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浙江省杭州二中高三年级第五次月考数学试卷理科


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浙江省杭州二中高三年级第五次月考数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.卷面共 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题 :本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z ? 1 ? i, 则

(A) ?1 ? i 2.已知程序框图如图所示,则该程序框图的功能是(

2 2 ) ? 等于( z z2 (B) 1 ? i (C) ?1 ? 2i (D) 1 ? 2i


1 * n 1 * (B)求数列 { } 的前 10 项和 (n ? N ) 2n 1 * (C)求数列 { } 的前 11 项和 (n ? N ) n 1 * (D)求数列 { } 的前 11 项和 (n ? N ) 2n
(A)求数列 { } 的前 10 项和 (n ? N ) 3.下列命题中,真命题是( ? ?? (A) (C) ?x ? R, x ? x ? ?1
2

) (B) ?x ? (3, ??), x ? 2 x ? 1
2

?x ? ?0, ? ,sin x ? cos x ? 2 ? 2?

(D) ?x ? ? ? , ? ? , tan x ? sin x ? ?
?2 ?

4. m ? “

2 ”是“直线 y ? x ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切”的(
(B)必要而不充分条件

) (D)既不充分

(A)充分而不必要条件 也不必要条件

(C)充分必要条件

5.在样本的频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其它 10 个小长方形的面积和的 (A)32

1 ,且样本容量为 160,则中间一组的频数为( 4
(C)40 (D)0.25 )



(B)0.2

6.已知集合 A ? {x || 2 x ? 1|? 6}, B ? ? x (A) ? ? 5 , ? 1 ? ? ? 3, 7 ? ? ? ? ? 2 2? ? 2 ? ?
? 1 ? ? ? ,3 ? ? 2 ?

? 2x ?1 ? ? 0 ? , 则 A ? ?R B =( ? 3? x ?
? ? 2

? (B) ? ? 5 , ? 1 ? ? ?3, 7 ? ? ? ? ? 2 2? ? 2?

(C) ? ? 1 ,3?

? ?

( D )

7.要得到函数 y ? 2cos( x ? )sin( ? x) ? 1 的图象,只需将函数 y ? 《嘉兴数学教学网》 系列资料 网址: www.jxsxjx.com
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? 6

? 3

1 3 sin 2 x ? cos 2 x 的图 2 2

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资料全免费,无限资料无限下载----------------欢迎你访问嘉兴数学教学网 www.jxsxjx.com 象( )

(A)向左平移 平移

8.在等比数列 ? an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 S n ,若数列 ?an ? 1? 也是等比数列,则 S n 等于 ( ) (B) 3 ? 1
n
2

? 个单位 4

? ? ? 个单位 (B)向右平移 个单位 (C)向右平移 个单位 (D)向左 8 2 3

(A) 2n?1 ? 2

(C) 3n (D) 2n x2 y 2 9.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 有相同的焦点 F ,点 A 是 a b 两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,若 l 为双曲线的一条斜率大于 0 的渐近线,则 l 的斜率可 以在下列给出的某个区间内,该区间可以是( (A) (0, ) (C) (1, 2) (D) ( 2, ??)

3 ) 3

(B) (

3 ,1) 3

1 ? 10.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1, g ( x) ? ? x ? 4 x , x ? 0 ,则方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 ( a 为正 ? ?? x 2 ? 6 x ? 8, x ? 0 ? 实数)的根的个数不可能为( ) ...

(A)3 个

(B)4 个

(C)5 个

(D)6 个

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.抛物线 y ? 4 x 2 的焦点坐标是_______________. 12.在二项式 (

3
3

x

? x)n 的展开式中,各项的系数和比各项的二项系数和大 240,则 n 的值

为 . 13.某同学在电脑中打出如下若干个符号: ?? ??? ???? ????? ?????? ??若将这些 符号按此规律继续下去,那么在前 130 个符号中 ? 的个数为_____________个. 14. 如图, 过椭圆 C :
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的动点 M 引 a 2 b2

圆 O : x ? y ? b 的两条切线 MA, MB ,其中 A, B 分别为 切点, ,若椭圆上存在点 M ,使 ?BMA ? 离心率为____________.

?
2

,则该椭圆的

? ? 15 . 设 O 为 ?ABC 的 外 心 , 若 x O A y O B

? ? ??

? ? ??

? ? ?? ? z O ?0 , C 为 ?ABC 的 内 角 , 则 C

c o s C ? ____________.(用已知数 x, y, z 表示) 2
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?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 16.已知 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 z ?| 2 x ? y ? 5 | 的最大值与最小值的差为______________. ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
17.设 a1 , a2 ,? , an 是 1,2,?, n 的一个排列,把排在 ai 的左边且比 ai 小的数的个数 .. . 称为 ai 的顺序数( i ? 1,, , ) 2 ? n .如在排列 6,4,5,3,2,1 中,5 的顺序数为 1,3 的 顺序数为 0.则在由 1、2、3、4、5、6、7 、8 这八个数字构成的全排列中,同时满足 8 的 顺序数为 2,7 的顺序数为 3,5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为________________. (结 果用数字表示) 18 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 满 足 ( (2a ? c) cos B ? b ? cos C . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? ? sin A,cos 2 A ? ,n ? ? 4k ,1?? k ? 1? ,且m ? n 的最大值是 5,求 k 的值.

??

?

?? ?

19. (本小题满分 14 分)如图是在竖直平面内的一个“通道游戏” .图中竖直线段和斜线段 都表示通道, 并且在交点处相遇, 若竖直线段有第一条的为第一层, 有二条的为第二层, ??, 依次类推.现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动.记小弹子落入第 n 层第 m 个竖直 通道(从左至右)的概率为 P(n, m) . (已知在通道的分叉处,小弹子以相同的概率落入每 个通道) (Ⅰ)求 P(2,1), P(3, 2) 的 值,并猜想 P(n, m) 的表达式. (不必证明) (Ⅱ)设小弹子落入第 6 层第 m 个竖直通道得到分数为 ? ,其中 ? ? ? 求 ? 的分布列及数学期望.
入口 第1层 第2层 第3层 第4层

?4 ? m,1 ? m ? 3 ,试 ?m ? 3, 4 ? m ? 6

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资料全免费,无限资料无限下载----------------欢迎你访问嘉兴数学教学网 www.jxsxjx.com 20.(本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? ? 4 ? 1 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,点 Pn (an ,? 1 ) 在曲 2
x

an?1

线 y ? f (x) 上 (n ? N ) 且 a1 ? 1, an ? 0 .
*

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ) 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn 且满足 Tn?1 ? Tn ? 16 n 2 ? 8n ? 3 , 设定 b1 的值使得数 {bn } 是等差 2 2
an an?1

数列; (Ⅲ)求证: S n ? 1 4n ? 1 ? 1, n ? N * .
2

21.(本小题满分 15 分)如图,在 ?ABC 中,已知 A(?3,0), B(3,0), CD ? AB 于 D ,?ABC 的 垂心为 H 且 CD ? 9CH . (Ⅰ)求点 H 的轨迹方程; (Ⅱ)设 P(?1,0), Q(1,0) ,那么 1 , 1 , 1 能否成等差数列?请说明理由;
| HP | | PQ | | QH |

????

????

(Ⅲ) 设直线 AH , BH 与直线 l : x ? 9 分别交于 M , N 点, 请问以 MN 为直径的圆是否经过 定点?并说明理由.
y C

H B

A

O

D

x

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资料全免费,无限资料无限下载----------------欢迎你访问嘉兴数学教学网 www.jxsxjx.com 22.(本小题满分 15 分) 已知函数 f1 ( x) ? e
| x ? 2 a ?1|

, f 2 ( x) ? e|x ?a|?1 , x ? R,1 ? a ? 6

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 在 ? 2, 3? 上的最小值; (Ⅱ)若 | f1 ( x) ? f 2 ( x) | ? f 2 ( x) ? f1( x) 对于任意实数 x 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? | f1 ( x) ? f 2 ( x) | 在 ?1, 6 ? 上的最小值. 2 2

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参考答案:
1-5 DBAAB 6-10 CDDDA

(0,
11.

1 ) 16

12.

4

________

13.

14

14.

[

2 , 1_______ ) 2
5 ________

15.____ 17.

z 2 ? x2 ? y 2 2 xy
144

16.

18 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 满 足 ( (2a ? c) cos B ? b ? cos C . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? ? sin A,cos 2 A ? ,n ? ? 4k ,1?? k ? 1? ,且m ? n 的最大值是 5,求 k 的值. 【解析】 (I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C) ∵A+B+C=π ,∴2sinAcosB=sinA ∵0<A<π ,∴sinA≠0.∴cosB= ∵0<B<π ,∴B=

??

?

?? ?

(II) m ? n =4ksinA+cos2A=-2sin A+4ksinA+1,A∈(0,
2

?? ?

? 3

1 2

22 ) 3

设 sinA=t,则 t∈ (0,1] . 则 m ? n =-2t +4kt+1=-2(t-k) +1+2k ,t∈ (0,1]
2 2 2

?? ?

∵k>1,∴t =1 时, m ? n 取最大值. 依题意得,-2+4k+1=5,∴k=

?? ?

3 2

19. (本小题满分 14 分)如图是在竖直平面内的一个“通道游戏” .图中竖直线段和斜线段 都表示通道, 并且在交点处相遇, 若竖直线段有第一条的为第一层, 有二条的为第二层, ??, 依次类推.现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动.记小弹子落入第 n 层第 m 个竖直 通道(从左至右)的概率为 P(n, m) . (已知在通道的分叉处,小弹子以相同的概率落入每 《嘉兴数学教学网》 系列资料 网址: www.jxsxjx.com
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资料全免费,无限资料无限下载----------------欢迎你访问嘉兴数学教学网 www.jxsxjx.com 个通道) (Ⅰ)求 P(2,1), P(3, 2) 的值,并猜想 P(n, m) 的表达式. (不必证明) (Ⅱ)设小弹子落入第 6 层第 m 个竖直通道得到分数为 ? ,其中 ? ? ? 求 ? 的分布列及数学期望. 【解析】

?4 ? m,1 ? m ? 3 ,试 ?m ? 3, 4 ? m ? 6

?1? ?1? 1 (1) P (2,1) ? C ? ? ? ? ? ,????2 分 ?2? ?2? 2
0 1

0

1

1 1?1? ?1? P (3, 2) ? C2 ? ? ? ? ? ?2? ?2? 2

1

1

????4 分

P(n, m) ?

m Cn ??1 1 2n ?1

????6 分

1 C50 1 C5 5 (2) P(6,1) ? P(6, 6) ? 5 ? , P(6, 2) ? P(6,5) ? 5 ? , 2 32 2 32

P(6,3) ? P(6, 4) ?

C52 10 ? 25 32
3 2 1

?
P

2 32

10 32

20 32

????12 分

E? ?

23 16

????14 分

20.(本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? ? 4 ? 1 数 列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,点 Pn (an ,? 1 ) 在曲 2
x

an?1

线 y ? f (x) 上 (n ? N ) 且 a1 ? 1, an ? 0 .
*

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ) 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn 且满足 Tn?1 ? Tn ? 16 n 2 ? 8n ? 3 , 设定 b1 的值使得数 {bn } 是等差 2 2
an an?1

数列;

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资料全免费,无限资料无限下载----------------欢迎你访问嘉兴数学教学网 www.jxsxjx.com (Ⅲ)求证: S n ? 1 4n ? 1 ? 1, n ? N * .
2

【解析】 (1) ? 1 ? f (a ) ? ? 4 ? 1 且a ? 0 n n 2
a n ?1 an

∴ 1 ? 4 ? 1 ∴ 1 ? 1 ? 4(n ? N *) 2 2 2
a n ?1 an
a n ?1
2

∴数列 { ,

1 an
2

} 是等差数 列,首项

an

1 公差 d=4∴ 2 a1

1 an
2

? 1 ? 4(n ? 1) ∴ a n ?

1 4n ? 3

∵ an ? 0 ∴ a ? n

1 (n ? N *) 4n ? 3

????4 分

????6 分 1 (2)由 a ? (n ? N *) , Tn?1 ? T2n ? 16 n 2 ? 8n ? 3 得 (4n ? 3)Tn?1 ? (4n ? 1)Tn ? (4n ? 3)( 4n ? 1) , n 2 a n an?1 4n ? 3 ∴ Tn?1 ? Tn
4n ? 1 4n ? 3 ?1



Tn ? T1 ? n ? 1 ∴ Tn ? (4n ? 3)(T1 ? n ? 1) 4n ? 3

若 {bn } 为等差数列,则 T1 ? 1 ? 0, T1 ? 1即b1 ? 1 ∴ bn ? 8n ? 7 (3) a n ? ∴a ? n

n? N *

????9 分

1 4n ? 3
2 ? 2 4n ? 3 ? 4n ? 1
? 4n ? 1 ? 4n ? 3 2

2 4n ? 3

∴ S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

1 ( 5 ? 1) ? ( 9 ? 5 ) 2 1 1 ? ? ? ( 4n ? 1 ? 4n ? 3) ? 4n ? 1 ? 1 ????14 分 2 2

21.(本小题满分 15 分)如图,在 ?ABC 中,已知 A(?3,0), B(3,0), CD ? AB 于 D ,?ABC 的 垂心为 H 且 CD ? 9CH . (Ⅰ)求点 H 的轨迹方程; (Ⅱ)设 P(?1,0), Q(1,0) ,那么 1 , 1 , 1 能否成等差数列?请说明理由;
| HP | | PQ | | QH |

????

????

(Ⅲ) 设直线 AH , BH 与直线 l : x ? 9 分别交于 M , N 点, 请问以 MN 为直径的圆是否经过 定点?并说明理由.
???? ???? 8 【解析】 (1)设点 C ( x, y ), 由题意得 H ( x, 8 y) ,则 AC ? ( x ? 3, y), BH ? ( x? 3, y ,由于 ) 9 9

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???? ???? ???? ???? AC ? BH ,于是 AC ? BH ? x 2 ? 9 ? 8 y 2 ? 0 ,又 y ? 0 时 AC , BH 共线,不合题意.故点 C
9
的 轨 迹 方 程 为 x2 ?

8 2 y ? 9( y ? 0) . 设 点 H ( x, y), C ( x0 , y0 ) , 则 x02 ? 8 y02 ? 9( y0 ? 0) , 由 9 9 2 2 x y ? x ? x0 ? x0 ? x ? ? 点 H 的轨迹方程为 ??? ?4 分 ? ? 1( y ? 0) . ? 8 ?? 9 ? 9 8 y ? y0 y0 ? y
? ? 9 ? ? 8

(2)设 H (3cos ? , 2 2 sin ? ), (? ? ? 0, ? ? ? ?? , 2? ?) ,则 PH ? (3cos ? ? 1, 2 2 sin ? ) ,
???? ? QH ? (3cos ? ? 1, 2 2 sin ? ) ,
1 1 故 ???? ? ???? ? ? | PH | | QH | 1 1 6 6 3 2 ? ? ? ? ?1? 2 3 ? cos ? 3 ? cos ? 9 ? cos ? 8 4 | PQ |

????

所以 1 , 1 , 1

不能构成等差数列.

????9 分

| HP | | PQ | | QH |

(3)设 M (9, m), N (9, n) ,则 A(?3,0), B(3,0) ,

? , 于 是 A M ( 1 2m

???? ?

???? ?

)A , H ?

? ? 3 c o s? (

3 由 , , 2 A, 2 , s i 三 点 共 线 得 H M n )

12 ? 2 2 sin ? ? m(3cos ? ? 3) ? 0 ? m ?
又 M (9, 8 2 sin ? ), N (9, 4 2 sin ? ) , cos ? ? 1 cos ? ? 1

8 2 sin ? ;由 B, H , N 三点共线得 n ? 4 2 sin ? , cos ? ? 1 cos ? ? 1

以 MN 为直径的圆的方程为 ( x ? 9)( x ? 9) ? ( y ? 8 2 sin ? )( y ? 4 2 sin ? ) ? 0 ,
cos ? ? 1 cos ? ? 1

即 ( x ? 9) 2 ? y 2 ? ( 8 2 sin ? ? 4 2 sin ? ) y ? 64 ? 0 cos ? ? 1 cos ? ? 1 解得 ?

?x ? 1 ? x ? 17 (舍)或 ? .故以 MN 为直径的圆必过椭圆外定点 (17,0) . ?y ? 0 ?y ? 0

????15 分 22.(本小题满分 15 分) 已知函数 f1 ( x) ? e
| x ? 2 a ?1|

, f 2 ( x) ? e|x ?a|?1 , x ? R,1 ? a ? 6

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 在 ? 2, 3? 上的最小值; (Ⅱ)若 | f1 ( x) ? f 2 ( x) | ? f 2 ( x) ? f1( x) 对于任意实数 x 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? | f1 ( x) ? f 2 ( x) | 在 ?1, 6 ? 上的最小值. 2 2 【 解 析 】 1 ) 对 于 a ? 2, x ? ? 2,3? , f ( x) ? e (
| x ?3|

? e| x ?2|?1 ? e3? x ? e x ?1 ? 2e , 当 且 仅 当

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e3? x ? e x?1 ,即 x ? 2 时等号成立,故 f ( x)min ? 2e ???4 分
(2)由题意 e
|x? 2a 1 | ?

?e

?| ? | 1 x a

对 任 意 x ? R 恒 成 立 , 故 | x ? 2a ? 1|?| x ? a | ?1 , 即

| x ? 2a ? 1| ? | x ? a |? 1 对 任 意 x ? R 恒 成 立 , 又 由 1 ? a ? 6 可 知 函 数 y ?| x ? 2a ? 1| ? | x ? a | 的图像可得其最大值为 a ? 1,故 a ?1 ? 1 ? 1 ? a ? 2
?????8 分
f ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) (3) g ( x) ? ? 1 ? ? f 2 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x)

x ( ) ) ① 当 1 ? a ? 2 时 , 由 ( 2 ) 知 f1 ( x ) ? f 2 ( )? g x ? f 1 x( ? e

| x ? 2a ? 1|

,图像关于直线

x ? 2a ?1 对称,又 1 ? 2a ?1 ? 3 ,故对 x ? ?1, 6? , g ( x)min ? f1 (2a ? 1) ? 1
②当 2 ? a ? 6 时, (2a ? 1) ? a ? a ? 1 ? 0 ? 2a ?1 ? a , 当 x ? a 时, f1 ( x) ? e
? x ? (2 a ?1)

? e? x?a ?1 ? f 2 ( x), g ( x) ? f 2 ( x) ? e|x?a|?1 ; ? e? x?a ?1 ? f 2 ( x), g ( x) ? f1 ( x) ? e|x?2 a ?1| ? e? x?a?1 ? f 2 ( x), 得 x ?

当 x ? 2a ?1 时, f1 ( x) ? e

? x ? (2 a ?1)

当 a ? x ? 2a ?1 时, f1 ( x) ? e 其中 a ?

? x ? (2 a ?1)

3a ? 2 3a ? 2 3a ? 2 故 时 ? x ? 2a ? 1 时 g ( x) ? f1 ( x) ? e| x ?2 a ?1| ; a ? x ? ? 2a ? 1 . 2 2 2

3a ? 2 , 2

g ( x) ? f 2 ( x) ? e| x ?a|?1 .由此当 2 ? a ? 6 时,
3a ? 2 ? ? f1 ( x), x ? 2 令 f1 ( x) ? e| x ?2 a ?1| ? e ? x1 ? 2a ? 2, x2 ? 2a ,且 3a ? 2 ? 2a ? 2 ? g ( x) ? ? 2 ? f ( x), x ? 3a ? 2 ? 2 ? 2

(A)当 a ? 6 ? 2a ? 2 ,即 4 ? a ? 6 时, g ( x)min ? f 2 (a) ? e ; (B)当 2a ? 2 ? 6 ? 2a ?1 ,即 7 ? a ? 4 时, g ( x)min ? f1 (6) ? e
2
2 a ?7

(C)当 2a ?1 ? 6 ,即 2 ? a ? 7 时, g ( x)min ? f1 (2a ? 1) ? 1
2

综上所述

g ( x) min

7 ? ?1,1 ? a ? 2 ? 7 ? ? ?e 2 a ? 7 , ? a ? 4 2 ? ?e, 4 ? a ? 6 ? ?
第 10 页 共 11 页

?????15 分

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