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2016-2017学年湖北省荆州市高二上学期期末考试数学(理)试卷(带解析)

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2016-2017 学年湖北省荆州市高二上学期期末考试数学(理) 试卷(带解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1. 为了了解1000名学生的学习情况, 采用系统抽样的方法, 从中抽取容量为40的样本, 则分段的间隔为( ) A. 50 B. 40 C. 25 D. 20 2. 已知随机变量服从正态分布 (0, 2 ), 若( > 3) = 0.023, 则(?3 ≤ ≤ 3) = ( ) A. 0.954 B. 0.023 C. 0.977 D. 0.046 3.执行如图 1 所示的程序框图,如果输入的 ∈ [?2,2],则输出的属于( )

A. [?6, ?2] B. [?5, ?1] C. [?4,5] 4.如图所示的程序表示的算法是( )

D. [?3,6]

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A. 交换 与的位置 B. 辗转相除法 C. 更相减损术 D. 秦九韶算法 5.已知随机变量, 满足 + = 8,若 ? (10,0.6),则(), ()分别是( ) A. 6 和 2.4 B. 2 和 2.4 C. 2 和 5.6 D. 6 和 5.6 6.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某处运动,得到如下的列联表:

由卡方公式算得:2 ≈ 7.8 附表:

参照附表:得到的正确的结论是( ) A. 在犯错的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该运动与性别无关” B. 在犯错的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该运动与性别有关” C. 有 99%以上的把握认为“爱好该运动与性别有关” D. 有 99%以上的把握认为“爱好该运动与性别无关” 7.已知点(, )是直线 + + 4 = 0( > 0)上的一动点,, 是圆: 2 + 2 ? 2 = 0 的两条切线(为圆心), , 是切点, 若四边形的面积的最小值是 2, 则的值为 ( ) A. 3 B.
21 2

C. 2 2

D. 2

8.设某大学的女生体重(单位:)与身高(单位:)具有线性相关关系,根据一组样 本数据( , )( = 1,2, ? , ),用最小二乘法建立的回归方程为 = 0.85 ? 85.71,则下 列结论中不正确的是( ) A. 与具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心(, ) C. 若该大学某女生身高增加 1,则其体重约增加 0.85 D. 若该大学某女生身高增加 170,则可断定其体重必为 58.79 2 2 9.已知圆1 : 2 + 2 ? 2 + = 4,圆2 : 2 + 2 + 2 ? 2 = 8 ? (> 3),则两圆 的位置关系是( ) A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离
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10.有 4 位同学在同一天的上午、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握 力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学测试两个项目,分别在上午和下午,且每人上 午和下午测试的项目不能相同.若上午不测“握力”,下午不测“台阶”,其余项目上午、 下午都各测试一人,则不同的安排方式的种数为( ) A. 264 B. 72 C. 266 D. 274
2 2013 11.若(1 ? 2)2013 = 0 + 1 + ? + 2013 2013 ( ∈ ),则21 ) 2 + 3 + ? + 2014 值为( 2 2







A. 1

B. 0

C. ?

1 2

D. ?1

12.在平面直角坐标系 中,点(0,3),直线 : = 2 ? 4,设圆的半径为 1,圆心在 上,若圆上存在点 ,使| | = 2| |,则圆心的横坐标的取值范围为( ) A. [0, ]
5 12

B. [0,1]

C. [1, ]
5

12

D. (0, )
5

12

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13. 员在这五场比赛中得分的方差为

14.一个盒子中装有 4 只产品,其中 3 只是一等品,1 只是二等品,从中取产品两次, 每次任取 1 只,做不放回抽样.设事件为“第一次取到的是一等品”,事件是“第二次 取到的是一等品”,则( )__________.(( )为在发生的条件下发生的概率)

≤ 15.若, 满足约束条件{ + ≤ 1,则 = 的范围是__________. +1 > ?1
16.已知函数 = ()( ∈ ),对函数 = ()( ∈ ),定义()关于()的“对称函数” 为函数 = (), ∈ .即 = (), ∈ 满足对任意 ∈ ,两点(, ()), (, ())关于点 (, ())对称.若()是() = 4 ? 2 关于() = 3 + 的对称函数, 且() > ()恒成

立,则实数 的取值范围是__________. 评卷人 得分 三、解答题 17. (1)设集合= {1,2,3}和 = {?1,1,2,3,4,5},从集合 中随机取一个数作为,从 中随机取 一个数作为.求所取的两数中能使2 ≤ 时的概率; (2)设点(, )是区域{

+ ? 6 ≤ 0 内的随机点,求能使2 ≤ 时的概率. > 0 > 0

18. 已知圆: 2 + 2 ? 4 + 2 ? 3 = 0和圆外一点 (4, ?8). (1)过 作圆的切线,切点为, ,圆心为,求切线长及所在的直线方程; (2)过 作圆的割线交圆于, 两点,若|| = 4,求直线的方程. 19.某校 100 位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间 是:[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100].

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(1)求图中的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的中位数; (3)若这 100 名学生的语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数之 比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.(分数可以不为整数)

20. (本小题满分 12 分) 设平面直角坐标系 中, 设二次函数() = 2 + + ( ∈ )的图象与两坐标轴有三个 交点,经过这三个交点的圆记为.求: (1)求实数的取值范围; (2)求圆的方程(用含的方程表示) (3)问圆是否经过某定点(其坐标与无关)?请证明你的结论. 21. 某中学高二年级共有 8 个班,现从高二年级选 10 名同学组成社区服务小组,其中高二 (1)班选取 3 名同学,其它各班各选取 1 名同学.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同 学到社区老年中心参加“尊老爱老”活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的 3 名同学来自不同班级的概率; (2)设为选出的同学来自高二(1)班的人数,求随机变量的分布列和数学期望. 22. 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相 同.随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为, , . (1)求“抽取的卡片上的数字满足 + = ”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字, , 不完全相同”的概率.

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:由题意知,分段间隔为
1000 40

= 25,故选 C.

考点:本题考查系统抽样的定义,属于中等题. 2.A 【解析】 因为随机变量 服从正态分布 N(0, σ2 ),则 =0 ,则正态密度曲线关于关于直线 = 0对称; 由 P(ξ > 3) = 0.023 及正 态分布的 性质有 P(ξ < ?3) = 0.023 ,所以 (?1 ≤ ≤ 3) = 1 ? ( > 3) ? ( < ?3) = 3 ? 0.023 ? 0.023 = 0.954 . 故正确答案为 A . 3.D 【解析】 试题分析:当 ∈ [?2,0)时,运行程序如下, = 2 2 + 1 ∈ (1,9], = ? 3 ∈ (?2,6],当 ∈ [0,2] 时, = ? 3 ∈ [?3, ?1],则 ∈ (?2,6] ∪ [?3, ?1] = [?3,6],故选 D. 考点:程序框图 二次函数 4.B 【解析】 利用辗转相除法的定义可以知道:此程序表达是辗转相除法.故选 B. 点睛:由程序框图可得: = , = , = , 当 = 0时,输出 的值,两个整数的 最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数, 两个整数的最大公约数等于其中较小的数 和两数的相除余数的最大公约数.本题考查了辗转相除法,在平时学习中要多加强这个方面 的学习,这样考试的时候灵活的应用,并很快得到答案,本题属于基础题,考试的时候不能 丢分. 5.B 【解析】 ∵ 随机变量X + Y = 8,X ? B(10,0.6), ∴ () = 10 × 0.6 = 6, () = 10 × 0.6 × (1-0.6)=2.4 , ∴ () = (8 ? ) = 8 ? () = 8 ? 6 = 2 , () = (8 ? ) = (?1)2 () = () = 2.4 . 故选:B. 6.C 【解析】 由7.8 > 6.635 知, 有1 ? 0.010 即99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 故选 C. 7.D 【解析】

答案第 1 页,总 8 页

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由题可得,圆方程:2 + ( ? 1)2 = 1 . 故圆半径为1. ? ,所以 = 2 ? || ? || × 2 = || ≥ 2 , 所 以 || = ||2 + ||2 ≥ 5 , 当 且 仅 当 直 线 垂 直 于 直 线
2 +1
|× 0+1+4|

1

+ + 4 = 0 成立,此时|| =

= 5 ,所以 = 2 .

故本题正确答案为 D. 8.D 【解析】 本题主要考查回归分析的基本思想及其初步应用。 A 项,由回归直线方程为y = 0.85x ? 85.71知随的增大而增大,所以与 具有正的线性相 关关系,故 A 项不符合题意; B 项, 由最小二乘法建立回归方程的过程知 = ? , 所以回归直线过样本点的中心(x, y), 故 B 项不符合题意; C 项,由回归直线方程为y = 0.85x ? 85.71知该大学某女生身高增加1,则其体重约增加 0.85,故 C 项不符合题意; D 项,线性回归方程只能估计总体,所以该大学某女生身高为170 ,不能断定其体重必为 58.79,故 D 项符合题意. 故本题正确答案为 D. 9.D 【解析】 将两圆方程分别化为标准式得到圆1 : ( ? )2 + 2 = 4 ;圆2 : ( + 1)2 + ( ? )2 = 9 , 则圆心1 ( , 0), 2 (?1, ) ,半径 1 = 2, 2 = 3 , 两圆的圆心距
2 2 1 2 = (+ 1)2 + = 2 + 2+ 1 > 2 × 32 + 2 × 3 + 1 = 5 = 2 + 3 ,

则圆心距大于半径之和, 故两圆相离.因此,本题正确答案是:D. 10.A 【解析】 先安排4 位同学参加上午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“台阶”测试,共有4 4 种 不同安排方式;接下来安排下午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”测试,假
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设 A、B、C 同学上午分别安排的是“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试,若 D 同学选 择“握力”测试,安排 A、B、C 同学分别交叉测试,有2 种;若 D 同学选择“身高与体重”、“立 定跳远”、“肺活量”测试中的1 种,有1 3 种方式,安排 A、B、C 同学进行测试有3 种;根据 4 计数原理共有安排方式的种数为4 (2 + 1 3 × 3) = 264 故选 A. 11.C 【解析】 令 = 0得0 = 1 , 令 = ,得0 +
2 a1 22 a a 1

1
2

+

2
22 1

+ ?+

2013
22013

= 0 ,∴

1
2

+

2
22

+?+

2013
22013

= ?1

2013 + 22 3 + ? + 2014 = ? .故选 C. 2 2

12.A 【解析】 圆 的 圆 心 在 直 线 = 2 ? 4 上 , 故 的 坐 标 为 (, 2 ? 4) , 设 点 (, ) , 因 为 |MA| = 2|MO|,则 2 + ( ? 3)2 = 2 2 + 2 , 得2 + 2 + 2 ? 3 = 0 ,即2 + ( + 1)2 = 4 ,所以点 (, )在以(0, ?1)为圆心,以2为半径的圆上,又点 (, )在 圆上,所以圆与圆有公共点,所以2 ? 1 ≤ ≤ 2 + 1 ,即1 ≤

2 + (2 ? 3)2 ≤ 3 ,即

2 12 + 8 ≥ 0 ,解得0 ≤ ≤ 12 .故选 A. {5 ? 5 52 ? 12 ≤ 0 点睛:本题主要考查的是圆与圆的位置关系,但是条件设置的比较复杂,需要从动点的角度 要就轨迹,采用直接法,设出动点M的坐标 (, ),根据关系|MA| = 2|MO|,建立方程,整 理可得点 (, )在以(0, ?1)为圆心, 以2为半径的圆上, 进而转成两圆有公共点即可求得的 范围. 13.6.8 【解析】

试题分析:得分的平均分为 =
1

8+9+10+13+15 5

= 11,

方差 2 = 5 [(8 ? 11)2 + (9 ? 11)2 + (10 ? 11)2 + (13 ? 11)2 + (15 ? 112 )] = 6.8. 考点:平均数,方差. 14.
2 3

【解析】 将产品进行编号,1,2,3号为一等品,4号为二等品,用( , )表示第一次、第二次分别取 到第 号、第 号产品( , = 1,2,3,4), 则 试 验 的 基 本 事 件 空 间 为 {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)} . 则事件包含9个基本事件,事件包含有6个基本事件, 根据条件概率公式(|) = 故(|) = 3 .
2

() ()

= 9 = 3.

6

2

答案第 3 页,总 8 页

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点睛: 本题主要考察了对条件事件的理解以及条件事件概率的计算, 根据题目条件先列出基 本事件的个数,根据进而得出事件与事件的个数,并根据条件事件概率公式计算即可得 出答案.条件事件的概率公式:(|) = 15.(?∞, 3] 【解析】
1

() . ()

= +1可以看作是区域中的点(, )和点(?1,0)的斜率,可得的范围为 ?∞, 3 .
点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想,需要注意的是:一,准确 无误的作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进 行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上 取得.本题当中,将 = 16.> 2 10 【解析】 由“对称函数”的定义及中点坐标公式得
()+ 4?2
2



1

可以看作是区域中的点(, )和点(?1,0)的斜率即可. +1

= 3 + 所以,() = 6 + 2? 4 ? 2 , 4 ? 2 恒成立,亦即直线 及 = 2 解得

h(x) > g(x) 恒成立即 6 + 2? 4 ? 2 >

4 ? 2 , 3 + >

= 3 + 位于半圆 = 4 ? 2 的上方.在同一坐标系内, 画出直线 = 3 +
半 圆 = 4 ? 2 ( 如图 所示 ) , 当直线 与半 圆相 切时,
|3× 0?0+ | 1+32

| | = 2 10 ,故答案为m > 2 10.

答案第 4 页,总 8 页

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17. (1)

; (2)

.

【解析】 试题分析:(1)属于古典概型,只要求出从集合 中随机取一个数作为,从 中随机取一个数作 为的所有可能结果,以及取得两个数中能使2 ≤ 时的结果,利用公式即可得出答案; (2)画出平面区域以及取得两个数中能使2 ≤ 时的区域,利用面积比求概率. 本题主要考查古典概型和几何概型的概率公式的计算 ,古典概型求出事件的所有结果 ,以及 某事件的结果,由古典概型公式可得概率; 试题解析: (1)2 ≤ 若 = 1则 = ?1, 若 = 2则 = ?1,1,若 = 3 则 = ?1,1, 记事件 为“所取的两数中能使2 ≤ ”,则事件包含基本事件的个数是1 + 2 + 2 = 5 ∴所求事件的概率为() =
5 18

.

(2)依题设条件可知试验的全部结果所构成的区域为{ 而构成所求事件的区域为三角形 部分,如图所示.

+ ? 6 ≤ 0 > 0 > 0

由{

+ ? 6 = 0 解得交点为(4,2) . = 2


∴所求事件的概率为 =

=

1 × 6× 2 2 1 × 6× 6 2

= 3.

1

18. (1 ) 切线长为 |CM|2 ? r2 = 3 5,DE直线方程为2 ? 7 ? 19 = 0; (2) 直线: 45 + 28 + 44 = 0或 = 4. 【解析】 试题分析:(1)利用切线的性质可以知道,切线长、半径、 点到圆心距离满足勾股定理,则切 线长可求;再利用切点与点 的连线和半径垂直以及切点, 都在圆上列出方程组,两式相减即 可得到所在直线的方程; (2)先将圆的方程化成标准式,求出圆心和半径,再根据弦长为4,结合垂径定理得到圆心到直 线的距离,则就可以利用点到直线的距离公式求出直线的斜率,问题获解. 试题解析: (1)圆方程(x ? 2)2 + (y + 1)2 = 8, |CM| = 53,切线长为 |CM|2 ? r2 = 3 5. 由于C, D, M, E四点共圆,则过C, D, M, E的圆方程为(x ? 3)2 + (y + 2)2 =
9 53 4

由于DE为两圆的公共弦,则两圆相减得DE直线方程为:2x ? 7y ? 19 = 0. (如用圆的切线方程求出的相应给分)
答案第 5 页,总 8 页

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(2)①若割线斜率存在,设AB: y + 8 = k(x ? 4),即kx ? y ? 4k ? 8 = 0. 设AB的中点中点为N,则|CN| = 由|CN|2 + (
|AB| 2 ) 2 |2k+1?4k?8| k +1 45 28
2

? |CN| =

|2k+7|

k2 +1



= r2 ,得k = ? ;直线AB: 45x + 28y + 44 = 0.

②若割线斜率不存在,AB: x = 4. 代入圆方程得y2 + 2y ? 3 = 0 ? y1 = 1, y2 = ?3,符合题意. 综上直线AB: 45x + 28y + 44 = 0或x = 4. 19. (1) = 0.005; (2)71 3; (3)见解析. 【解析】 试题分析: (1)根据频率之和等于 1 即可得出答案。 (2)利用(1)中求得的的值,利用中位数的左右两边图形面积相等即可得出答案 (3)根据各组分数段人数所占的比例,求得数学成绩在[50,90)内的人数,用总人数减去成 绩在[50,90)内的人数记为成绩在[50,90)之外的人数。 试题解析: (1)由概率和为1 可得:0.2 + 0.3 + 0.4 + 20a = 1 ? a = 0.005 (2)区间[50,70]的概率和为0.05 + 0.4 = 0.45,则区间[70,80]中还需拿出概率0.05的区域才 到达概率为0.5,即区间[70,80]要拿出6的区域,故中位数为70 + 6 × 10 = 71 3. (3) 分数段 x: y x y 5人 5人 [50,60) 1: 1 [60,70) 2: 1 40 人 20 人 [70,80) 3: 4 30 人 40 人 [80,90) 4: 5 20 人 25 人
1 1 2 2

根据上表知:[50,90)外的人数为:100 ? (5 + 20 + 40 + 25) = 10. 20. (1) < 4且 ≠ 0 ; (2)x2+y2+x-(b+1)y+b=0; (3)见解析 【解析】 (1)根据题意知,由抛物线与坐标轴有三个交点可以知道抛物线不过原点即 b ≠ 0,然后抛物线 与 x 轴有两个交点即令() = 0的根的判别式大于0 即可求出的范围; (2)设出圆的一般式方程,根据抛物线与坐标轴的交点坐标可以知道:令 = 0 得到与() = 0 一样的方程;令 = 0得到方程有一个根是 即可求出圆的方程; (3)由(2)得到圆的方程x2 + y2 + x ? y ? b(y ? 1) = 0,只需令 = 1即可找到定点. 解: (Ⅰ)令x = 0,得二次函数图象与y轴交点是(0, b); 因为二次函数二次项系数为1,由二次函数性质得二次函数f(x) = x2 + x + b(x ∈ R)的图象必 与x轴有两个交点. 令f(x) = x2 + x + b = 0,由题意b ≠ 0 且Δ > 0,解得b < 且b ≠ 0.
4 1 1

(Ⅱ)设所求圆的一般方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 令y = 0 得x2 + Dx + F = 0这与x2 + x + b = 0 是同一个方程,故D = 1, F = b. 令x = 0 得y2 + Ey + b = 0,此方程有一个根为b 且b ≠ 0,代入得出E = ?b ? 1 .
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所以圆 C 的方程为2 + 2 + ? ( + 1) + = 0 . (Ⅲ)圆 C:x2 + y2 + x ? (b + 1)y + b = 0方程化为x2 + y2 + x ? y ? b(y ? 1) = 0 则圆必过定点(0,1)和(?1,1). 证明如下:将(0,1) 代入圆 C 的方程,得左边= 02 + 12 + 0 ? (b + 1) + b = 0,右边=0, 所以圆 C 必过定点(0,1). 同理可证圆 C 必过定点(?1,1). 21. (1) ; (2)见解析.
60 49

【解析】 试题分析: (1)设“选出的3名同学来自不同班级”为事件,利用排列组合知识能求出选出的 3名同学来自班级的概率. (2)随机变量的所有可能值为0,1,2,3 分别求出相应的概率,由此能求出随机变量的分布 列. 试题解析: (1)三名学生均不来自高二(1)班的概率为p1 = 三名学生有 1 名来自高二(1)班的概率为p2 = 三名学生来自不同班级的概率为p = 24 + 40 = 60 (2)X = 0时,p = X = 2时,p =
C7 C7 C10
2 3 3

C7 8 C8 10

=
21 40

35 120

=

7 24

C3

1×C

C10

7 3

2

=

63 120

=

7

21

49

=

35 120

= ,X = 1时,p =
24 7

7

C7

2× C 3 C10 3 3 3

1

=

63 120

=

21 40

1× C 3 C10 3

=

21 120

= ,X = 3时,p =
40

C3 C10

=

1

120

.

X的分布列如下表:



0 з 24

1 21 40

2 7 40

3

7 21 7 1 9 +1× +2× +3× = = 0.9 24 40 40 120 10 【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为: 第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义; 第二步是“探求概率”即利用排列组合,枚举法,概率公式求出随机事件取每个值时的概率; 第三步:写出“分布列”即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列 或某事件的概率是否正确; 第四步是“求期望值”,利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.

() = 0 ×

22. (1)27; (2)9. 【解析】 试题分析:本题主要考查事件与概率. (1)列出基本事件的数目和事件a + b = c的数目,故可求出所要求的概率; (2)可先求出对立面的概率,用1 相减即可得到所要求的概率. 试题解析: ( 1 ) 由 题 意 , 随 机 有 放 回 的 抽 取 3 次 , 基 本 事 情 (1,1,1), (1,2,2), (1,1,3) ,
答案第 7 页,总 8 页

8

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(1,2,1), (1,2,2), (1,2,3), (1,3,1),(1,3,2)(1,3,3) … (3,3,3) 共有27 个 又a + b = c包含三个基本事件:(1,1,2), (1,2,3), (2,1,3) 对应的概率p =
3 27

= .
9

1

(2) “a, b, c不完全相同”的对立事件是“a, b, c完全相同”,“a, b, c完全相同”包含三个基本事件: “a = b = c = 1 , a = b = c = 2 , a = b = c = 3 ” 所以p = 1 ? 27 = 9. 点睛:古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求 .对于基本事件有“有序”与“无序” 区别的题目,常采用树状图法. (3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题 目具体化. (4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
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