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中考数学专题--判别式与韦达定理


中考专题训练----判别式与韦达定理
1、已知关于 x 的方程 kx -2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根,
2

(1) 求 k 的取值范围; (2) 是否存在实数 k,使此方程的两个实数根的倒数和等于 0 ?若存在,求 出 k 的值;若不存在,说明理由.

2、已知 x1、x2 是关于 x 的方程 x -6x+k=0 的两个实数根,且 x1 x2 -x1-x2=115,

2

2

2

(1)求 k 的值; (2)求 x12+x22+8 的值.

3、已知关于 x 的一元二次方程 x ? (2m ? 3) x ? m ? 0 的两个不相等的实数根 ? 、 ?
2 2

满足

1

?

?

1

?

? 1 ,求 m 的值。

4、已知关于 x 的方程 k2x2+(2k-)x+1=0 有两个相等的实数根 x1、x2. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使方程的两根互为相反数?如果存在,求出 k 的值;如果不存在, 请说明理由.

5、已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? (2k ? 3) x ? k 2 ? 0 的两个实数根 x1 , x 2 且 x1 +

x2 = x1 x2 ,求 k 的值。

6、关于 x 的方程 x 2 ? (5k ? 1) x ? k 2 ? 2 ? 0 ,是否存在负数 k ,使方程的两个实数根的倒 数和等于4? 若存在,求出满足条件的 k 的值;若不存在,说明理由。

7、已知关于 x 的方程 x +2(2-m)x+3-6m=0 (1) 求证:无论 m 取什么实数,方程总有实数根; (2)如果方程的两个实数根 x1、x2 满足 x1=3x2,求实数 m 的值.

2

练习题
1.一元二次方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的根的情况为(
2



A.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根
2

B.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 .
2 2

2. 若方程 kx -6x+1=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 3.设 x1、x2 是方程 3x +4x-5=0 的两根,则
2 2 2

1 1 ? ? x1 x 2

,.x1 +x2 = 时,两根互为倒数;

.

4.关于 x 的方程 2x +(m -9)x+m+1=0,当 m= 当 m= 时,两根互为相反数.
2

5.若 x1 = 3 ? 2 是二次方程 x +ax+1=0 的一个根,则 a= = .
2

,该方程的另一个根 x2

关于 x 的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的根的判别式为
2 ( 1 ) b ? 4ac >0 ? 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 有两个
2

. 实数根,即

x1, 2 ?
2

. 相等的实数根,即 x1 ? x2 ? 实数根. .

(2) b ? 4ac =0 ? 一元二次方程有
2

2 (3) b ? 4ac <0 ? 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0?
2

6. 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 a x ? b x? c?0 ( a? 0 )有 两 根 分 别 为 x1 , x 2 , 那 么

x1 ? x 2 ?
易错知识辨析:

, x1 ? x2 ?

.

(1)在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不 为零这个限制条件. (2)应用一元二次方程根与系数的关系时,应注意: ① 根的判别式 b ? 4ac ? 0 ;
2

② 二次项系数 a ? 0 ,即只有在一元二次方程有根的前提下,才能应用根与系数的 关系.

7. 当 k 为何值时,方程 x ? 6 x ? k ? 1 ? 0 ,
2

(1)两根相等;(2)有一根为 0;(3)两根为倒数.

8.下列命题: ① 若 a ? b ? c ? 0 ,则 b ? 4ac ? 0 ;
2

② 若 b ? a ? c ,则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根;
2

③ 若 b ? 2a ? 3c ,则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根;
2

④ 若 b ? 4ac ? 0 ,则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3.
2

其中正确的是( ) A.只有①②③ B.只有①③④

C.只有①④
2

D.只有②③④.

9.菱形 ABCD 的一条对角线长为 6,边 AB 的长是方程 x ? 7 x ? 12 ? 0 的一个根,则菱形 ABCD 的周长为 .

【中考真题】
1.设 x1,x2 是方程 2x2+4x-3=0 的两个根,则(x1+1)(x2+1)= __________,x12+x22= _________,

1 1 ? =__________,(x1-x2)2=_______. x1 x2
2

2.当 c ? __________时,关于 x 的方程 2 x ? 8 x ? c ? 0 有实数根.(填一个符合要求的数 即可)
2 3. 已知关于 x 的方程 x ? (a ? 2) x ? a ? 2b ? 0 的判别式等于 0,且 x ?

1 是方程的根,则 2
2 2

a ? b 的值为



2 4. 已知 a,b 是关于 x 的方程 x ? (2k ? 1) x ? k (k ? 1) ? 0 的两个实数根, 则 a ? b 的最小

值是


2 2

5.已知 ? , ? 是关于 x 的一元二次方程 x ? (2m ? 3) x ? m ? 0 的两个不相等的实数根, 且满足

1

?

?

1

?

? ?1 ,则 m 的值是(



A.3 或 ?1

B.3

C.1

D. ?3 或 1

6.一元二次方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两个根分别是 x1,x2 ,则 x12 x2 ? x1 x22 的值是( A.3 B. ?3
2.



C.

1 3

D. ?

1 3

7.若关于 x 的一元二次方程 x ? 2 x ? m ? 0 没有实数根,则实数 m 的取值范围是( A.m<l B.m>-1
2



C.m>l

D.m<-1

8.设关于 x 的方程 kx -(2k+1)x+k=0 的两实数根为 x1、x2,,若 求 k 的值.

x1 x 2 17 ? ? , x 2 x1 4

9.已知关于 x 的一元二次方程 x ? ? m ?1? x ? m ? 2 ? 0 .
2

(1)若方程有两个相等的实数根,求 m 的值; (2)若方程的两实数根之积等于 m ? 9m ? 2 ,求 m ? 6 的值.
2


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