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等比数列前n项和的性质及应用(71张PPT)


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第二章
数列

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数列

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2.5 等比数列的前n项和

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第2课时

等比数列前n项和的性质及应用
课堂互动探究

课前自主预习

随堂知能训练

课时作业

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第二章 2.5 第2课时

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目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩

1.理解等比数列前n项和的性质,会运用性质解题. 2.能用等比数列的知识解决一些综合性问题.

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第二章 2.5 第2课时

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课 前 自 主 预 习
课 前 预 习 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·明 确 目 标

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第二章 2.5 第2课时

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新知初探
1.等比数列前n项和的性质 性质一:若某数列前n项和公式为Sn=an-1(a≠0, a≠± 1,n∈N*),则{an}成 等比 数列.

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第二章 2.5 第2课时

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性质二:若数列{an}是公比为q的等比数列,则
n q ①Sn+m=Sn+ Sm .

S偶 q ②在等比数列中,若项数为2n(n∈N ),则 = . S奇
*

③Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成 等比 数列.

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第二章 2.5 第2课时

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2.等比数列前n项和公式的函数观点 (1)当公比q≠1时,等比数列的前n项和公式可写成Sn=

a1 n a1 - · q+ 1-q 1-q 的形式,数列{Sn}对应的点(n,Sn)是指
n - Aq +A 数型函数y=

图象上的一些离散的点.

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第二章 2.5 第2课时

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(2)当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn= na1 是n的正 比例函数,数列{Sn}对应的点(n,Sn)是正比例函数 y=a1x 图象上的一些离散的点.

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第二章 2.5 第2课时

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思考感悟
1.若一个数列是等比数列,它的前n项和写成Sn=Aqn +B(q≠1),则A与B有何关系?
提示:A+B=0, a1?1-qn? a1 a1 n ∵Sn= = - · q ,则常数项与qn的系数 1-q 1-q 1-q 互为相反数.

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第二章 2.5 第2课时

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2.前n项和的性质:“Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数 列”,有什么条件吗?

提示:当q=-1,n为偶数时,上述性质不成立.原因 是:Sn=0,S2n-Sn=0,S3n-S2n=0,所以不能构成等比数 列.

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第二章 2.5 第2课时

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3.性质:Sm+n=Sn+qnSm如何推导?

提示:Sm+n=Sn+an+1+an+2+…+an+m =Sn+qn(a1+a2+…+am) =Sn+qn· Sm.

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第二章 2.5 第2课时

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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升

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第二章 2.5 第2课时

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典例导悟
类型一 [例1] ( ) A.28 C.35 B.32 D.49 等比数列前n项和性质的应用 等比数列{an}中,S2=7,S6=91,则S4为

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第二章 2.5 第2课时

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[解析]

方法一:∵S2=7,S6=91,易知q≠1, ?a1?1+q?=7, ? 得?a1?1-q6? ? 1-q =91, ?

? ?S2=7, 由? ? ?S6=91,

a1?1+q??1-q??1+q2+q4? ∴ =91. 1-q

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第二章 2.5 第2课时

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∴q4+q2-12=0. ∴q2=3. a1?1-q4? ∴S4= =a1(1+q)(1+q2)=7×(1+3)=28. 1 -q ∴S4=28.

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第二章 2.5 第2课时

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方法二:设数列{an}的公比为q, ∵S2=7,S6=91,
? ?a1+a2=7, ∴? ? ?a1+a2+a3+a4+a5+a6=91. ? ?a1+a2=7, ∴? 2 4 ? ?7+7q +7q =91.

∴q4+q2-12=0. ∴q2=3. a1?1-q4? ∴S4= =28. 1-q
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第二章 2.5 第2课时

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方法三:∵{an}为等比数列, ∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列, 即7,S4-7,91-S4成等比数列. ∴(S4-7)2=7(91-S4), 解得S4=28或-21. ∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1 +q2)=S2(1+q2)>S2, ∴S4=28.

[答案] A
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第二章 2.5 第2课时

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[点评]

通过三种方法的比较,可看出利用等比数列

的性质,如方法三思路比较清晰、过程较为简捷.

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第二章 2.5 第2课时

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变式训练1 S9 3,则S 等于( 6 A.2 8 C. 3

S6 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若 S = 3 ) B. 7 3

D.3

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第二章 2.5 第2课时

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解析:设公比为q,则S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数 列,且公比为q3. ∴S6=S3+(S6-S3)=(1+q3)S3. S9=S3+(S6-S3)+(S9-S6)=(1+q3+q6)S3.
3 S6 S3+q S3 ∴S = S =1+q3=3. 3 3

得q3=2.

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第二章 2.5 第2课时

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3 6 3 6 S9 S3?1+q +q ? 1+q +q 7 于是S = = 3 3 = . 3 S ? 1 + q ? 1 + q 6 3

故选B.

答案:B

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第二章 2.5 第2课时

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[例2]

等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数

项的和比偶数项的和大80,则公比q=________. [分析] 本题考查了等比数列前n项和的性质.根据题

S偶 意列出方程求出S奇,S偶,再由 求得公比q. S奇

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第二章 2.5 第2课时

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[解]

? ?S奇+S偶=-240, 由题意知:? ? ?S奇-S偶=80,

? ?S奇=-80, ∴? ? ?S偶=-160.

S偶 -160 ∴公比q= = =2. S奇 -80

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第二章 2.5 第2课时

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[点评] 而解.

本题应用等比数列前n项和的性质使问题迎刃

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第二章 2.5 第2课时

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变式训练2 一个等比数列的首项为1,项数是偶数, 其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和 项数.

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第二章 2.5 第2课时

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解:设等比数列的公比为q,项数为2n(n∈N*),由已
2n 1 - q ? ? 2 =85, ? 1-q 知,a1=1,q≠1,且有? 2n q ? 1 - q ? ? 2 =170. ? 1 - q ?

① ②

1-4n ②÷ ①得q=2.将q=2代入①得 =85, 1-4 ∴4n=256,∴n=4.∴公比q=2,项数为8.

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第二章 2.5 第2课时

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[例3]

在等比数列{an}中,公比q=2,前99项的和S99

=56,求a3+a6+a9+…+a99的值. [分析] 考虑通过基本量a1和q来处理或通过a3+a6+a9

+…+a99是前99项中的一组,与另两组联系在一起进行求 值.

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第二章 2.5 第2课时

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[解]

a1?1-q99? 方法1:∵S99= =56, 1-q

∴a3+a6+a9+…+a99 =a3(1+q3+q6+…+q96)
3 33 1 - ? q ? 2 =a1q 1-q3 99 1 - q =a1q2· ?1-q??1+q+q2?

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第二章 2.5 第2课时

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a1?1-q99? q2 = [ ] 1+q+q2 1-q 4 = ×56=32. 1+2+4

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第二章 2.5 第2课时

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方法2:设b1=a1+a4+a7+…+a97. b2=a2+a5+a8+…+a98, b3=a3+a6+a9+…+a99, 则b1q=b2,b2q=b3且b1+b2+b3=56, ∴b1(1+q+q2)=56. 56 ∴b1= =8. 1+2+4 ∴b3=b1q2=32. 即a3+a6+a9+…+a99=32.
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第二章 2.5 第2课时

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[点评]

b1,b2,b3成等比数列,且公比为q,为解题提

供了一个较好的思路.

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第二章 2.5 第2课时

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变式训练3

若等比数列{an}满足an>0(n∈N*),公比q )

=2,a1a2a3…a30=230,则a1a4a7…a28的值是( A.1 C.210 B.25 D.215

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第二章 2.5 第2课时

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解析:令A1=a1a4a7…a28,A2=a2a5a8…a29,A3= a3a6a9…a30,则A2=A1q10,A3=A2q10=A1q20,由已知可得
30 30 3 A1A2A3=230,A3 q = 2 . 又因为 q = 2 ,所以 A 1 1=1,即A1=1.

答案:A

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第二章 2.5 第2课时

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类型二 等比数列的综合问题 [例4] 已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2

?1 ?1 1? 1 1? =2?a +a ?,a3+a4+a5=64?a +a +a ?. ? 1 ? 3 2? 4 5?

(1)求数列{an}的通项公式;
? 1 ?2 (2)设bn=?an+a ? ,求数列{bn}的前n项和Tn. ? n?

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第二章 2.5 第2课时

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[分析]

本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和

公式,侧重考查运算求解能力.解题时除需熟练掌握数列 求和方法外,还应注意运算的准确性.

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第二章 2.5 第2课时

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[解]

(1)设等比数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1,

1 1 ? ?a1+a1q=2?a1+a1q?, 由已知有? ?a1q2+a1q3+a1q4=64? 1 2+ 1 3+ 1 4?, a1q a1q a1q ?
2 ? ?a1q=2, 化简得? 2 6 ? ?a1q =64.

又a1>0,故q=2,a1=1. 所以an=2n 1.


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第二章 2.5 第2课时

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1 2 1 1 2 n-1 (2)由(1)知bn=(an+ ) =an+ 2+2=4 + n-1+2. an an 4 因此Tn=(1+4+…+4
n-1

1 1 )+(1+ 4 +…+ n-1 )+2n= 4

1 4n-1 1-4n 1 n 1-n + + 2 n = (4 - 4 )+2n+1. 1 3 4-1 1- 4

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第二章 2.5 第2课时

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[点评] 法求解.

(1)列方程组求出a1,q即可;(2)利用分组求和

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第二章 2.5 第2课时

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变式训练4 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和 为Sn,首项为a1,且2,an,Sn成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn= Tn<2. log2an an ,Tn为数列{bn}的前n项和,证明:

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第二章 2.5 第2课时

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解:(1)由已知,得2an=Sn+2. 当n=1时,2a1=a1+2. ∴a1=2. 当n≥2时,2an=Sn+2,2an-1=Sn-1+2. 两式相减,得 2an-2an-1=an. an ∴ =2. an-1

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第二章 2.5 第2课时

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∴{an}是以2为首项,2为公比的等比数列. ∴an=a1· 2n-1=2n. log2an n (2)bn= = n. an 2 n-1 n 1 2 ∴Tn=21+22+…+ n-1 +2n. 2 n-1 1 1 2 n T = + +…+ n + n+1. 2 n 22 23 2 2

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第二章 2.5 第2课时

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两式相减,得 1 1 1 1 1 n T = + + +…+ n- n+1 2 n 2 22 23 2 2 1 1n 2[1-?2? ] n 1n n = - n+1=1-( ) - n+1. 1 2 2 2 1- 2 2+n 得Tn=2- n <2. 2

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第二章 2.5 第2课时

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自我纠错
易错点:忽略题中的隐含条件而导致出错 [错题点辨析] 在等比数列求和过程中,也时常有隐含

条件对公比q的取值范围进行限制,应注意挖掘,否则将导 致错误.

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第二章 2.5 第2课时

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[错题展示] 在等比数列{an}中,前n项和为2,紧接着 后面的2n项和为12,再紧接着后面的3n项和S是多少? [错解] q≠1,
n a ? 1 - q ? ? 1 ? =2, ? 1-q 则? 3n a ? 1 - q ? ? 1 =12+2, ? 1 - q ?

设数列{an}的公比为q,首项为a1,显然

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第二章 2.5 第2课时

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?qn=2, ? 解得? a1 =-2, ? 1 - q ?

?qn=-3, ? 1 或? a1 = . ? 2 1 - q ?

a1?1-q6n? 故S=S6n-(2+12)= -14=(-2)×(1-26)- 1-q 14=112, a1?1-q6n? 1 或S=S6n-(2+12)= -14= [1-(-3)6]-14 2 1-q =-378.

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第二章 2.5 第2课时

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[错因分析] 在上面的求解过程中,并没有求出三个 基本量a1,q和n,这是它的可取之处,但在求出qn=2或-3 后,没有考虑它成立的合理性.事实上,当n为偶数时,qn 不可能等于-3.

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第二章 2.5 第2课时

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第二章 2.5 第2课时

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[正解] q≠1,

设数列{an}的公比为q,首项为a1,显然

n a ? 1 - q ? ? 1 ? =2, ? 1-q 则? 3n a ? 1 - q ? ? 1 =12+2, ? 1 - q ?

?qn=2, ? 解得? a1 =-2, ? 1 - q ?

?qn=-3, ? 1 或? a1 =2. ? 1 - q ?

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a1 当n为偶数时,q =2, =-2, 1-q
n

a1?1-q6n? S= -(2+12)=(-2)×(1-26)-14=112. 1-q a1 a1 n 当n为奇数时,q =2, =-2或q =-3, = 1-q 1-q
n

1 , 2

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a1?1-q6n? S= -(2+12)=(-2)×(1-26)-14=112,或 1-q a1?1-q6n? 1 S= -(2+12)=2[1-(-3)6]-14=-378. 1-q

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第二章 2.5 第2课时

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[反思]

由于等比数列与指数函数密切相关,所以我

们应当注意指数函数的有关性质在等比数列中的具体体 现,例如当q>0,且q≠1时,qn>0. 在本题中,我们不按常规方法去求a1和q,而只求出qn a1 和 ,然后将它们作为一个整体,代入到所要求的表达 1- q 式中,使得问题的解决快速而简捷,这就是整体思想.本 题还用到了分类讨论思想.

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第二章 2.5 第2课时

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思悟升华
S偶 1.等比数列{an}中,若项数为2n,则 =q;若项数 S奇 S奇-a1 为2n+1,则 =q. S偶

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S偶 a2+a4+a6+…+a2n 证明:当项数为2n时, = = S奇 a1+a3+a5+…+a2n-1 q?a1+a3+a5+…+a2n-1? =q; a1+a3+a5+…+a2n-1 当项数为2n+1时, S奇-a1 a1+a3+a5+…+a2n+1-a1 = S偶 a2+a4+a6+…+a2n a3+a5+…+a2n+1 = a2+a4+a6+…+a2n q?a2+a4+…+a2n? = =q. a2+a4+a6+…+a2n
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第二章 2.5 第2课时

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2.设数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和. (1)当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k不是等 比数列; (2)当q≠-1或q=-1且k为奇数时,数列Sk,S2k-Sk, S3k-S2k是等比数列.

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第二章 2.5 第2课时

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证明:设等比数列{an}的首项是a1,公比为q. (1)当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k不是等 比数列. 由条件知:此时,Sk=S2k-Sk=S3k-S2k=0. 例如:数列1,-1,1,-1,…是公比为-1的等比数 列,S2=S4-S2=S6-S4=0.

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(2)当q≠-1或q=-1且k为奇数时,Sk=a1+a2+a3 +…+ak≠0,S2k-Sk=qk(a1+a2+a3+…+ak)≠0,S3k-S2k =q2k(a1+a2+a3+…+ak)≠0, ∴Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是等比数列.

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随 堂 知 能 训 练
知 识 反 馈 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·技 能 检 验

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1.已知等比数列{an}中,an>0,a1,a99为方程x2-10x +16=0的两个根,则a40a50a60的值为( A.32 C.256 B.64 D.± 64 )

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解析:由题知a1a99=16=a40a60, 又∵an>0,由a2 50=a40a60=16,∴a50=4. ∴a40a50a60=43=64.

答案:B

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2.在等比数列中,已知a1+a2+a3=6,a2+a3+a4= -3,则a3+a4+a5+a6+a7=( 11 A. 8 9 C. 8 ) 19 B. 16 3 D. 4

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a2+a3+a4 a2?1+q+q2? a2 1 解析:由 = = =q=-2, a1+a2+a3 a1?1+q+q2? a1 1 又由a1+a2+a3=6,且q=-2, 1 ∴a1=8,可得a2=a1q=8×(- )=-4. 2 a1?1-q7? ∴a3+a4+a5+a6+a7=S7-a1-a2= -8-(- 1-q 11 4)= 8 .

答案:A
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3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a· 3n 1+1,则a


=________.
解析:根据等比数列前n项和的特征:Sn=-Aqn+A, 1 1 n ∴Sn=3· a· 3 +1.∴3a=-1.∴a=-3.

答案:-3

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第二章 2.5 第2课时

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4.等比数列{an}中,a2+a4+…+a20=6,公比q=3, 则前20项和S20=________.

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第二章 2.5 第2课时

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解析:S偶=a2+a4+…+a20, S奇=a1+a3+…+a19, S偶 S偶 6 则 =q,∴S奇= = =2. q 3 S奇 ∴S20=S偶+S奇=6+2=8.

答案:8

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第二章 2.5 第2课时

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5.一个七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于其上面 一层的2倍,一共点了381盏灯,则底层所点灯的盏数是 ________.

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第二章 2.5 第2课时

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解析:设最底层有m盏灯, 17 m[1-?2? ] 由题可得 1 =381,解之得,m=192. 1-2

答案:192

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第二章 2.5 第2课时

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6.已知实数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5 +1,a6成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列 {an}的前n项和记为Sn,证明:Sn<128(n=1,2,3,…).

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解:(1)设等比数列{an}的公比为q(q∈R), 由a7=a1q6=1,得a1=q-6, 从而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1. 因为a4,a5+1,a6成等差数列, 所以a4+a6=2(a5+1). 即q 3+q 1=2(q 2+1),q 1(q 2+1)=2(q 2+1).
- - - - - -

1 1 n-1 -6 n-1 n-1 所以q=2.故an=a1q =q q =64(2) .

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1n a1?1-qn? 64[1-?2? ] (2)Sn= = 1 1-q 1-2 1n =128[1-(2) ]<128.

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