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《优化探究》2013届高三数学理科二轮复习专题演练1-4-1第一讲 等差数列、等比数列

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等差数列、等比数列

1-4-1 第一讲

一、选择题 1.(2012 年高考辽宁卷)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= ( ) A.12 C.20 解析:根据等差数列的性质求解. a2+a10=a4+a8=16. 答案:B 2.(2012 年高考课标全国卷)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8, 则 a1+a10=( A.7 C.-5 解析:解法一 ) B.5 D.-7 利用等比数列的通项公式求解. B.16 D.24

3 6 ?a4+a7=a1q +a1q =2, 由题意得? 4 2 9 a 5 ?a5a6=a1q × 1q =a1q =-8,

1 ? 3 ?q =-2, ?q3=-2, 解得? 或? ?a1=1 ?a1=-8, ? ∴ 1+a10=a1(1+q9)=-7. a 解法二 利用等比数列的性质求解.

?a4+a7=2, ?a4=-2, ?a4=4, 由? 解得? 或? ?a5a6=a4a7=-8 ?a7=4 ?a7=-2. 1 ? 3 ?q =-2, ?q3=-2, ? ∴ 或? ?a1=1 ?a1=-8, ? ∴ 1+a10=a1(1+q9)=-7. a 答案:D

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S2 012 S2 009 3 3.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a1=2 009,且2 012-2009=2,则 a4 =( ) A.2 009 C.2 011 B.2 010 D.2 012

S2 012 S2 009 3 解析:记数列{an}的公差为 d,∵ 012=2 009=2,根据等差数列的前 n 项 2 a1+a2 012 a1+a2 009 3 和公式可得 - =2,即 a2 012-a2 009=3, 2 2 ∴ 3d=3,∴ d=1,故 a4=2 009+3=2 012. 答案:D 4.(2012 年朝阳区模拟)设数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=1 且 a1, a3,a6 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn 等于( n2 7n A. 8 + 8 n2 3n C. 2 + 4 n2 7n B. 4 + 4 D.n2+n )

解析:由 a1,a3,a6 成等比数列可得 a2=a1·6,设数列{an}的公差为 d(d≠0), a 3 n(n-1) 1 n2 7n 1 则(1+2d)2=1× (1+5d),而 d≠0,故 d=4,所以 Sn=n+ × =8+ 8 . 2 4 答案:A 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=aqn(a≠0,q≠1,q 为非零常数),则数列 {an}( )

A.是等差数列 B.是等比数列 C.既是等差数列也是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 解析:当 n=1 时,a1=aq,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=a(q-1)·n-1,易知数 q 列{an}既不是等差数列也不是等比数列. 答案:D 二、填空题 6.(2012 年高考辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列,且 a2=a10,2(an+ 5
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an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式 an=________. 解析:先判断数列的项是正数,再求出公比和首项. 1 a2=a10>0,根据已知条件得 2(q+q)=5,解得 q=2. 5 所以 a2q8=a1q9,所以 a1=2,所以 an=2n. 1 答案:2n 7.(2012 年长沙模拟)若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a4 =________. 5(a1+a5) 解析:依题意得 S5= =5a3=25, 2 故 a3=5,数列{an}的公差 d=a3-a2=2, 所以 a4=a3+d=7. 答案:7 8.(2012 年高考浙江卷)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 q=________. 解析:利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解. 解法一 S4=S2+a3+a4=3a2+2+a3+a4=3a4+2,

将 a3=a2q,a4=a2q2 代入得, 3a2+2+a2q+a2q2=3a2q2+2, 化简得 2q2-q-3=0, 3 解得 q=2(q=-1 不合题意,舍去). 解法二 设等比数列{an}的首项为 a1,由 S2=3a2+2,得

a1(1+q)=3a1q+2.① 由 S4=3a4+2,得 a1(1+q)(1+q2)=3a1q3+2.② 由② -① a1q2(1+q)=3a1q(q2-1). 得 3 ∵ q>0,∴ 2. q= 3 答案:2 三、解答题 9.已知数列{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5.
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(1)求{an}的通项 an 和前 n 项和 Sn; 5-an (2)设 cn= 2 ,bn=2cn,证明数列{bn}是等比数列. 解析:(1)设{an}的公差为 d, ?a1+d=1 由已知条件,? ?a1+4d=-5, 解得 a1=3,d=-2. 所以 an=a1+(n-1)d=-2n+5. n(n-1) Sn=na1+ d=-n2+4n. 2 (2)证明:∵ n=-2n+5, a 5-an 5-(-2n+5) ∴ n= 2 = c =n 2 ∴ n=2cn=2n b bn+1 2n+1 ∵ b = 2n =2(常数) n ∴ 数列{bn}是等比数列. 10.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn. 解析:设{an}的公比为 q, ?a1q=6, ?a1=3, ?a1=2, 由题设得? 解得? 或? 2 ?6a1+a1q =30, ?q=2, ?q=3. 当 a1=3 时,q=2 时,an=3× n-1,Sn=3× n-1); 2 (2 当 a1=2,q=3 时,an=2× n-1,Sn=3n-1. 3 1 11.(2012 年高考江西卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-2n2+kn(其中 k∈ N


),且 Sn 的最大值为 8. (1)确定常数 k,并求 an; (2)求数列{ 9-2an 2n }的前 n 项和 Tn.

1 1 1 解析:(1)当 n=k∈ +时,Sn=-2n2+kn 取最大值,即 8=Sk=-2k2+k2=2 N k2, 故 k2=16,因此 k=4,
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9 从而 an=Sn-Sn-1=2-n(n≥2). 7 9 又 a1=S1=2,所以 an=2-n(n∈ +). N (2)因为 bn= 9-2an n 2n =2n-1,

Tn=b1+b2+…+bn n-1 2 3 n =1+2+22+…+ n-2 + n-1, 2 2 1 1 n 所以 Tn=2Tn-Tn=2+1+ +…+ n-2- n-1 2 2 2 =4- 2
n-2- n-1=4- n-1 .

1

n

2

n+2 2

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