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2012高中数学 第3章3.3.2均匀随机数的产生课件 新人教A版必修3


3.3.2 均匀随机数的产生

学习目标

理解均匀随机数的概念,了解均匀随机数的
产生过程.

3.3.2 均 匀 随 机 数 的 产 生

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基

1.用________随机数模拟古典概型的概率. 整数值 2.几何概型中,事件A发生的概率只与A的图

几何变量 形的___________有关,而与A的位置和形状
无关.

知新益能 1.均匀随机数 设试验结果x是区间[a,b]上的任何一个实数, 等可能 并且出现任何一个实数是________的.这样, [a,b]上的均匀分布 我们就称x服从___________________,x为[a, b]上的均匀随机数. 2.均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0,1]上的均匀随机数是 等可能 ________的. (2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函 rand( ) 数为“____________”.

问题探究

如图所示,在边长为2的正方形ABCD中,E, F,G,H分别是正方形ABCD四边中点,将均 匀的粒子撒在正方形中,则粒子落在下列四 个图中的阴影部分区域的概率分别是P1,P2, P3 , P4 , 则 P1 , P2 , P3 , P4 的 大 小 关 系 是 ________. 提示:P1=P4<P3<P2

课堂互动讲练

考点突破 用模拟法估计一维型的几何概率 求有关长度、角度、弧长等的几何概型,用计 算器或计算机产生一个变量在[a,b]上的均匀 随机数,计算其频率,从而可估计概率. 例1 取一根长度为5 m的绳子,拉直后在任 意位置剪断,用均匀随机模拟方法估计剪得两 段的长都不小于2 m的概率有多大?

【思路点拨】 在任意位置剪断绳子,则剪 断位置到一端点的距离取遍[0,5]内的任意数, 并且每一个实数都是等可能的被取到.因此 在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对 应[0,5]上的均匀随机数,其中取得[2,3]内的随 机数就表示剪断位置与端点距离在[2,3]内,也 就是表示剪得两段长都不小于2 m.这样取得 的[2,3]内的随机数个数与[0,5]内的个数之比就 是事件A发生的概率近似值.

【解】 设剪得两段的长都不小于2 m为事件 A. 法一:步骤是: (1)利用计算器或计算机产生n个0~1之间的均 匀随机数,x=RAND. (2)作伸缩变换:y=x*(5-0),转化为[0,5]上 的均匀随机数. (3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m.

m (4)则概率 P(A)的近似值为 . n 法二:步骤是: (1)做一个带有指针的转盘,把圆周五等分, 标上刻度[0,5](这里 5 和 0 重合). (2)固定指针转动转盘,或固定转盘旋转指 针,记下指针在[2,3]内(表示剪断绳子位置 在[2,3]范围内)的次数 m 及试验总次数 n. m (3)则概率 P(A)的近似值为 n .

【思维总结】 用均匀随机数模拟的关键是 把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区 域转化为随机数的范围.法一用计算机产生 随机数,法二是用转盘产生随机数. 变式训练1 取一根长度为3 m的绳子,拉直 后在任意位置剪断,利用随机模拟法求剪得 两段的长都不小于1 m的概率有多大?

解:(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的

均匀随机数,a1=RAND.
(2)经过伸缩变换,a=a1*3.

(3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机
数的个数N.
f n ( A) ? N1 N

(4)计算频率

即为概率P(A)的近似值.

用模拟法估计二维型的几何概率
把二维型的图形放在一个确定的坐标平面或 者平面上,用均匀随机数产生两组随机数作 为点的坐标,或者用实物(如黄豆)计算其频率, 从而可估计概率. 例2 在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形 木板,上面画了一个以正方形的中心为圆心 的圆,半径为6 cm,某人站在3 m之外向此板 投镖,设投镖击中线上或没有投中木板时都 不算,可重投,问:投在圆内的概率是多少?

【思路点拨】 要表示平面图形内的点必须 有两个坐标,我们可以产生两组均匀随机数 来表示点的坐标,确定点的位置. 【解】 设事件A={投在圆内}. (1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数:a1 =RAND,b1=RAND. (2)经过伸缩和平移变换:a=a1*16-8, b=b1*16-8,得到两组[-8,8]上的均匀随机数 (3)统计投在圆内的次数N1 (即满足 a2+b2<36的点(a,b)数).

计算频率: ,即为概率P(A)的近似值. 【思维总结】 解决此题的关键是利用两组 均匀随机数分别表示点的横、纵坐标,从而 确定点的位置. 变式训练2 如图,在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板,上面画了 小、中、大三个同心圆, 半径分别为2 cm、4 cm、 6 cm,某人站在3 m之外向此

f n ( A) ?

N1 N

板投镖,设投镖击中线上或没有投中木板时
不算,可重投,问:投中大圆内的概率是多

少?投中小圆与中圆形成的圆环内的概率是
多少?投中大圆之外的概率是多少?

解:记事件 A={投中大圆内},事件 B={投 中小圆与中圆形成的圆环内},事件 C={投 中大圆之外}. (1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数 a1=RAND,b1=RAND. (2)经过伸缩和平移变换, a=16]N1,N), n(B) f N-N1 N2 = N ,fn(C)= N ,即分别为概率 P(A)、 P(B)、P(C)的近似值.

用模拟法近似计算不规则图形的 面积 用模拟试验法计算不规则图形的面积,实质 上就是利用模拟法估计二维型几何概率的一

个延伸性的应用,它相当于给定概率求面积
的问题.

利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部 分(y=2-2x-x2与x轴围成的图形)的面积. 【思路点拨】 可先计算与之相应的规则多边 形的面积,而后由几何概率进行面积估计. 【解】 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀 随机数, a1=RAND,b1=RAND. (2)经过平移和伸缩变换a=a 1* 4-3, b=b 1* 3得到一组[1,3],一组[1,3]上的均匀随机 数。

例3

(3) 统计实验次数N和落在阴影部分的点的个 数N1(满足条件b<2-2a-a2的点(a,b)的个 数) (4)计算频率计 N 就是点落在阴影部分的概率 N 的近似值. (5)设阴影部分面积为 S.由几何概型概率公 S S N1 式得点落在阴影部分的概率为 .∴ ≈ N . 12 12 12N1 ∴S= N 即为阴影部分面积的近似值.
1

【思维总结】

本题在解答过程中易犯如下

错误:认为阴影部分的点满足条件b>2-2a

-a2 ,导致错误的原因是没有验证而直接给
出.

方法感悟

1.用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1)试验模拟方法:制作两个转盘模型,进行 模拟试验,并统计试验结果. (2)计算机模拟的方法:用Excel软件产生[0,1] 区间上均匀随机数进行模拟.注意操作步 骤.(如例1)

2.对面积型的几何概型问题,一般需要确定 点的位置,而一组均匀随机数是不能确定点 的位置的,故解决此类问题的关键是利用两 组均匀随机数分别表示点的两个坐标,从而 确定点的位置,再根据点的个数比来求概 率.(如例2)

失误防范

利用均匀随机数进行模拟试验,首先需要把 实际问题转化为可以用随机数模拟试验结果 的概率模型,可从以下几个方面考虑: 1.由影响随机事件结果的量的个数确定需要 产生的随机数组数.如长度型、角度型(一维) 只用一组,面积型(二维)需要用两组. 2.由所有基本事件总体(基本事件空间)对应 区域确定产生随机数的范围. 3.由事件A发生的条件确定随机数所应满足 的关系式.


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