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数学:第三章《不等式》测试(1)(新人教A版必修5)

不等式 同步测试

说明:本试卷分第一卷和第二卷 两部分,第一卷 50 分,第二卷 100 分,共 150 分;答题

时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择 题共 50 分)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代

填在题后的括内(每小题 5 分,共 50 分).

1.若 a<b,d<c,并且(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,则 a、b、c、d 的大小关系是

()

A.d<a<c<b

B.a<c<b<d

C.a<d<b<c

D.a<d<c<b

2.若实数 a、b 满足 a+b=2,是 3a+3b 的最小值是

..... ( )

A.18

B.6

C.2 3

D.2 4 3

3. f (x) ? ax2 ? ax ? 1 在 R 上满足 f (x) ? 0 ,则 a 的取值范围是

()

A. a ? 0

B. a ? ?4

C. ?4 ? a ? 0 D. ?4 ? a ? 0

4.若关于 x 的方程 9 x ? (4 ? a) ? 3x ? 4 ? 0有解,则实数 a 的取值范围是

()

A. (??, ? 8]?[0, ? ?) C.[?8,4)

B. (??, ? 4) D. (??, ? 8]

5.如果方程 x2 ? (m ?1)x ? m2 ? 2 ? 0 的两个实根一个小于?1,另一个大于 1,那么实数

m 的取值范围是

()

A. (? 2,2 )

B.(-2,0)

C.(-2,1)

D.(0,1)

6.在 a ? 0,b ? 0的条件下,三个结论:① 2ab ? a ? b ,② a ? b ? a2 ? b2 ,

a?b 2

2

2

③ b2 ? a2 ? a ? b ,其中正确的个数是 ab

()

A.0

B.1

C.2

D.3

7.若角 α,β 满足-π <α<β<π ,则 2α-β 的取值范围是

2

2

()

A.(-π ,0)

B.(-π ,π )

C.(- 3π ,π ) D.(- 3 ? , 3π )

22

22

8.设 x、y ? R ? 且 xy ? (x ? y) ? 1,则

()

A. x ? y ? 2( 2 ? 1)

B. xy ? 2 ? 1

C. x ? y ? ( 2 ? 1)2

D. xy ? 2( 2 ? 1)

?x ? 4y ? 3 ? 0 9.目标函数 z ? 2x ? y ,变量 x, y 满足 ??3x ? 5 y ? 25 ,则有
??x ? 1

()

A. zmax ? 12, zmin ? 3

B. zmax ? 12, z 无最小值

C. zmin ? 3, z 无最大值

D. z 既无最大值,也无最小值

10.设 M= ( 1 ?1)(1 ?1)(1 ?1) ,且 a+b+c=1,(a、b、c∈R+),则 M 的取值范围是 ( ) abc

A.[0, 1 ] 8

B.[ 1 ,1] 8

C.[1,8]

D.[8,+∞)

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分).

11.设 0<|x|≤3,1<|y|≤2005,是|x-y|的最大值与最小值的和是

12.设 x ? 0, y ? 0且x ? 2 y ? 1,求 1 ? 1 的最小值.



xy

. y

13.若方程 x 2 ? 2x ? lg(2a 2 ? a) ? 0 有一个正根和一个负根,则实数

1

a 的取值范围是__________________.

-1

14.f(x)的图象是如图两条线段,它的定义域是[?1,0) ? (0,1] ,则不等

O 1x -1

式 f (x) ? f (?x) ? ?1 的解集是



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15.(12 分)(1)设 a,b,x,y∈R,且 a2+b2=1,x2+y2=1,求证:|ax+by|≤1;

(2 已知 a、b 是不等正数,且 a3-b3= a2-b2 求证:1< a +b< 4 . 3

16.(12 分)解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0.

17.(12 分)(1)求 y ? x2 ? 5 的最小值; x2 ? 4
(2)若 a ? 0,b ? 0 ,且 a 2 ? b2 ? 1 ,求 a 1 ? b2 的最大值. 2
18.(12 分)若 f(x)是定义 在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x>0 满足 f ( x ) ? f (x) ? f ( y). y
(1)求 f (1) 的值; (2)若 f (6) ? 1,解不等式 f (x ? 3) ? f ( 1 ) ? 2. x

19.(14 分)要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格

小钢板的块数如下表所示:

类型

A 规格

B 规格

C 规格

第一种钢板

1

2

1

第二种钢板

1

1

3

每张钢板的面积,第一种为1m2 ,第二种为 2m 2 ,今需要 A、B、C 三种规格的成品各 12、15、 27 块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小?

20.(14 分 )(1)设不等式 2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立,求 x 的取值范围; (2)是否存在 m 使得不等式 2x-1>m(x2-1)对满足|x|≤2 的一切实数 x 的取值都成立.

参考答案(一)

一、ABDDD DCACD

二、11.2008;12. 3 ? 2 2 ;13. (? 1 ,0) ? (1 ,1) ; 14.[?1,? 1 ) ? (0,1] 。

2

2

2

三、15.(1)证明:∵a2+x2≥2ax,b2+y2≥2by,

∴a2+x2+b2+y2≥2(ax+by),∴ax+by≤ 1 ? 1 =1。 2
又∵a2+x2≥-2ax,b2+y2≥-2by,

∴a2+x2+b2+y2≥-2(ax+by),∴ax+by≥- 1 ?1 =-1。 2

∴|ax+by|≤1。

(2)证明: a3 ? b3 ? a 2 ? b2 ? a 2 ? ab ? b2 ? a ? b ? (a ? b)2

? a2 ? ab ? b2 ? a ? b ? a ? b ? 1

a ? b ? 4 ? 3(a ? b)2 ? 4(a ? b) ? 3(a 2 ? 2ab ? b2 ) ? 4(a 2 ? ab ? b2 ) 3
? a2 ? 2ab ? b2 ? 0 ? a ? b ? 0

16.解:当 a=0 时,不等式的解为 x>1;当 a≠0 时,分解因式 a(x- 1 )(x-1)<0 a

当 a<0 时,原不等式等价于(x- 1 )(x-1)>0,不等式的解为 x>1 或 x< 1 ;

a

a

当 0<a<1 时,1< 1 ,不等式的解为 1<x< 1 ;

a

a

当 a>1 时, 1 <1,不等式的解为 1 <x<1;

a

a

当 a=1 时,不等式的解为



17.解:(1)解法一:? y ? x2 ? 5 ? x2 ? 4 ? 1 (? t ? 1)

x2 ? 4 x2 ? 4 x2 ? 4

t

y(t)

令 t ? x2 ? 4(t ? 2) ,则 t 2 ? yt ?1 ? 0(t ? 2)

令 f (t) ? t 2 ? yt ?1(t ? 2) ,? f (0) ? 1 显然 t 2 ? yt ? 1 ? 0 只有一个大于或等于 2 的根,

1

2

O

t

? f (2) ? 0

即 f (2) ? 4 ? 2 y ?1 ? 0 ? y ? 5 ,即 y ?

x2 ?5

5
的最小值是 。

2

x2 ? 4

2

解法二:? y ? x2 ? 5 ? x2 ? 4 ? 1 (? t ? 1)

x2 ? 4 x2 ? 4 x2 ? 4

t

令 t ? x2 ? 4 (t ? 2)
利用图象迭加,可得其图象(如下图)

?t ? 2

1

15

当 t ? 2 时, y ? t ? t 递增,? ymin ? 2 ? 2 ? 2 。

(2)? a ? 0,b ? 0,a 2 ? b2 ? 1 2

y y? x?1 x

2

y=x

1

y? 1 x

O1

x

? a 1 ? b2 ? a 2 (1 ? b2 ) ? 2a 2 ? 1 ? b2 2

?

2

a2 ?1? b2 ?

2

? ?

a

2

?

?

1 2

?

b2 2

?2 ? ?

2

?2?

??

??

1

?

2

1? (

2 )2

?

3

2

2

4

? ?a

2

?

?

1? b2 2

当 ??a 2 ?

?

b2 2

?1

?a?

3 ,b ? 2

2 时, a 2

1? b2 的最大值为 3 2 4

?a ? 0,b ? 0

?

?

18.解: (1).令x ? y ? 0,则 f ( x ) ? f (x) ? f (x) ? 0, f (1) ? 0 y

(2). f (6) ? 1,?2 ? 2 f (6), f (x ? 3) ? f (1) ? 2 f (6) x

即 f ( x ? 3) ? 2 f (6), f (x(x ? 3)) ? f (6) ? f (6) 1

x



f

? x? x ? 3??

? ?

6

? ?

?

f

(6),

? ? 又 f (x) 在

0, ?

是增函数,则

? ? ? ? ? ?

1 ?0 x x?3?0 x(x ? 3) ?

6

?

0

?

x

?

?3

?3 2

17

.

?6

19.解:设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,所用钢板面积为 zm 2 ,

?x ? y ? 12,

则有

????2x

x? ?3

y y

? ?

15, 27,

??x ? 0,

?? y ? 0

作出可行域(如图)

目标函数为 z ? x ? 2y

作出一组平行直线 x ? 2y ? t (t

为参数).由

?x ??x

? ?

3y ? 27, y ? 12



A(

9 2

,

15), 2

由于点

A(

9 2

,

15) 2

不是可行域内

的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点(6,7)使 z 最小,且 zmin ? 4 ? 2?8 ? 6 ? 2?7 ? 20 .
答:应截第一种钢板 4 张,第二种钢板 8 张,或第一种钢板 6 张,第二种钢板 7 张,得所需三种规格的钢板,且使所
用的钢板的面积最小.
20.(1)解:令 f(m)=2x-1-m(x2-1)=(1-x2)m+2x-1,可看成是一条直线,且使|m|≤2 的一切 实数都有 2x-1>m(x2-1)成立。

所以,

? f (2)>0 ??f(-2)>0

,即

?2x 2-2x-1>0 ??2x 2+2x-3<0

,即

???????x1-<2-31-<2 x<7 或1+x2>3-1+2

7

所以, 7-1<x< 3+1 。

2

2

(2) 令 f(x)= 2x-1-m(x2-1)= -mx2+2x+(m-1),使|x|≤2 的一切实数都有 2x-1>m(x2

-1)成立。

当 m ? 0 时,f(x)= 2x-1 在 1 ? x ? 2 时,f(x) ? 0 。(不满足题意) 2

当 m ? 0 时,f(x)只需满足下式:

?? m ? 0,

?? 1

? ?

m

?

?2

?? f (?2) ?

(m 0

?

0)



?? ???? ? ???

m? 2? ?0

0, 1 m

(m ? ?0

0)



??

? ?

f

?? f

m ? 0, (m (2) ? 0 (?2) ? 0

?

0)

解之得结果为空集。 故没有 m 满足题意。


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