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东北师大附中2015-2016学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5-16 椭圆与双曲线的对偶性质复习小结教案


课题:椭圆与双曲线的对偶性质--(实验班)
椭 课时:16 课型:复习课 1. 椭圆在点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的 圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 圆

x2 y 2 xx y y ? 2 ? 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b x2 y 2 ? ? 1 外 ,则过 P0 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 a 2 b2

6. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 P1P2 的直线方程是

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

7. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点(除长轴端 a 2 b2

点) ?F1 PF2 ? ? ,则椭圆的焦点三角形的面积为 S ?F1PF2 ? b 2 tan 8. 椭圆

?
2

.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a 2 b2

| MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) M ( x0 , y0 ) ).
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y 2 11.AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的不平行于对称轴且不过原点的弦,M ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的中点,则 a b kOM ? k AB ? ?
b 2 x0 b2 K ? ? ,即 。 AB a2 a 2 y0

-1-

12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a 2 b2

x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b
13.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y 内, 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 ? ? 1 ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a 2 b2 a b
双曲线

1.双曲线在点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)

x2 y 2 5. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0 )上,则过 P0 的双曲线的切线方程是 a b
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b
6.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 P0 作双曲线的两条切线切点为 a 2 b2
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是

x2 y 2 7.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点(除 a b
实轴端点) ?F1 PF2 ? ? ,则双曲线的焦点三角形的面积为 S ?F1PF2 ? b 2 co t 8.双曲线

?
2

.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) a 2 b2

当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF1 |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a . 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、 Q 两点, A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P
-2-

和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11.AB 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M ( x0 , y 0 ) 为 a 2 b2
b 2 x0 b2 ? 2 ,即 K AB ? 2 。 a y0 a

AB 的中点,则 K OM ? K AB

x2 y 2 12.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a b x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b
13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b> 0 )内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2

x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b
椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 椭 1.椭圆 圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆 a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2

于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是

x2 y 2 2.过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 a b
B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k BC ?

b 2 x0 (常数). a 2 y0

3.若 P 为椭圆

x2 y 2 ? ?1 (a>b>0) 上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1 F2 ? ? , a 2 b2
a?c ? ? ? tan co t .(由正弦定理可以推导) a?c 2 2

?PF2 F1 ? ? ,则

x2 y 2 4.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点, a b

-3-

在△PF1F2 中,记 ?F1 PF2 ? ? , ?PF1 F2 ? ? , ?F1 F2 P ? ? ,则有 正弦定理可以推导) 5.若椭圆

sin ? c ? ? e .(由 sin ? ? sin ? a

x2 y 2 的左、 右焦点分别为 F1、 F2, 左准线为 L, 则当 0<e≤ 2 ? 1 ? ? 1(a>b>0) a 2 b2

时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

x2 y 2 6.P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 )上任一点 ,F1,F2 为左右焦点, A 为椭圆内一定点,则 a b

2a ? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a ? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
7. 椭 圆

( x ? x0 ) 2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 a2 b2

A2 a 2 ? B 2b 2 ? ( Ax0 ? By0 ? C ) 2 .

x2 y 2 8.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0) , O 为坐标原点, P、 Q 为椭圆上两动点, 且 OP ? OQ . (1) a b 1 1 1 1 ? ? 2? 2; 2 2 | OP | | OQ | a b
(2)|OP| +|OQ| 的最大值为
2 2

4a 2b 2 ; a 2 ? b2

a 2b 2 (3) S ?OPQ 的最小值是 2 . a ? b2
9.过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的右焦点 F 作直线与该椭圆交于 M, N 两点,弦 MN 的垂直平 a 2 b2 | PF | e ? . | MN | 2

分线交 x 轴于 P,则

10.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0),A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? . a a

轴相交于点 P ( x0 , 0) , 则 ?

-4-

11. 设 P 点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 )上异于长轴端点的任一点 ,F1 、 F2 为其焦点记 a 2 b2 2b 2 ? .(2) S ?PF1F2 ? b 2 tan . 1 ? cos ? 2

?F1 PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |?

12.设 A、B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? , a 2 b2

c、 e 分别是椭圆的半焦距、 离心率, 则有(1) | PA |? ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,

2ab 2 | cos ? | .(2) a 2 ? c 2 co s 2 ?

tan ? tan ? ? 1 ? e 2 .(3) S ?PAB ?

2a 2b 2 cot ? . b2 ? a 2

13.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭 a 2 b2

圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的 连线必与切线垂直. 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互 相垂直. 16.椭圆焦点三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心 率). (注:在椭圆焦点三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17.椭圆焦点三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

-5-


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