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宜春市2012—2013学年第一学期期末统考 高一年级数学试卷答案及


宜春市 2012—2013 学年第一学期期末统考 高一年级数学试卷答案及评分标准
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分.请将所选项的代号填入相应格内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 题号 答案 A D A B B C D B D 10 C

二、填空题:每小题 5 分,共 25 分.请将答案填入相应栏内. 11、2 12、四 13、 4 ? 4 3 14、2 15、 ? ?2,

? ?

25 ? ? 12 ?

三、解答题:本题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.

16、 (本题滿分 12 分)
37 64 ? 25 解:原式= ( ) 2 + 10 2 + ( ) 3 -3+ ………4 分 48 27 9 5 9 37 +100+ -3+ ………7 分 3 16 48
1
2

=

=100………12 分

17、 (本题滿分 12 分)

?x ? 2 ?2 x ? y ? 5 ? 0 解、 (1)由 ? 得: ? 即交点为(2,1) 。………2 分 ?y ?1 ?x ? 2 y ? 0
当 l 的斜率不存在时, l 的方程为: x ? 2 ,滿足题意;…………4 分 当 l 的斜率存在时,可设 l 的方程为: y ? 1 ? k ( x ? 2) 即 kx ? y ? 1 ? 2k ? 0 ,由

d?

5k ? 1? 2 k k ?1
2

? 3 得: k ?

4 ,此时 l 的方程为: 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 ; 3

由上述可知: l 的方程为: x ? 2 或 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 。…………………

(6 分)

(2)设交点(2,1)为 P,则当且仅当 AP ? l 时,点 A 到直线 l 的距离最大, 此时 l 的斜率 kl ? ?
1 ? 3 ,……………10 分 k AP

故 l 的方程为: y ? 1 ? 3( x ? 2) 即 3x ? y ? 5 ? 0 。……………(12 分)

高一数学答案第 1 页(共 4 页)

18、 (本题滿分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:连接 AF,则 AF ? 2 2, DF ? 2 2 , 又 AD ? 4, ? AF 2 ? DF 2 ? AD2 ? AF ? DF ………3 分 又 PA ? 平面 ABCD ? PA ? DF ,
又 PA

AF ? A ? DF ? 平面 PAF ……………6 分

(Ⅱ) 过点 E 作 EH FD 交 AD 于点 H, 则 EH 平面 PFD , 1 且易知 AH=4AD. 1 再过点 H 作 HG DP 交 PA 于点 G,则 HG 平面 PFD 且 AG=4AP, ∴平面 GEH 平面 PFD .……………10 分 又 EG ? 平面 GEH ,? EG 平面 PFD . 1 从而满足 AG=4AP 的点 G 为所求.………12 分 (其它解法参考给分)

19、 (本题滿分 12 分) 解:(1)

f ( x) ? 2(log2 x)2 ? 2a log2 x ? b( x ? 0) ,令 t ? log2 x ,则有

1 a a2 f ( x) ? 2t 2 ? 2at ? b ? 2(t ? ) 2 ? b ? , x ? 即 t ? ?1 时, f ( x)min ? 1, 2 2 2

?a ? ?1 ? ? a ? ?2 ?2 ?? ?? 2 ?b ? a ? 1 ?b ? 3 ? ? 2

……………6 分

?a ? ?2 (2) ? ? f ( x) ? 2(t ? 1)2 ? 1 ,……………8 分 ?b ? 3
1 ? x ? 8,??2 ? t ? 3 ……………10 分 4

?1 ? y ? 33 .
20、 (本题滿分 13 分)

……………12 分

高一数学答案第 2 页(共 4 页)

解: (1)设 o 的圆心 O 到 l 的距离为 d , 弦长为 2,

?d ? r 2 ?1 ? 10 ?1 ? 3 ……………3 分

又d ?

m 5

? 3? m ? 3 5 ? m ? ?3 5 。

……………6 分

(2) l 与 o 的交点分别为 A,B, 则由 OA ? OB, OA ? OB ? 10 ……………9 分

?d ? 5?

m 5

? 5, m ? ?5 。

……………13 分

21、 (本题滿分 14 分)

解 :(1)

对 任 意 实 数 x,y 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , ? 令 x ? y ? 0 得 :
0.
……………3 分

f ( 0)? 2f ( 0), ? f ( 0) ?

(2)

f ( x) 的定义域为 R,? f ( x) 的定义域关于原点对称。

又 令 y ? ? x, 则 有 : f ( 0 ? ) f ( x? ) f ?( x ? ) , f ? ( x ?) ? f x (? ) ,是 f 奇 x( 函 ) 数……………7 分
(3)设 x1 , x2 ? (??, ??), x1 ? x2 , 则有:

x2 ? x1, ? x2 ? x1 ? 0 , ? f( x ) ?, 0 f ( x2 ) ? f ( x1 ),? f ( x) 是 R 上 的 减 函 2 ? x 1
数。……………10 分。

1 1 f (1) ? ? ,? f (?1) ? ,? f (?2) ? 1 。……………11 分 2 2

? 不等式 f ( x2 ? 2ax ? 1) ? 1即是 f ( x2 ? 2ax ?1) ? f (?2),? x2 ? 2ax ?1 ? ?2 即
x2 ? 2 a x? 1 ? 0 对 x ? ? 2, 4? 恒成立。
方法一:即 a ?

x 1 ? 对 x ? ? 2, 4? 恒成立。 2 2x x 1 ? 2 2x
, 则 由



g ( x) ?

g ( x)



x ?? 2, 4? 上 单 调 递 增 ,

? g ( x) min ? g (2) ? 1 ?
2

1 5 5 ? ? a ? 。 ……………14 分 4 4 4

方法二:令 ? ( x) ? x ? 2ax ? 1 , ( x ?? 2 4 ,

?)
5 5 ,故 a ? 滿 4 4

当 a ? 2 时, ? ( x) 在 ? 2, 4? 上递增, ? ( x) min ? ? (2) ? 5 ? 4a ? 0 ? a ?

高一数学答案第 3 页(共 4 页)

足题意; 当 2 ? a ? 4 时, ? ( x)min ? ? (a) ? 1 ? a2 ? 0 ? ?1 ? a ? 1,此时与 2 ? a ? 4 矛盾; 当 a ? 4 时, ? ( x) 在 ? 2, 4? 上递减, ? ( x) min ? ? (4) ? 17 ? 8a ? 0 ? a ?

17 ,此时与 8

a ? 4 矛盾。
由上述可知: a ?

5 4

……………14 分

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