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江西省南昌市六校联考2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版).doc


2016-2017 学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中 学等六校联考高二(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请将正确答案的代号填在相应答题卷内) 1.复数 A.1+2i 的共轭复数是( B.1﹣2i ) C.2+i D.2﹣i

2.用数学归纳法证明 1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1(n∈N*)的过程中,在验证 n=1 时,左端计 算所得的项为( A.1 3.若 ) B.1+2 C.1+2+22 D.1+2+22+23 中,正确

,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|<|b|;③a<b;④ ) B.②③ C.③④ ) D.①②④

不等式的序号是( A.①②

4.已知命题 p、q,“?p 为真”是“p∧q 为假”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 5.已知点 P(1,﹣ A. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) ,则它的极坐标是( B. ) C.

D.

6.已知双曲线 M:

(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为 ) D.

(c

为双曲线的半焦距长) ,则双曲线的离心率 e 为( A. B. C.

7.如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 下方的阴影部分区域,则阴影部分 E 的面积为( )

图象

A.ln2 8.若 A.6 9. A.1

B.1﹣ln2 (2x+ )dx=3+ln2,则 a 的值是( B.4 等于( B.0 )

C.2﹣ln2 ) C .3

D.1+ln2

D.2

C .π

D.π+1 ) D.0 ) D. (2,+∞)

10.曲线 y=ln(2x﹣1)上的点到直线 2x﹣y+3=0 的最短距离是( A. B.2 C .3

11.函数 f(x)=(x﹣3)ex 的单调递减区间是( A. (﹣∞,2) B. (0,3)

C. (1,4)

12.某地区为了绿化环境进行大面积植树造林,如图所示,在区域{(x,y)|x≥0,y≥0} 内植树,第 1 棵树在点 A1(0,1)处,第 2 棵树在点 B1(1,1)处,第 3 棵树在点 C1(1, 0)处,第 4 棵树在点 C2(2,0)处,接着按图中箭头方向每隔 1 个单位种 1 棵树.第 n 棵 树所在点的坐标是(46,0) ,则 n=( )

A.1936

B.2016

C.2017

D.2208

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 z∈C,且|z|=1,则|z﹣i|的最大值为 . . .

14.曲线 y=﹣5ex+3 在点(0,﹣2)处的切线方程为

15.命题“存在 x∈R,x2+2ax+1<0”为假命题,则 a 的取值范围是 16.由 y2=4x 与直线 y=2x﹣4 所围成图形的面积为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 是参数) ,以原点 O ) .

为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8cos(θ﹣ (1)求曲线 C2 的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线; (2)若曲线 C1 与曲线 C2 交于 A,B 两点,求|AB|的最大值和最小值.

18.设函数 f(x)=2x3+3ax2+3bx+c 在 x=1 及 x=2 时取得极值,且函数 y=f(x)过原点,求 函数 y=f(x)的表达式. 19.已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两上不相等的负实根,命题 q:不等式 4x2+4(m﹣2) x+1>0 的解集为 R,若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求 m 的取值范围. 20.已知椭圆 C: =1(a>b>0)中,椭圆长轴长是短轴长的 倍,短轴的一个

端点与两个焦点构成的三角形的面积为 (1)求椭圆 C 的标准方程;



(2)已知动直线 y=k(x+1)与椭圆 C 相交与 A,B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标为﹣ ,求斜率 k 的值. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣kx+1. (1)当 k=2 时,求函数的单调增区间; (2)若 f(x)≤0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围. 22.已知函数 f(x)=lnx+ x2﹣(a+1)x(a∈R) .

(I)a=1 时,求函数 y=f(x)的零点个数; (Ⅱ)当 a>0 时,若函数 y=f(x)在区间[1.e]上的最小值为﹣2,求 a 的值.

2016-2017 学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等六校联考高二(上)期末数 学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请将正确答案的代号填在相应答题卷内) 1.复数 A.1+2i 的共轭复数是( B.1﹣2i ) C.2+i D.2﹣i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z 得答案. 【解答】解:由 = ,

得复数 故选:A.

的共轭复数是:1+2i.

2.用数学归纳法证明 1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1(n∈N*)的过程中,在验证 n=1 时,左端计 算所得的项为( A.1 【考点】数学归纳法. 【分析】通过表达式的特点,直接写出结果即可.
2 n+1 n+2 * 【解答】解:用数学归纳法证明 1+2+2 +…+2 =2 ﹣1(n∈N )的过程中,

) B.1+2 C.1+2+22 D.1+2+22+23

左侧的特点是,由 1 一直加到 2

n+1

项结束.
2

所以在验证 n=1 时,左端计算所得的项为:1+2+2 . 故选:C.

3.若 等式的序号是( A.①②

,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|<|b|;③a<b;④ ) B.②③ C.③④

中,正确不

D.①②④

【考点】不等式比较大小. 【分析】若 ,则 a<0,b<0,且 a>b 则①a+b 为负数,ab 为正数;②绝对值的

意义判断,③赋值来处理;④借助于均值不等式来处理. 【解答】解:若 ,则 a<0,b<0,且 a>b

则①a+b<0,ab>0,故①正确; ②a<0,b<0,且 a>b,显然|a|<|b|,故②正确; ③由②得 a>b,故③错; ④由于 a<0,b<0,故 >0, >0 则 + ≥2 =2(当且仅当 = 即 a=b 时取“=”)

又 a>b,则 + >2,故④正确; 故选:D.

4.已知命题 p、q,“?p 为真”是“p∧q 为假”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据复合命题真假之间的关系,以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. p 为真,则 p 且假命题,则 p∧q 为假成立, 【解答】解:若? 当 q 为假命题时,满足 p∧q 为假,但 p 真假不确定,∴¬p 为真不一定成立, ∴“?p 为真”是“p∧q 为假”的充分不必要条件. 故选:A.

5.已知点 P(1,﹣ A.

) ,则它的极坐标是( B.

) C. D.

【考点】点的极坐标和直角坐标的互化. 【分析】根据点的直角坐标求出 ρ,再由 2=ρcosθ,﹣ 极坐标. 【解答】解:∵点 P 的直角坐标为 ,∴ρ= =2. =ρsinθ,可得 θ,从而求得点 P 的

再由 1=ρcosθ,﹣

=ρsinθ,可得

,结合所给的选项,可取 θ=﹣



即点 P 的极坐标为 (2, 故选 C.

) ,

6.已知双曲线 M:

(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为 ) D.

(c

为双曲线的半焦距长) ,则双曲线的离心率 e 为( A. B. C.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线方程可得它的渐近线方程为 bx±ay=0,焦点坐标为(±c,0) .利用点 到直线的距离,结合已知条件列式,可得 b,c 关系,利用双曲线离心率的公式,可以计算 出该双曲线的离心率. 【解答】解:双曲线双曲线 M: (a>0,b>0)的渐近线方程为 bx±ay=0,焦

点坐标为(±c,0) ,其中 c=
2 2 ,即 7b =2a ,

∴一个焦点到一条渐近线的距离为 d=

=

由此可得双曲线的离心率为 e= = 故选:C.



7.如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 下方的阴影部分区域,则阴影部分 E 的面积为( )

图象

A.ln2

B.1﹣ln2

C.2﹣ln2

D.1+ln2

【考点】定积分在求面积中的应用. 【分析】阴影部分 E 由两部分组成,矩形部分用长乘以宽计算,曲边梯形的面积,利用定 积分计算. 【解答】解:由题意,阴影部分 E 由两部分组成 因为函数 ,当 y=2 时, x= ,所以阴影部分 E 的面积为 +

=1+ 故选 D.

=1+ln2

8.若 A.6

(2x+ )dx=3+ln2,则 a 的值是( B.4

) C .3 D.2

【考点】定积分. 【分析】将等式左边计算定积分,然后解出 a. 【解答】解:因为
2 所以(x +lnx)|

(2x+ )dx=3+ln2, =a2﹣1+lna=3+ln2,所以 a=2;

故选 D.

9. A.1 【考点】定积分.

等于( B.0

) C .π D.π+1

【分析】求出原函数,即可求出定积分. 【解答】解:原式=(sinx+x) 故选 C. =π,

10.曲线 y=ln(2x﹣1)上的点到直线 2x﹣y+3=0 的最短距离是( A. B.2 C .3

) D.0

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】设与曲线 y=ln(2x﹣1)相切且与直线 2x﹣y+3=0 平行的直线方程为:2x﹣y+m=0, 设切点为(x0,y0) ,利用导数的几何意义可求出切点坐标,再利用点到直线的距离公式即 可得出. 【解答】解:y=ln(2x﹣1)的导函数为 y′= ,

设与曲线 y=ln(2x﹣1)相切且与直线 2x﹣y+3=0 平行的直线方程为:2x﹣y+m=0, 设切点为(x0,y0) ∴ =2,解得 x0=1,

∴y0=ln(2x0﹣1)=ln1=0, ∴切点为(1,0) ∴切点(1,0)到直线 2x﹣y+3=0 的距离为 = . .

即曲线 y=ln(2x﹣1)上的点到直线 2x﹣y+3=0 的最短距离是 故选:A.

11.函数 f(x)=(x﹣3)ex 的单调递减区间是( A. (﹣∞,2) B. (0,3)

) D. (2,+∞)

C. (1,4)

【考点】利用导数研究函数的单调性.
x 【分析】利用函数 f(x)=(x﹣3)e 的单调递减区间,求出导函数,解不等式

【解答】解:∵数 f(x)=(x﹣3)e
x ∴f′(x)=(x﹣2)e ,

x

根据单调性与不等式的关系可得:
x (x﹣2)e <0,即 x<2 x 所以函数 f(x)=(x﹣3)e 的单调递减区间是(﹣∞,2)

故选:A

12.某地区为了绿化环境进行大面积植树造林,如图所示,在区域{(x,y)|x≥0,y≥0} 内植树,第 1 棵树在点 A1(0,1)处,第 2 棵树在点 B1(1,1)处,第 3 棵树在点 C1(1, 0)处,第 4 棵树在点 C2(2,0)处,接着按图中箭头方向每隔 1 个单位种 1 棵树.第 n 棵

树所在点的坐标是(46,0) ,则 n=(



A.1936 【考点】归纳推理.

B.2016

C.2017

D.2208

【分析】将 OA1B1C1 设为第一个正方形,种植 3 棵树,依次下去,归纳出第二个正方形, 第三个正方形种植的棵树,由第 n 棵树所在点坐标是(46,0) ,可求 n. 【解答】解:OA1B1C1 设为第一个正方形,种植 3 棵树,依次下去,第二个正方形种植 5 棵树,第三个正方形种植 7 棵树,构成等差数列,由第 n 棵树所在点坐标是(46,0) ,则 n=46×3+ 故选 D ×2=2208 棵树.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 z∈C,且|z|=1,则|z﹣i|的最大值为 2 . 【考点】复数求模. 【分析】由条件利用绝对值三角不等式、复数的模的定义求得|z﹣i|的最大值. 【解答】解:∵|z﹣i|≤|z|+|﹣1|=1+1=2, 故答案为:2.

14.曲线 y=﹣5ex+3 在点(0,﹣2)处的切线方程为 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可.
x 【解答】解:y′=﹣5e ,

5x+y+2=0. .

∴y′|x=0=﹣5. 因此所求的切线方程为:y+2=﹣5x,即 5x+y+2=0. 故答案为:5x+y+2=0.

15.命题“存在 x∈R,x2+2ax+1<0”为假命题,则 a 的取值范围是 [﹣1,1] . 【考点】命题的真假判断与应用.
2 2 【分析】命题“存在 x∈R,x +2ax+1<0”为假命题?命题“? x∈R,x +2ax+1≥0”为真命题. 2 2 【解答】解:命题“存在 x∈R,x +2ax+1<0”为假命题?命题“? x∈R,x +2ax+1≥0”为真

命题.
2 △=4a ﹣4≤0? ﹣1≤a≤1

故答案为:[﹣1,1]

16.由 y2=4x 与直线 y=2x﹣4 所围成图形的面积为 9 . 【考点】定积分. 【分析】先联立方程,组成方程组,求得交点坐标,可得被积区间,再用定积分表示出曲线 yy2=4x 与直线 y=2x﹣4 所围成的封闭图形的面积,即可求得结论 【解答】解:联立方程组
2

,解得




2 2 ( y+2﹣ y )dy=( y +2y﹣

∴曲线 y=x 与直线 y=x 围成的封闭图形的面积为 S= )| 故答案为:9 =9,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 (t 是参数) ,以原点 O ) .

为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8cos(θ﹣ (1)求曲线 C2 的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;

(2)若曲线 C1 与曲线 C2 交于 A,B 两点,求|AB|的最大值和最小值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)利用极坐标与直角坐标的互化方法,即可得出结论; (2)联立曲线 C1 与曲线 C2 的方程,利用参数的几何意义,即可求|AB|的最大值和最小值. 【解答】解: (1)对于曲线 C2 有 因此曲线 C2 的直角坐标方程为 (2)联立曲线 C1 与曲线 C2 的方程可得: ∴t1+t2=2 sinα,t1t2=﹣13 ,即 ,其表示一个圆. , ,

, 因此 sinα=0,|AB|的最小值为 ,sinα=±1,最大值为 8.

18.设函数 f(x)=2x3+3ax2+3bx+c 在 x=1 及 x=2 时取得极值,且函数 y=f(x)过原点,求 函数 y=f(x)的表达式. 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】求出函数的导数,利用函数的极值点,经过原点,列出方程组求解 a,b,c 即可得 到函数的解析式. 【解答】 (本题满分 12 分)
3 2 2 解:∵f(x)=2x +3ax +3bx+c,∴f'(x)=6x +6ax+3b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

由已知可得

﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

19.已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两上不相等的负实根,命题 q:不等式 4x2+4(m﹣2) x+1>0 的解集为 R,若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求 m 的取值范围. 【考点】 一元二次方程的根的分布与系数的关系; 复合命题的真假; 一元二次不等式的应用.

【分析】若命题 p 真,则有

,解得 m>2;若命题 q 真,则有判别式△′=[4

2 (m﹣2)] ﹣16<0,解得 1<m<3.分命题 p 为真、命题 q 为假,以及命题 p 为假、命题

q 为真两种情况,分别求出 m 的取值范围,取并集即得所求.

2 【解答】解:令 f(x)=x +mx+1,若命题 p 真,则有

,解得 m>2.

2 若命题 q 真,则有判别式△′=[4(m﹣2)] ﹣16<0,解得 1<m<3.

根据 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,可得命题 p 和命题 q 一个为真,另一个为假. 当命题 p 为真、命题 q 为假时,m≥3. 当命题 p 为假、命题 q 为真时,1<m≤2. 综上可得,m 的取值范围为[3,+∞)∪(1,2].

20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)中,椭圆长轴长是短轴长的

倍,短轴的一个

端点与两个焦点构成的三角形的面积为 (1)求椭圆 C 的标准方程;



(2)已知动直线 y=k(x+1)与椭圆 C 相交与 A,B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标为﹣ ,求斜率 k 的值. 【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程. 【分析】 (1)利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量,即可得到椭圆的方程.
2 2 2 2 (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,将 y=k(x+1)代入椭圆方程,整理得(1+3k )x +6k x+3k

﹣5=0,利用判别式以及韦达定理,结合中点坐标,求解即可. 【解答】 (本题满分 12 分)

解: (1)由已知得

,所以椭圆的标准方程为

.﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2 2 2 2 (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,将 y=k(x+1)代入椭圆方程,整理得(1+3k )x +6k x+3k

﹣ 5=0 . ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因为 AB 中点的横坐标为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,所以 ,解得

.﹣﹣﹣

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

21.已知函数 f(x)=lnx﹣kx+1. (1)当 k=2 时,求函数的单调增区间; (2)若 f(x)≤0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可; (2)问题转化为 在(0,+∞)上恒成立,令 ,根据函数

的单调性求出 k 的范围即可. 【解答】解:函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (1)当 k=2 时,f(x)=lnx﹣2x+1,则 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由 ,所以函数的单调增区间为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)由 f(x)≤0 得 kx≥lnx+1,即 在(0,+∞)上恒成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 令 ,则 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由 g'(x)>0 得 0<x<1,由 g'(x)<0 得 x>1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

所以 g(x)在(0,1)为增区间,在(1,+∞)为减区间,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以当 x=1 时,g(x)max=g(1)=1.故 k≥1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

22.已知函数 f(x)=lnx+

x2﹣(a+1)x(a∈R) .

(I)a=1 时,求函数 y=f(x)的零点个数; (Ⅱ)当 a>0 时,若函数 y=f(x)在区间[1.e]上的最小值为﹣2,求 a 的值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调 性.
2 【分析】 (I)a=1 时,函数 f(x)=lnx+ x ﹣2x,利用导数分析其单调性,结合函数零点的

存在定理可得答案; (II)令 f′(x)=0,则 x=1,或 x= ,对 a 进行分类讨论,可得满足条件的答案.
2 【解答】解: (I)a=1 时,函数 f(x)=lnx+ x ﹣2x, (x>0)

则 f′(x)= +x﹣2=

=

≥0 恒成立,

故函数 f(x)在(0,+∞)为增函数, ∵f(1)=﹣ <0,f(4)=ln4>0, 故函数 y=f(x)有且只有一个零点; (Ⅱ)∵f(x)=lnx+ x2﹣(a+1)x(a>0) ,

∴f′(x)= +ax﹣(a+1)=



令 f′(x)=0,则 x=1,或 x= , 当 ≤1,即 a≥1 时,f′(x)≥0 在区间[1.e]上恒成立,函数 y=f(x)为增函数, 此时当 x=1 时,函数取最小值 ﹣(a+1)=﹣2,解得:a=2;

当 1< <e,即 <a<1 时,f′(x)<0 在区间[1. ]上恒成立,函数 y=f(x)为减函数,

f′(x)≥0 在区间[ .e]上恒成立,函数 y=f(x)为增函数, 此时当 x= 时,函数取最小值﹣lna+ ﹣ =﹣2,不存在满足条件的 a 值;

当 ≥e,即 0<a≤ 时,f′(x)≤0 在区间[1.e]上恒成立,函数 y=f(x)为减函数, e2﹣e(a+1)=﹣2,解得:a=

此时当 x=e 时,函数取最小值 1+ 综上可得:a=2

(舍去) ;

2017 年 2 月 21 日


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