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2概率的统计定义、古典概型


概率的统计定义

随机事件的频率Frequency
?随机试验 ?试验总次数n ?随机事件 ?事件A出现次数m

抛掷一枚均匀的硬币
将硬币抛掷n次 A=“出现正面” 出现正面m次

m ?随机事件的频率 f n ( A) n 事件A出现次数 f n ( A) ? 试验总次数n

抛掷硬币的试验 Experiment of tossing coin
?历史纪录

试 验 者 抛 掷 次 数n 出现正面的次数m 1061 德.摩 根 2048 2048 蒲 丰 4040 6019 12000 皮尔逊 24000 12012 皮尔逊 30000 14994 维 尼

出现正面的频率m/n

0.518 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998

频率和概率
? 频率的稳定性

随机事件A在相同条件下重复多次时,事件A 发 生的频率在一个固定的数值p附近摆动,随试验次数 的增加更加明显。
? 事件的概率

事件A的频率稳定在数值p,说明了数值p可以用 来刻划事件A发生可能性大小,可以规定为事件A 的概率。

概率的统计定义
对任意事件A,在相同的条件下重复进行n次试验, 事件A发 生的频率 m/n,随着试验次数n的增大而稳定地 在某个常数 附近摆动那么称p为事件A的概率

P( A) ? p
当试验次数足够大时,可以用事件A发生的频率近似 的代替事件A的概率。

古典概率 (Classical Probability)
考察如下几个试验:

抛两枚均匀的硬币,观察它们出现的正反面的情况。 掷骰子一颗,观察其点数。 掷一颗骰子并抛一枚硬币,观察骰子的点数和硬币的 正反面情况。
它们都具备如下特点: (1)每次试验中,所有可能的结果只有有限多个。 (2)每次试验中,每一种可能的结果发生的可能性相同。 满足这些条件的数学模型称作古典概率。

古典概率的概率定义——
设一古典概率的试验结果共有 n 个基本事件,而事件 A 由 其中的 m个基本事件组成,则事件 A 的概率为:

m P ? A? ? n

一、模球问题(产品的随机抽样问题)
? 例1 盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,分两 种情况求下列事件A、B、C的概率: 1、有放回地从中任取两次,每次取一只; 2、无放回地从中任取两次,每次取一只; A={取到的二只都是次品} B={取到的二只中正、次品各一只} C={取到的二只中至少有一只正品}

? 例2袋中有a个白球,b个黑球,从中任意地连续一个 一个地摸出k+1个球(k+1小于等于a+b),每次 摸出的球不放回袋中,试求最后一次摸到白球的概率。
解:从a+b个球中不放回地一个个地任意摸出k+1个球进行排列, 与顺序有关。
k ?1 S含有 Aa ?b 个基本事件。

设A={在摸出的k+1个球的排列中,最后一个是白球}

?

P( A) ?

1 k Aa ? Aa ?b ?1 k ?1 Aa ?b

(a ? b ? 1)! (a ? b ? k ? 1)! ? a? ? (a ? b ? 1 ? k )! (a ? b)!

a ? a?b

例3 某班有20 个同学,采取抽签的方式分配三张音乐会门票, 求同学MM抽到门票的概率.

3 ?19! 3 故所求的概率是:p ? ? 20! 20

原来不必 争先恐后!

二、分房问题(球在盒中的分布问题)
? 例4 将张三,李四,王五3人等可能地分配到三间房中去,试 求每个房间恰有1人的概率。

? 例5 将n个人等可能地分配到N(n小于等于N)间房中的每 一间去,试求下列事件的概率: A={某指定的n间房中各有1人} B={恰有n间房各有1人} C={某指定的房中恰有m(m≤n)个人}

例6 把 4 个小球随机放入 4 个盒内,求恰有一空盒的概率。 (设小球和盒均可分辩) 解:把 4 个小球随机放入 4 个盒内,共有 4 种方式,
1 从 4 个盒中选出一个空盒,共有C 4 种方法,

4

从余下的 3 个盒中再选出一个,并在 4 个球中 选两个放进去,有

CC

1 3

2 4

种方法,

剩下的两个盒各放一球有 2!种方式。

C ? C ? C ? 2! 144 9 ? ? 故所求的概率是:p ? 4 4 256 16
1 4 1 3 2 4

生日问题
某班有50个学生,求他们的生日无重复的概率 (设一年365天) A=“生日不相重复” ?分析 此问题可以用球在盒中分布情况来模拟 50个学生 365天
50 365

50个小球 365个盒子

C ? 50! P( A) ? ? 0.03 50 365

即生日重复 的概率

0.97!!!

三、随机取数问题
例7 从全体三位数中任取一个数,求下列事件的概率: (1)三位数中三个数字没有重复; (2)三位数中恰有两个数字相同。
解:全体三位数共有 9 ?10 个,其中没有重复数字的有
2

9 ? 9 ? 8 个,恰有两个数字相同的有 3 ? 9 ? 9 9 ? 9 ? 8 18 所以:(1)所求概率为:p ? ? 2 9 ?10 25 3 ? 9 ? 9 27 ? (2)所求概率为:p ? 2 9 ?10 100

个。

? 例8 从1~100的一百个整数中任取一数,试求取到的整数能被 6或8整除的概率。

几何概率( Geometric Probability)
? 将古典概率中的有限性推广到无限性,而保留等可

能性,就得到几何概率。
? 特点

? 有一个可度量的几何图形S ?试验E看成在S中随机地投掷一点
?事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中

A 的几何度量 L( A) P ( A) ? ? S的几何度量 L( S )
? 几何度量------指长度、面积或体积

在一个均匀的陀螺的圆周上均匀地刻上区间

?0, 3 ? 上的

诸数字,旋转这陀螺。求事件 A :“陀螺停下时其圆周与

?1 3? 桌面接触点的刻度位于区间 , ?上”的概率. ?2 2? ?
2

3 1 ? 2 2 ?1 解:P ? A? ? 3?0 3

0

1/2

1 3/2

几何概率的计算:两人能会面吗
甲乙二人相约在6:00-6:30在预定地点会面,先到的人因等 候另一人,经过10分钟后方可离开。求甲乙二人会面的概率,假定 他们在6:00-6:30内任一时刻到达是等可能的。

设甲乙二人到达预定地 点的时刻分别为 x 及 y, 则
?

y 30

0 ? x ? 30

0 ? y ? 30

二人会面 ? x ? y ? 10

10

p?

30 ? (30 ? 10)
2

2

30

2

5 ? 9

x

10

30

? 第一次作业:

习题一 5,6,15,18,20,21,23, 26,27,29
说明:作业只需要写题号,不用抄原题目。


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