当前位置:首页 >> 数学 >>

《金识源专版》高中新人教A版必修2数学课件2.3.3直线与平面垂直的性质_图文

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

第二章
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质

1

优效预习

2

高效课堂

3

当堂检测

4

课后强化作业

优效预习

●知识衔接
? 1.直线垂直于平面的定义:如果一条直线垂 直于一个平面内的___任_意______一条直线,则 称这条直线垂直于这个平面.
? 2.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直 线垂直于一个平面内的两条__相_交_____直线, 则这条直线垂直于这个平面.

? 3.如图,长方体AC1中,二面角D1-AB-D的 平面角是( )
? A.∠D1AB ? B.∠D1BA ? C.∠D1AD ? D.∠D1DA ? [答案] C

? 4.把等腰Rt△ABC沿斜边BC上的高线AD折成 一个二面角,此时∠BAC=60°,那么此二面 角的大小是________.
? [答案] 90°

●自主预习
? 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线___平__行__ 符号语言 ab⊥ ⊥αα??????____a_∥_b____
图形语言 作用 证明两直线___平_行______

? [破疑点] 直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线 平行的另一种方法,即“线面垂直,则线线平行”,它揭示 了“平行”与“垂直”的内在联系.
[知识拓展] 直线与平面垂直的性质 (1) bl⊥?αα??????l⊥b; (2) ab⊥ ⊥αα??????a∥b;

(3) aa∥ ⊥bα??????b⊥α; (4) aα⊥∥αβ??????a⊥β; (5) aa⊥ ⊥αβ??????α∥β.

●预习自测
? 1.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在 底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线, 则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关 系是( )
? A.相交 B.平行 ? C.异面 D.相交或平行 ? [答案] B

? 2.下列命题: ? ①垂直于同一条直线的两个平面互相平行; ? ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行;
? ③一条直线在平面内,另一条直线与这个平 面垂直,则这两条直线垂直.
? 其中正确的个数是( ) ? A.0 B.1 ? C.2 D.3 ? [答案] D ? [解析] ①②③均正确.

? 3.如图所示,在长方体ABCD- A1B1C1D1中,E∈平面ABCD, F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面
ABCD.
? 求证:EF∥AA1.
[分析] 只需证明AA1⊥平面ABCD即可.

? [证明] ∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB? 平面ABCD,AD?平面ABCD,
? ∴AA1⊥平面ABCD.
? 又∵EF⊥平面ABCD, ? ∴EF∥AA1.
规律总结:证明线线平行可转化为线面垂直,即转化为证明这两条直 线同时垂直于一个平面.

高效课堂

●互动探究

利用线面垂直的性质证明平行问题

?

如图,正方体A1B1C1D1-ABCD中,

EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:

EF∥BD1.

[探究] 要证明EF∥BD1,转化为证明EF⊥平面AB1C,BD1⊥平面AB1C.

[证明] 如图所示,连接 AB1,B1C,
BD.因为 DD1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,所以 DD1⊥AC.
又 AC⊥BD,DD1∩BD=D,所以 AC ⊥平面 BDD1.
又 BD1?平面 BDD1,所以 AC⊥BD1.
同理可证 BD1⊥B1C. 又 AC∩B1C=C,所以 BD1⊥平面 AB1C. 因为 EF⊥AC,EF⊥A1D,又 A1D∥B1C,所以 EF⊥B1C. 又 AC∩B1C=C,所以 EF⊥平面 AB1C.
所以 EF∥BD1.

?

规律总结:当题中垂直条件很多,但

又需证两直线平行关系时,就要考虑直线和

平面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行

的转化.

? 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M 是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面
A1DC.
? 求证:(1)MN∥AD1;(2)M是AB的中点.

? [分析] (1)证明MN∥AD1,转化为证明AD1⊥
平面A1DC,MN⊥平面A1DC.
? (2)利用平行公理和三角形的中位线定理证四 边形AMNO为平行四边形.
? [证明] (1)因为四边形ADD1A1为正方形,所
以AD1⊥A1D.
? 又因为CD⊥平面ADD1A1, ? 所以CD⊥AD1.
? 因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.
? 又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.

? (2)如图,设AD1与A1D的交点为O,连接ON, 在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC,

所以 ON 綊12CD 綊12AB.
所以 ON∥AM. 又因为 MN∥OA,∴四边形 AMNO 为平行四边形. 所以 ON=AM.
因为 ON=12AB,所以 AM=12AB.
所以 M 是 AB 的中点.

利用线面垂直的性质证明垂直问题

?

已知α∩β=AB,PQ⊥α于Q,PO⊥β

于O,OR⊥α于R.

? 求证:QR⊥AB.

? [探究] 证AB与QR所在的平面垂直,再根据
线面垂直的定义,即可证明QR⊥AB.

? [证明] 如图所示,因为α∩β=AB,PO⊥β于
O,所以PO⊥AB. ? 因为PQ⊥α于Q,所以PQ⊥AB.
? 因为PO∩PQ=P,
? 所以AB⊥平面PQO.
? 因为OR⊥α于R,所以PQ∥OR.
? 因为PQ与OR确定平面PQRO.
? 又因为QR?平面PQRO,AB⊥平面PQRO,所 以AB⊥QR.

?

规律总结:要证线线垂直,只需证线

面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理

证明,从而得出所需结论.因此,在解题时,

要充分体现线面关系的相互转化在解题中的

灵活应用.

线面垂直

性质 判定

线线垂直 .

? 如图,已知矩形ABCD,SA⊥平面 AC,AE⊥SB于E,EF⊥SC于F.
? (1)求证:AF⊥SC; ? (2)若SD交平面AEF于G,求证:
AG⊥SD.
[分析] (1)要证明AF⊥SC,转化成证明SC⊥平面AEF,充分利用其中的垂直关 系.
(2)要证AG⊥SD,转化成AG⊥平面SDC.

? [证明] (1)因为SA⊥平面AC,BC?平面AC,所以SA⊥BC. ? 因为ABCD是矩形,所以AB⊥BC. ? 又SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.因为AE?平面SAB,所以
BC⊥AE.
? 又SB⊥AE,SB∩BC=B,所以AE⊥平面SBC. ? 因为SC?平面SBC,所以AE⊥SC.
? 又EF⊥SC,EF∩AE=E,所以SC⊥平面AEF.
? 所以AF⊥SC.

? (2)因为SA⊥平面AC,所以SA⊥DC.
? 又AD⊥DC,SA∩AD=A,所以DC⊥平面
SAD.因为AG?平面SAD,所以DC⊥AG.
? 又由(1)有SC⊥平面AEF,AG?平面AEF.
? 所以SC⊥AG.又SC∩DC=C,所以AG⊥平面
SDC.因为SD?平面SCD, ? 所以AG⊥SD.

●探索延拓

线面垂直的性质的综合应用

?

如右图所示,在直

四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已 知DC=DD1=2AD=2AB,
AD⊥DC,AB∥DC.

? (1)求证:D1C⊥AC1;

(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并说明理由. [探究] (1)关键先证明线面垂直,然后证明线线垂直;(2)关键构造中位线得 线面平行.

? [解析] (1)证明:连接C1D. ? ∵DC=DD1,∴四边形DCC1D1是正方形,∴DC1⊥D1C.
? ∵AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D,
? ∴AD⊥平面DCC1D1,D1C?平面DCC1D1,∴AD⊥D1C.又
AD∩DC1=D,∴D1C⊥平面ADC1. ? 又AC1?平面ADC1,∴D1C⊥AC1.

? (2)如图,连接AD1、AE、D1E,

? 设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN. ? ∵平面AD1E∩平面A1BD=MN, ? 要使D1E∥平面A1BD, ? 须使MN∥D1E,又M是AD1的中点, ? ∴N是AE的中点.
? 又易知△ABN≌△EDN,∴AB=DE.
? 即E是DC的中点.
? 综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E∥平
面A1BD.

?

规律总结:线面垂直与平行的相互转化:

? (1)空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线 与直线平行可以相互转化,每一种垂直与平行的判 定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与 平行,最终达到目的.

(2)转化关系:

线线垂直判定定定义理线面垂直性质性判质定定定理理线线平行.

? 如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形, 且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为 线段AC1的中点.
? (1)求证:MF∥平面ABCD; ? (2)求证:平面AFC1⊥平面ACC1A1.

[证明] (1)如右图,延长 C1F 交 CB 的 延长线于点 N,连接 AN,BN,FN.因为 F 是 BB1 的中点,所以 F 为 C1N 的中点,B 为 CN 的中点.
又 M 是线段 AC1 的中点,故 MF∥AN.
又∵MF?平面 ABCD,AN?平面 ABCD. ∴MF∥平面 ABCD.

? (2)连接BD,
? 由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,
? 可知A1A⊥平面ABCD. ? 又∵BD?平面ABCD,∴A1A⊥BD. ? ∵四边形ABCD是菱形,故AC⊥BD.

? 又∵AC∩A1A=A, ? AC,A1A?平面ACC1A1, ? ∴BD⊥平面ACC1A1. ? 在四边形DANB中,DA∥BN,且DA=BN,所
以四边形DANB为平行四边形,故NA∥BD.
? ∴NA⊥平面ACC1A1. ? 又NA?平面AFC1, ? ∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.

●误区警示

易错点 证明说理过程不清晰,理由与结论衔接不恰当

?

已知a?α,a⊥b,b⊥α,求证a∥α.

? [错解] ∵b⊥α,a⊥b,∴a?α或a∥α.

? 又∵a?α,∴a∥α.

? [错因分析] 推理逻辑不严密,理由与结论衔接不 恰当.

? [思路分析] 本题垂直关系比较分散,不能按平面 几何的方法进行论证,应将其集中到一个平面内, 然后用平面几何知识解决.

? [正解] 如图,在a上任取一点A,过点A作直 线b′∥b.设b′∩α=B,过直线a,b′作平面β, β∩α=l.
? ∵b⊥α,∴b⊥l. ? 又∵b⊥a,b∥b′, ? ∴b′⊥a,b′⊥l. ? 又∵a,l同在β内, ? ∴a∥l. ? 又∵a?α,l?α,∴a∥α.

? 如图,设平面α与β相交于直线l,AC⊥α, BD⊥β,垂足分别为C、D,直线AB⊥AC, AB⊥BD,
? 求证:AB∥l.

? [证明] ∵AC⊥α,BD⊥β,α∩β=l,∴AC⊥l, BD⊥l;
? 过A作AE⊥β垂足为E,则AE∥BD, ? ∵AB⊥BD,∴AB⊥AE,∴AB⊥平面ACE; ? ∵AE⊥β,α∩β=l,∴AE⊥l, ? 又AC⊥l,∴l⊥平面ACE,∴AB∥l.

?

规律总结:要证线线平行,不具备公

理4的条件,没有线面平行、面面平行关系好

用,给出的条件多为垂直关系,于是想到应

用线面垂直的性质定理,只须找到这样一个

平面γ、l⊥γ、AB⊥γ,于是作辅助线围绕找γ

展开.

当堂检测

? 1.下列说法中不正确的是( ) ? A.若一条直线垂直于一个三角形的两边,则
一定垂直于第三边
? B.同一个平面的两条垂线一定共面 ? C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直
线垂直,且这些直线都在同一个平面内
? D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面 垂直
? [答案] D

? 2.已知直线a,b,平面α,且a⊥α,下列条 件中,能推出a∥b的是( )
? A.b∥α B.b?α ? C.b⊥α D.b∩α=A ? [答案] C

? 3.已知直线l⊥平面α,直线m?平面β,则下 列四个说法中正确的是( )
? ①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③ l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β.
? A.②④ B.①②
? C.③④ D.①③
? [答案] D

? 4.已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,如图所示, 且AF=DE,AD=6,则EF=________.
? [答案] 6 ? [解析] 因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以
AF∥DE,又AF=DE,所以四边形AFED是平行四边形, 所以EF=AD=6.

? 5.如图,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面 ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点.
? 求证:(1)DF∥平面ABC;
? (2)AF⊥BD.

[证明] (1)取 AB 的中点 G,连结 FG,CG,可得 FG∥AE, FG=12AE.
∵CD⊥平面 ABC,AE⊥平面 ABC,∴CD∥AE.
又∵CD=12AE,∴FG∥CD,FG=CD.
∵FG⊥平面 ABC,∴四边形 CDFG 是矩形,DF∥CG, 又 CG?平面 ABC,DF?平面 ABC,
∴DF∥平面 ABC.

? (2)由(1)知CG⊥GF,又CG⊥AB, ? ∴CG⊥面ABE, ? ∴CG⊥AF,DF∥CG,∴AF⊥DF ? 在Rt△ABE中,AF⊥BE,
? ∴AF⊥面BDF,∴AF⊥BD.


相关文章:
《金识源专版》高中新人教A版必修2数学课件2.3.3直线与....ppt
《金识源专版》高中新人教A版必修2数学课件2.3.3直线与平面垂直的性质 - 第
《金识源专版》高中新人教A版必修2数学课件2.3.4平面与....ppt
《金识源专版》高中新人教A版必修2数学课件2.3.4平面与平面垂直的性质 - 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 第二章 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2...
《金识源专版》高中新人教A版必修2数学课件2.3.1直线与....ppt
《金识源专版》高中新人教A版必修2数学课件2.3.1直线与平面垂直的判定1 - 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 第二章 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 ...
【精编】高中数学2.3.3直线与平面垂直的性质课件新人教....ppt
【精编】高中数学2.3.3直线与平面垂直的性质课件新人教A版必修2-精心整理 -
人教A版高中数学必修二:2.3.3直线与平面垂直的性质课件....ppt
人教A版高中数学必修二:2.3.3直线与平面垂直的性质课件2_数学_高中教育_教
人教A版高中数学必修二-2.3.3-直线与平面垂直的性质-课....ppt
人教A版高中数学必修二-2.3.3-直线与平面垂直的性质-课件 - 2.3.3 直线与平面垂直的性质 知识回顾 1、直线与平面垂直的定义 a?? b , a ? ? ? b ?...
...2.3.3-4平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2_....ppt
【全优课堂】2014年秋高中数学 2.3.3-4平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2_高一数学_数学_高中教育_教育专区。 自学导引 1.直线与平面垂直的性质定理 ...
人教A版高中数学必修二课件:2.3 线面垂直的性质 (共28....ppt
人教A版高中数学必修二课件:2.3 线面垂直的性质 (共28张PPT) - 一、知识回顾 如果一条直线和一个平面相交,并且 和这个平面内的任意一条直线都垂直,则 称这...
【金识源专版】高中新人教A版必修2数学课件第二章点、....ppt
金识源专版高中新人教A版必修2数学课件章点、直线平面之间的位置关系小结 - 第章 点、直线平面之间的位置关系 第章 章末归纳总结 1 知识结构 ...
人教A版高中数学必修二课件2.3.1《直线与平面垂直的判....ppt
人教A版高中数学必修二课件2.3.1《直线与平面垂直的判定》2.3.2《平面与平面垂直的判定》课件.pptx_高中教育_教育专区。高中数学课件(鼎尚图文***整理制作) ...
人教A版高中数学必修二课件2.3.1直线与平面垂直的判定2....ppt
人教A版高中数学必修二课件2.3.1直线与平面垂直的判定2.pptx_高中教育_教育专区。高中数学课件(鼎尚图文***整理制作) 2.3.1 直线与平面垂直的判定 ? 要点...
金识源专版高中数学2.3.4平面与平面垂直的性质试题新人....doc
金识源专版高中数学2.3.4平面与平面垂直的性质试题新人教A版必修2 - 2.3.4 平面与平面垂直的性质 一、选择题 1.平面 α ⊥平面 β ,直线 a∥α ,则( ...
《平面与平面垂直的性质》人教A版高中数学必修2_图文.ppt
《平面与平面垂直的性质》人教A版高中数学必修2_数学_高中教育_教育专区。人教A版高中数学必修2图文课件 平面与平面垂直的性质 提出问题: 1、平面与平面垂直的定义...
金识源专版高中数学233直线与平面垂直的性质教案新人教....doc
金识源专版高中数学233直线与平面垂直的性质教案新人教A版必修2(数学教案) - 2. 3.3 直线与平面垂直的性质 【教学目标】 (1)培养学生的几何直观能力和知识的...
...金识源专版高中数学 234 平面与平面垂直的性质教案 ....doc
【最新】金识源专版高中数学 234 平面与平面垂直的性质教案 新人教A版必修2 - 2. 3.4 平面与平面垂直的性质 【教学目标】 (1)让学生在观察物体模型的基础上,...
金识源专版高中数学2.3.1直线与平面垂直的判定试题2新....doc
金识源专版高中数学2.3.1直线与平面垂直的判定试题2新人教A版必修2 - 2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、选择题 1.下列命题中正确的个数是( ) ①如果直线 ...
...金识源专版高中数学 234 平面与平面垂直的性质学案 ....doc
【最新】金识源专版高中数学 234 平面与平面垂直的性质学案 新人教A版必修2 - 2.3.4 平面与平面垂直的性质 课前预习导学案 一、预习目标 (1) (2) 二、 ...
《金识源专版》高中新人教A版必修2数学素材第二章点、....doc
《金识源专版》高中新人教A版必修2数学素材第二章点、直线平面之间的位置关系小结 - 第章 点、直线平面之间的位置关系小结 第 1 题. 已知直线 a , b ...
【最新】金识源专版高中数学233直线与平面垂直的性质教....doc
【最新】金识源专版高中数学233直线与平面垂直的性质教案新人教A版必修2 - 2. 3.3 直线与平面垂直的性质 【教学目标】 (1)培养学生的几何直观能力和知识的应用...
...金识源专版高中数学 233 直线与平面垂直的性质试题 ....doc
【最新】金识源专版高中数学 233 直线与平面垂直的性质试题 新人教A版必修2 - 2.3.3 直线与平面垂直的性质 一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.若 l 上...