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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和课件 理_图文

第六章 数列

§6.3 等比数列及其前n项和

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 思想与方法系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列 从第二项起,每一项与它的前一项的比都等

于同一个常数 ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数 列的 q 表示(q≠0). 公比 ,通常用字母____ 2.等比数列的通项公式
n-1 a · q 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an= 1 .

答案

3.等比中项 若a,G,b成等比数列,则称G为a和b的等比中项. 4.等比数列的常用性质
n-m q (1)通项公式的推广:an=am· (n,m∈N*).

al=am· an . (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),则 ak·
? ?1? ? 2 ? (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),?a ? , { a n }, ? ? n? ? ?an? ? ?仍是等比数列. {an· bn},? ? ?bn? ?

答案

5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=na1;
a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q

6.等比数列前n项和的性质

公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍 n q 成等比数列,其公比为____.

答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( × ) (2)G为a,b的等比中项?G2=ab.( × ) (3) 如果数列 {an} 为等比数列, bn = a2n - 1 + a2n ,则数列 {bn} 也是等比数 列.( × ) (4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( × ) n a ? 1 - a ? n (5)数列{an}的通项公式是 an=a ,则其前 n 项和为 Sn= .( × ) 1-a

(6)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.( × )
答案

2

考点自测

1.(2015?课标全国Ⅱ改编)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,

42 则a3+a5+a7=________.
解析 设等比数列{an}的公比为q,

则由a1=3,a1+a3+a5=21得3(1+q2+q4)=21,
解得q2=-3(舍去)或q2=2,

于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.

1 2 3 4 5

解析答案

2.等差数列{an}的公差为3,若a2,a4,a8成等比数列,则a4=________. 12

解析

令首项为a,根据已知条件有(a+9)2=(a+3)· (a+21).

解得a=3,所以a4=3+3×3=12.

1 2 3 4 5

解析答案

3. 等 比 数 列 {an} 中 , a4 = 2 , a5 = 5 , 则 数 列 {lg an} 的 前 8 项 和 等 于 ________. 4 解析 数列{lg an}的前8项和S8=lg a1+lg a2+?+lg a8=lg(a1· a2· ?· a8) =lg(a1· a8)4 =lg(a4· a5)4=lg(2×5)4=4.

1 2 3 4 5

解析答案

4.(2015· 安徽)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则 2n-1 数列{an}的前n项和等于________. 解析 由等比数列性质知a2a3=a1a4,又a2a3=8,a1+a4=9,
? ?a1a4=8, 所以联立方程? ? ?a1+a4=9,
? ? ?a1=1, ?a1=8, 解得? 或? ? ? ?a4=8 ?a4=1,

又∵数列{an}为递增数列,∴a1=1,a4=8,从而a1q3=8,∴q=2.
1-2n ∴数列{an}的前 n 项和为 Sn= =2n-1. 1-2
1 2 3 4 5
解析答案

5.在 9 与 243 中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两 个数为________. 27,81 解析 设该数列的公比为q,由题意知, 243=9×q3,q3=27, ∴q=3. ∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.

1 2 3 4 5

解析答案

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题型分类 深度剖析

题型一

等比数列基本量的运算

? 3 ? a ? 1 - q ? 解析 显然公比 q≠1,由题意得 1 =7, ? ? 1-q ?a1=4, ?a1=9 ? ? 解得? 或? 1 1 (舍去), ?q= , ?q=- 2 3 ? ?

(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1, 31 S3=7,则S5=________. 4 ?a1q· a1q3=1, 例1

1 a1?1-q5? 4?1-25? 31 ∴S5= = =4. 1 1-q 1- 2

解析答案

4或-4 (2)在等比数列{an}中,若a4-a2=6,a5-a1=15,则a3=________. 解析 设等比数列{an}的公比为q(q≠0),

3 ? a q ? 1 -a1q=6, q 2 则? 4 两式相除,得 2= , 1+q 5 ? ?a1q -a1=15,

1 即 2q -5q+2=0,解得 q=2 或 q=2.
2

?a1=-16, ? ? ?a1=1, 所以? 或? 1 ? q = 2 , ?q= . ? 2 ?

故 a3=4 或 a3=-4.

思维升华

解析答案

跟踪训练1
(1)在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2· a8=6,a4+a6=5,则 3 a5 2 a7 =________. 解析 设公比为q,则由题意知0<q<1,

? a8=a4· a6=6, ?a2· 由? 得 a4=3,a6=2, ? ?a4+a6=5,

a5 a4 3 所以a =a =2. 7 6

解析答案

(2)(2015· 湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2, 3n-1 S3成等差数列,则an=________. 解析 由3S1,2S2,S3成等差数列知,

4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,
所以公比q=3,

故等比数列通项an=a1qn-1=3n-1.

解析答案

题型二

等比数列的判定与证明

例2 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.

(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;

解析答案

(2)求数列{an}的通项公式.
解 由(1)知bn=an+1-2an=3· 2n-1,

an+1 an 3 ∴ n+1-2n=4, 2 an 1 3 故{2n}是首项为2,公差为4的等差数列.
an 1 3 3n-1 ∴ n= +(n-1)· = , 2 2 4 4

故an=(3n-1)· 2n-2.
解析答案

引申探究
例 2 中 “Sn + 1 = 4an + 2” 改为 “Sn + 1 = 2Sn + (n + 1)” ,其他条件不变探 求数列{an}的通项公式. 解 由已知得n≥2时,Sn=2Sn-1+n. ∴Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1+1, ∴an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1),又a1=1, 当n=1时上式也成立, 故{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列, ∴an+1=2· 2n-1=2n,∴an=2n-1.
思维升华 解析答案

跟踪训练2
设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+?+nan =(n-1)Sn+2n(n∈N*). (1)求a2,a3的值; 解 ∵a1+2a2+3a3+?+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*), ∴当n=1时,a1=2×1=2; 当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4, ∴a2=4; 当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6, ∴a3=8. 综上,a2=4,a3=8.
解析答案

(2)求证:数列{Sn+2}是等比数列.

解析答案

题型三

等比数列的性质及应用
(1)在等比数列{an}中,各项均为正值,且a6a10+a3a5=41,a4a8
2 由 a6a10+a3a5=41 及 a6a10=a2 , a a = a 8 3 5 4,

例3

51 =5,则a4+a8=________.

解析

2 得 a2 + a 4 8=41.因为 a4a8=5, 2 所以(a4+a8)2=a2 + 2 a a + a 4 4 8 8=41+2×5=51.

又 an>0,所以 a4+a8= 51.
解析答案

S10 31 (2)等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若 S =32,则公比 5 1 -2 q=________.
S10 31 解析 由 S =32,a1=-1 知公比 q≠± 1, 5 S10-S5 1 则可得 S =-32. 5

由等比数列前 n项和的性质知 S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且

公比为q5,
1 1 故 q =- ,q=- . 32 2
5
思维升华 解析答案

跟踪训练3
( 1 )已知等比数列 {an} 的公比为正数,且 a3a9 = 2a 2 5 , a2 = 2 ,则 a1 =

2 ________.
解析
2 由等比数列的性质得 a3a9=a2 = 2 a 6 5,

a6 a2 ∵q>0,∴a6= 2a5,q= = 2,a1= = 2. a5 q

解析答案

(2)等比数列{an}共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和 3 S偶=-126,末项是192,则首项a1=________. 解析 设等比数列{an}共有2k+1(k∈N*)项,则a2k+1=192,

1 1 则 S 奇=a1+a3+?+a2k-1+a2k+1= (a2+a4+?+a2k)+a2k+1= S 偶+ q q 126 a2k+1=- q +192=255,

a1-a2k+1q2 a1-192×?-2?2 解得 q=-2,而 S 奇= = =255, 2 2 1-q 1-?-2?
解得a1=3.
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思想与方法系列

思想与方法系列

12.分类讨论思想在等比数列中的应用

典例

3 (14 分)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*), 且 2

-2S2,S3,4S4 成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;

思维点拨
项公式;

利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通

思维点拨

解析答案

1 13 (2)证明:Sn+ ≤ (n∈N*). Sn 6

思维点拨 求出前n项和,根据函数的单调性证明.

思维点拨

温馨提醒

解析答案

思想方法 感悟提高

方法与技巧
1.已知等比数列{an}
1 2 (1)数列{c· an}(c≠0),{|an|},{an},{a }也是等比数列. n

(2)a1an=a2an-1=?=aman-m+1.
2.判断数列为等比数列的方法 an+1 (1)定义法: a =q(q 是不等于 0 的常数,n∈N*)?数列{an}是等比数列; n
an 也可用 =q(q 是不等于 0 的常数, n∈N*, n≥2)?数列{an}是等比数列. an-1 二者的本质是相同的,其区别只是 n 的初始值不同.

方法与技巧

* (2)等比中项法:a2 = a a ( a a ≠ 0 , n ∈ N )?数列{an}是等比数列. n+1 n n+2 n n+2

失误与防范

1.特别注意q=1时,Sn=na1这一特殊情况.

2. 由 an + 1 = qan , q≠0 ,并不能立即断言 {an} 为等比数列,还要验证
a1≠0.

3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,
防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.

4.等比数列性质中: Sn ,S2n -Sn ,S3n -S2n 也成等比数列,不能忽略条
件q≠-1.
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练出高分

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1 1 1 1 1.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1= a2- ,S2= a3- ,则公 3 3 3 3 比 q=________.

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2.等比数列{an}满足an>0,n∈N* ,且a3· a2n-3=22n(n≥2),则当n≥1时, (2n-1) log2a1+log2a2+?+log2a2n-1=n ________. 解析 由等比数列的性质,

2n n 得 a3· a2n-3=a2 = 2 ,从而得 a = 2 . n n

log2a1+log2a2+?+log2a2n-1
=log2[(a1a2n-1)· (a2a2n-2)· …· (an-1an+1)an]=log22n(2n-1)=n(2n-1).
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3.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,

14 则n=________. 解析 设数列{an}的公比为q,

3 3 12 由 a1a2a3=4=a3 q 与 a a a = 12 = a 1 4 5 6 1q ,
3n-3 可得 q9=3,an-1anan+1=a3 q =324, 1

因此 q3n-6=81=34=q36,

所以n=14.
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4.在等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知a1=-8,a2=-2,b1=1,b2 {3,5} =2,那么满足an=bn的n的所有取值构成的集合是________. 解析 由已知得,an=6n-14,bn=2n-1,
令an=bn,可得6n-14=2n-1,

解得n=3或5,
所以满足an=bn的n的所有取值构成的集合是{3,5}.

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S2m a2m 5.已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,若存在 m∈N ,满足 S =9, a = m m 5m+1 ,则数列{an}的公比为________. m-1

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6.等比数列{an}中,Sn表示前n项和,a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公

比q为________. 3
解析 由a3=2S2+1,a4=2S3+1得

a4-a3=2(S3-S2)=2a3,

a4 ∴a4=3a3,∴q= =3. a3

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7. 等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,公比不为 1. 若 a1 = 1 ,则对任意的

11 n∈N*,都有an+2+an+1-2an=0,则S5=_______.
解析 由题意知a3+a2-2a1=0,设公比为q,

则a1(q2+q-2)=0. 由q2+q-2=0解得q=-2或q=1(舍去),
a1?1-q ? 1-?-2? 则 S5= = =11. 3 1-q
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an+1 8.已知数列{an}的首项为 1,数列{bn}为等比数列且 bn= ,若 b10· b11= an 1 024 2,则 a21=________.

解析

a2 a3 ∵b1=a =a2,b2=a , 1 2

∴a3=b2a2=b1b2,
a4 ∵b3= , a3

∴a4=b1b2b3,?,an=b1b2b3· ?· bn-1, ∴a21=b1b2b3· ?· b20=(b10b11)10=210=1 024.
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9.数列{bn}满足:bn+1=2bn+2,bn=an+1-an,且a1=2,a2=4. (1)求数列{bn}的通项公式;



由bn+1=2bn+2,得bn+1+2=2(bn+2),

bn+1+2 ∴ =2,又 b1+2=a2-a1+2=4, bn+2

∴数列{bn+2}是首项为4,公比为2的等比数列. ∴bn+2=4· 2n-1=2n+1,∴bn=2n+1-2.
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(2)求数列{an}的前n项和Sn. 解 由(1)知,an-an-1=bn-1=2n-2 (n≥2), ∴an-1-an-2=2n-1-2 (n>2), ?,a2-a1=22-2, ∴an-2=(22+23+?+2n)-2(n-1), ∴an=(2+22+23+?+2n)-2n+2

2?2n-1? = -2n+2=2n+1-2n. 2-1 4?1-2n? n?2+2n? n+2 2 ∴Sn= - = 2 - ( n +n+4). 2 1-2
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2 10.已知数列{an}和{bn}满足 a1=λ,an+1=3an+n-4,bn=(-1)n(an -3n+21),其中 λ 为实数,n 为正整数.
(1)证明:对任意实数λ,数列{an}不是等比数列;

证明

假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,
?2 ? ?4 ? ? ?2 ? ? λ - 3 λ - 4 a2 = a a ,即 = λ ? ? ? ? 2 1 3 ?3 ? ?9 ?

则有

4 2 4 2 ?9λ -4λ+9=9λ -4λ?9=0,矛盾.

所以{an}不是等比数列.
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(2)证明:当λ≠-18时,数列{bn}是等比数列. bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21] ? ? n+1?2 =(-1) ?3an-2n+14? ? ? ? 证明

2 2 n =-3(-1) · (an-3n+21)=-3bn.
又λ≠-18,所以b1=-(λ+18)≠0.

bn+1 2 由上式知 bn≠0,所以 b =-3(n∈N*). n

2 故当 λ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,- 为公比的等比数列. 3
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?a1+a2?2 11.设 x,a1,a2,y 成等差数列,x,b1,b2,y 成等比数列,则 b b
1 2

-∞,0]∪[4,+∞) 的取值范围是( ____________________. 解析 在等差数列中,a1+a2=x+y,在等比数列中,xy=b1· b2.

?a1+a2?2 ?x+y?2 x2+2xy+y2 x y ∴ b b = xy = =y+x+2. xy
1 2

2 ? a + a ? x y 1 2 当 xy>0 时, + ≥2,故 ≥4; y x b1b2
2 ? a + a ? x y 1 2 当 xy<0 时,y+x≤-2,故 b b ≤0. 1 2
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12.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+
50 ln a2+?+ln a20=________.

解析

因为a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,

所以a10a11=e5. 所以ln a1+ln a2+?+ln a20=ln(a1a2?a20) =ln[(a1a20)· (a2a19)· …· (a10a11)]=ln(a10a11)10=10ln a10a11=10ln e5=50.

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an+m 13.数列{an}满足 a1=2 且对任意的 m, n∈N , 都有 =an, 则 a3=________; am {an}的前 n 项和 Sn=________.

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14.定义在 ( - ∞ , 0)∪(0 ,+ ∞) 上的函数f(x) ,如果对于任意给定的等比
数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定

义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:
①f(x)=x2:

②f(x)=2x;
③f(x)= |x| ;

④f(x)=ln |x|.
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为________.
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?1? ? n,记T 为{a }的前2n项的和,b 15.已知数列{an}中,a1=1,an· an+1= ? 2n n n ? ? ?2? =a2n+a2n-1,n∈N*.

(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并求出bn;

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(2)求T2n.



1 由(1)可知,an+2= an, 2

1 ∴a1,a3,a5,?是以 a1=1 为首项,以2为公比的等比数列; 1 1 a2,a4,a6,?是以 a2=2为首项,以2为公比的等比数列,
∴T2n=(a1+a3+?+a2n-1)+(a2+a4+?+a2n) ?1? ? ?1? 1? ? ? ?n? ? ?n 1-?2? 2?1-?2? ? 3 ? ? ? ? ? ? = + = 3 - n. 1 1 2 1-2 1-2
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