n ? Tn ? n . 2

??????9 分

????????????11 分 ?????????????12 分

21.解: f ( x) ? ax ? ln x(a ? R) ? x ? (0, ??)

1 ax ? 1 ? x x ' 1 (1)若 a ? ?1, k ? f ( ) ? ?1 ? 2 ? 1 ; 2 f ' ( x) ? a ?
(2)当 a ? 0, f ' ( x) ? 0,? f ( x)在( 为增函数 0, ? ?) 当 a ? 0, 令 f ( x) ? 0 ? 0 ? x ? ?
'

??????????1 分 ??????????3 分 ??????5 分

[来 源:学科网 ]

1 , a

1 f ' ( x) ? 0 ? x ? ? , [来源:Z,xx,k.Com] a
综上: a ? 0, f ( x)的单调增区间为( 0, ? ?)

1 1 a ? 0, f ( x)的单调增区间为(0,- ) , 减区间为( ? , ??) ???9 分 a a
(3)由(2)知,当 a ? 0 时,一定符合题意; ??????????10 分

, 减区间为( ? 当 a ? 0, f ( x)的单调增区间为(0,- )
1 1 ? f ( x) max ? f (? ) ? ?1 ? ln(? ) a a

1 a

1 , ??) a

由题意知,只需满足? f ( x) max ? g ( x) max ? g (1) ? 0 ? ?1 ? ln( ? ) ? 0 ? ? 综上: a ? ?

1 a

1 ?a?0 e

1 . e

?????????12 分

22. 解: (I)设 d 是点 M 到直线 l : x ?

4 的距离,根据题意,点 M 的轨迹就是集合 3

P ? {M |

| MF | 3 ? } d 2

1?

第 9 页 共 9 页

由此得

( x ? 3)2 ? y 2 3 ? 4 2 |x? | 3

2?

将上式两边平方,并化简得 x 2 ? 4 y 2 ? 4 4?



x2 ? y2 ? 1 4
5?

x2 所以曲线 C 的方程为 ? y2 ? 1 4

? x2 2 ? ? y ? 1, (II)由 ? 4 得 (my ? 1)2 ? 4 y 2 ? 4 , ? ? x ? my ? 1,
即 (m2 ? 4) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 . 记 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ? ?

6?

2m 3 , y1 ? y2 ? ? 2 . 2 m ?4 m ?4
2 2

7?

2 于是 | AB |? 1 ? m ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? 1 ? m ? ( ?

2m 2 3 ) ? 4( ? 2 ) 2 m ?4 m ?4

?

4 1 ? m2 ? m2 ? 3 9 ? 2 m ?4
1 m2 ? 1
, 10?

又原点 O 到直线 AB 的距离 d ?

1 2 m2 ? 3 S ? ? | AB | ? d ? ? 所 以 ?AOB 2 4 ? m2
m ? 0 时取等号)
所以 ?AOB 面积的最大值为

?

m2 ? 3 ?

?

2 1 m2 ? 3

?

2 3? 1 3

?

3 (当 2

3 . 12? 2

第 10 页 共 10 页


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