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18-19学年高中数学 第一章 基本初等函(Ⅱ)第10课时 余弦函数的图象与性质新人教B版必修4

第10课时 余弦函数的图象与性质

1 说基础·名师导读 知识点 1 余弦函数的图象
根据诱导公式 y=cosx=sin????x+2π????,可知 y=cosx 的图象可由 y=sinx 的图象向左平移π2个单位长度得到,y=cosx 的图象叫做 余弦曲线.如下图所示.

知识点 2 “五点法”作余弦函数的图象 与正弦函数的图象一样,在函数 y=cosx,x∈[0,2π]的图象 上,起关键作用的五个点是函数 y=cosx,x∈[0,2π]与 x 轴的交 点及最高点和最低点这五个点,它们的坐标依次为:(0,1),????π2,0????, (π,-1),????32π,0????,(2π,1).

知识点 3 余弦函数的性质 1.定义域:R. 2.值域:[-1,1]. 对于余弦函数 y=cosx,当 x=2kπ(k∈Z)时,取得最大值 1; 当 x=(2k+1)π 时,取最小值-1. 3.周期:2π. 4.奇偶性:由诱导公式 cos(-x)=cosx 可知,余弦函数是 偶函数,它的图象关于 y 轴对称. 5.单调性:余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈ Z)上都是增函数,其函数值由-1 增大到 1;在每一个闭区间[2kπ, (2k+1)π](k∈Z)上都是减函数,其函数值由 1 减小到-1.

知识点 4 余弦曲线的对称性 由余弦函数的图象可知:
1.余弦曲线是中心对称图形,余弦曲线与 x 轴的交点
????π2+kπ,0????(k∈Z)是对称中心,余弦曲线的对称中心有无数个. 2.余弦曲线是轴对称图形,直线 x=kπ(k∈Z)是对称轴. 余弦曲线的对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点,即此
时余弦函数取得最大值或最小值.余弦曲线的对称轴有无数条.

2 说方法·分类探究 类型一“五点法”画余弦函数的图象
【例 1】 利用“五点法”作函数 y=-cosx 在[0,2π]上的图 象.

解析:列表

x

0

π 2

π

3π 2



cosx

1 0 -1 0 1

y=-cosx -1 0 1 0 -1

描点连线得函数 y=-cosx 在[0,2π]上的图象如图:

点评 “五点法”画函数图象的三个步骤

变式训练 1 用“五点法”画出函数 y=2cos2x 的简图.

解析:因为 y=2cos2x 的周期 T=22π=π,所以先在区间[0,

π]上按五个关键点列表如下.

x

0

π 4

π 2

3π 4

π

2x

0

π 2

π

3π 2



cos2x 1 0 -1 0 1

2cos2x 2 0 -2 0 2

描点,并用光滑有曲线将它们连接起来如右图. 然后把 y=2cos2x 在[0,π]上的图象向左、右平移,每次平 移 π 个单位长度,则得到 y=2cos2x 在 R 上的简图如下.

类型二 余弦函数奇偶性的判断及应用
【例 2】 (1)对于函数 y=sin????123π-x????,下面说法中正确的 是( )
A.函数是周期为 π 的奇函数 B.函数是周期为 π 的偶函数 C.函数是周期为 2π 的奇函数 D.函数是周期为 2π 的偶函数 (2)若函数 y=sin(x+φ)(0≤φ<π)是 R 上的偶函数,则 φ= ________.

(1) 解 析 : ∵ y = sin ????132π-x???? = sin ????6π+π2-x???? = cosx , ∴ y = sin????132π-x????是周期为 2π 的偶函数,选 D.
答案:D (2)解析:由 y=sin(x+φ)是 R 上的偶函数,得 φ=kπ+π2(k ∈Z). ∵0≤φ<π,∴φ=π2. 答案:π2

点评
1.有关函数奇偶性的结论 (1)图象. 奇函数的图象关于原点成中心对称; 偶函数的图象关于 y 轴成轴对称. (2)函数值. 对于奇函数,定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),当 x= 0 在定义域内时必有 f(0)=0; 对于偶函数,对定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x).

2.函数奇偶性的三个常见应用 (1)画关于原点对称的区间上的图象. (2)判断函数的单调性(或比较函数值的大小). (3)求函数的解析式. 3.余弦函数的对称轴和对称中心 (1)对称轴方程为 x=kπ(k∈Z).
(2)对称中心的坐标为????π2+kπ,0????(k∈Z).

变式训练 2 函数 y=cos(sinx)的奇偶性是__________.
解析:y=f(x)=cos(sinx)的定义域为 R,关于原点对称. 又 f(-x)=cos(sin(-x))=cos(-sinx)=cos(sinx)=f(x), 故 y=cos(sinx)是偶函数. 答案:偶函数

类型三 余弦函数的单调性
【例 3】 (1)求函数 y=cos????2x+π4????的单调递减区间. (2)利用三角函数的单调性,试比较 cos????-253π????与 cos????-147π???? 的大小.

解析:(1)令 2kπ≤2x+π4≤(2k+1)π,k∈Z, 则 kπ-π8≤x≤kπ+38π,k∈Z. 故 y=cos????2x+π4????的单调递减区间为????kπ-π8,kπ+38π????(k∈Z).

(2)cos????-253π????=cos253π=cos35π, cos????-147π????=cos147π=cosπ4. ∵0<π4<35π<π,且函数 y=cosx 在[0,π]上是减函数,
∴cosπ4>cos35π,即 cos????-147π????>cos????-253π????.

点评 (1)求函数 y=Acos(ωx+φ)的单调区间时,可利用诱导公式 将 ω 变为正值,再把 ωx+φ 看作一个整体求解. (2)利用余弦函数的单调性比较大小时,可先利用诱导公式 把两个角变换到同一个单调区间内,再利用余弦函数的单调性比 较大小.

变式训练 3 求函数 y=1-cos????π3-2x????的单调区间.

解析:y=1-cos????π3-2x????=1-cos????2x-π3????. 由 2kπ≤2x-π3≤(2k+1)π(k∈Z),
得 kπ+π6≤x≤kπ+23π(k∈Z),

所以函数的单调递增区间为????kπ+π6,kπ+23π????(k∈Z). 由(2k+1)π≤2x-π3≤2(k+1)π(k∈Z), 得 kπ+23π≤x≤kπ+76π(k∈Z),
所以函数的单调递减区间为????kπ+23π,kπ+76π????(k∈Z).

类型四 余弦函数的最值或值域
【例 4】 (1)求函数 y=cosx,x∈????-π3,23π????的值域; (2)求函数 y=22+ -ccoossxx的最值;
(3)求函数 y=3cos2x-4cosx+1,x∈????π3,23π????的值域.

解析:(1)∵y=cosx 在区间????-π3,0????上单调递增, 在区间????0,23π????上单调递减, ∴ymax=cos0=1,ymin=cos23π=-12,
∴y=cosx 的值域为????-12,1????.

(2)由 y=22+ -ccoossxx,求得 cosx=2?yy+-11?.
∵|cosx|≤1,∴????2?yy+-11?????≤1,∴[2(y-1)]2≤(y+1)2. 解得13≤y≤3,∴ymax=3,ymin=31.

(3)y=3cos2x-4cosx+1=3????cosx-32????2-13, ∵x∈????π3,23π????,∴cosx∈????-12,12????, 从而当 cosx=-12,即 x=23π时,ymax=145. 当 cosx=12,即 x=π3时,ymin=-41.
∴函数 y=3cos2x-4cosx+1 的值域为????-14,145????.

点评 求函数的最值的方法有以下几种: (1)直接法.根据函数值域的定义,由自变量的取值范围求 出函数值的取值范围. (2)利用函数的单调性. (3)利用函数的图象,转化为求函数图象上最高点和最低点 的纵坐标的问题. (4)利用换元法,转化为一次函数、二次函数、指数函数、 对数函数等基本初等函数问题.

变式训练 4 求下列函数的最大值和最小值. (1)y=2ccoossxx-+21.(2)y=2cos????2x+π3????,x∈????-π6,π6????. 解析:(1)y=2ccoossxx-+21=2+cosx5-2, 因为-1≤cosx≤1,所以-5≤cosx5-2≤-35, 则-3≤2+cosx5-2≤13,所以 ymax=31,ymin=-3.

(2)因为-π6≤x≤π6,所以 0≤2x+π3≤23π,
所以-1≤2cos????2x+π3????≤2, 当 cos????2x+π3????=1,即 x=-π6时,ymax=2, 当 cos????2x+π3????=-21,即 x=π6时,ymin=-1.


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