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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章 2.4.2向量在物理中的应用课件


2.4.2

2.4.2
【学习要求】

向量在物理中的应用

1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问
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题的过程. 2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具. 3.培养运用向量知识解决物理问题的能力. 【学法指导】 1.力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解就是向量的 加减法,利用向量的平行四边形法则或三角形法则加以解 决. 2.物体在力 F 的作用下,发生位移 s 时,力 F 所做的功就是力 F 与位移 s 的数量积. 3.动量是质量与速度的数乘向量.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.4.2

1.力与向量
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力与前面学过的自由向量有区别. (1)相同点:力和向量都既要考虑 大小 又要考虑 方向 . (2)不同点:向量与 始点 无关,力和 作用点 有关,大小和 方向相同的两个力, 如果作用点不同, 那么它们是不相等的. 2.向量方法在物理中的应用 (1)力、速度、加速度、位移都是 向量 . (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 加、 减 运算,运动的叠加亦用到向量的合成. (3)动量 mν 是 数乘向量 . (4)功即是力 F 与所产生位移 s 的 数量积 .

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2.4.2

探究点一
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向量的线性运算在物理中的应用

向量有丰富的物理背景.向量源于物理中的力、速度、加速 度、位移等“矢量”;向量在解决涉及上述物理量的合成与 分解时,实质就是向量的线性运算. 请利用向量的方法解决下列问题: 如图所示,在细绳 O 处用水平力 F2 缓慢拉起所受 重力为 G 的物体,绳子与铅垂方向的夹角为 θ, 绳子所受到的拉力为 F1. (1)求|F1|,|F2|随 θ 角的变化而变化的情况; (2)当|F1|≤2|G|时,求 θ 角的取值范围.

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解 (1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则, |G| 得-G=F1+F2,|F1|= , cos θ
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2.4.2

|F2|=|G|tan θ, 当 θ 从 0° 趋向于 90° 时,|F1|,|F2|都逐渐增大.
|G| 1 (2)由|F1|= ,|F1|≤2|G|,得 cos θ≥ . cos θ 2 又因为 0° ≤θ<90° , 所以 0° ≤θ≤60° .

几何画板演示

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探究点二 向量的数量积在物理中的应用

2.4.2

物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位 移的乘积,即 W=|F||s|cos〈F,s〉 ,功是一个实数,它可正
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可负,也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的 夹角,它实质是向量 F 与 s 的数量积. 例如:已知力 F 与水平方向的夹角为 30° (斜向上),大小为 50 N, 一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数 μ =0.02 的水平平面上运动了 20 m. 问力 F 和摩擦力 f 所做的 功分别为多少?(g=10 m/s2)

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2.4.2

本 课 时 栏 目 所以,摩擦力 f 的大小为 开 关 |f|=|μ(G-F )|=(80-25)×0.02=1.1(N),
1

如右图所示,设木块的位移为 s, 3 则 F· s=|F||s|cos 30° =50×20× =500 3(J). 2 将力 F 分解,它在竖直方向上的分力 F1 的大 1 小为|F1|=|F|sin 30° =50×2=25(N),



因此,f· s=|f||s|cos 180° =1.1×20×(-1)=-22(J).

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[典型例题] 例1

2.4.2

帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项

水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东 30° ,速度
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为 20 km/h,此时水的流向是正东,流速为 20 km/h.若不考 虑其他因素,求帆船的速度与方向.
解 建立如图所示的直角坐标系,风的方 向为北偏东 30° ,速度为|v1|=20(km/h), 水流的方向为正东, 速度为|v2|=20(km/h),

设帆船行驶的速度为 v, 则 v=v1+v2.
由题意,可得向量 v1=(20cos 60° ,20sin 60° )=(10,10 3),向 量 v2=(20,0),

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2.4.2

则帆船的行驶速度 v=v1+v2=(10,10 3)+(20,0)=(30,10 3),
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所以|v|= 302+?10 3?2=20 3(km/h). 10 3 3 因为 tan α= 30 = 3 (α 为 v 和 v2 的夹角,α 为锐角), 所以 α=30° . 所以帆船向北偏东 60° 的方向行驶,速度为 20 3 km/h.

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2.4.2

跟踪训练 1 某人在静水中游泳, 速度为 4 3 km/h, 水的流速 为 4 km/h,他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前 进?实际前进的速度大小为多少? → 解 如图所示,设此人的实际速度为OB,水流 → 速度为OA. → → ∵实际速度=游速+水速,故游速为OB-OA → =AB, → → → 在 Rt△AOB 中,|AB|=4 3,|OA|=4,|OB|=4 2,cos∠BAO → |OA| 3 = = . 3 → |AB| 3 故此人应沿与河岸夹角余弦值为 ,逆着水流方向前进,实际 3
前进速度的大小为 4 2 km/h.

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例2

2.4.2

已知两恒力 F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,

使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0). (1)求 F1,F2 分别对质点所做的功;
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(2)求 F1,F2 的合力 F 对质点所做的功. → 解 (1)AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15), → W1=F1· =(3,4)· AB (-13,-15)
=3×(-13)+4×(-15)=-99(J), → W2=F2· =(6,-5)· AB (-13,-15) =6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J).
∴力 F1,F2 对质点所做的功分别为-99 J 和-3 J.

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→ → (2)W=F· =(F1+F2)· AB AB =[(3,4)+(6,-5)]· (-13,-15)
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2.4.2

=(9,-1)· (-13,-15) =9×(-13)+(-1)×(-15) =-117+15=-102(J).
∴合力 F 对质点所做的功为-102 J.
小结 物体在力 F 作用下的位移为 s,则 W=F· s=|F|· |s|cos θ, 其中 θ 为 F 与 s 的夹角.

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2.4.2

跟踪训练 2

已知 F=(2,3)作用于一物体,使物体从 A(2,0)移

动到 B(-2,3),求 F 对物体所做的功. → 本 解 AB=(-4,3), 课 → s=F· =(2,3)· AB (-4,3) 时 W=F·
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=-8+9=1 (J).
∴力 F 对物体所做的功为 1 J.

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2.4.2

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1.用两条成 120° 角的等长的绳子悬挂一个灯具, 如图所示,已知灯具重 10 N,则每根绳子的 拉力大小为________ N. 10
解析 设重力为G,每根绳的拉力分别为F1, F2,则由题意得F1,F2与-G都成60° 角,且|F1|=|F2|.
∴|F1|=|F2|=|G|=10 N.

∴每根绳子的拉力都为 10 N.

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2.4.2

2.已知一个物体在大小为 6 N 的力 F 的作用下产生的位移 s 的大小为 100 m,且 F 与 s 的夹角为 60° 则力 F 所做的功 ,
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300 W=________ J.
解析 W=F· s=|F||s|cos〈F,s〉 =6×100×cos 60° =300(J).

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2.4.2

3.一条河宽为 8 000 m,一船从 A 出发航行垂直到达河正对岸 的 B 处,船速为 20 km/h,水速为 12 km/h,则船到达 B 处
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30 所需时间为________分钟. 解析 v 实际=v 船+v 水=v1+v2,
|v1|=20,|v2|=12,
∴|v|= |v1|2-|v2|2 = 202-122=16(km/h).

8 ∴所需时间 t=16=0.5(小时)=30(分钟).
∴该船到达 B 处所需的时间为 30 分钟.

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2.4.2

用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
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一般来说分为四步:(1)问题的转化,把物理问题转化成数学 问题;(2)模型的建立,建立以向量为主体的数学模型; (3)参数的获取,求出数学模型的相关解;(4)问题的答案,回 到物理现象中,用已经获取的数值去解释一些物理现象.


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