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高中数学课件 数系的扩充与复数的引入_图文

失 落 文 明

归纳小结

巴 比 伦 记 数 法
勾股定理

2 的60进制近似值1; 24, 51,10
(耶鲁大学藏巴比伦泥版7289号) 开 方 代 51 10 术 24 数 2 ?1? ? ? ? 1 . 4142155 学 2 3 60 60 60

第一次数学危机
毕达哥拉斯学派 :万物皆数(整数) 分数的出现 弟子希帕索斯:研究1和2的比例中项
x ? 2
2

1

x
1

这是一个新数

数的发展历程

( ?)捕获了一头野兽,就用1块石子代表。捕获
了3头,就放 3块石子。 (Ⅱ)5个人分4只猎物,每个人该得多少呢?

数的发展历程
Natural Number (自然数)
Z是德文Zahlen (数字)

用图形表示包含关系

Quotient (商)
Real Number (实数) 想一想

RQZ

N

我们在解方程过程中有没有碰到过 在实数中不能解决的问题?

从二次方程谈起…
解方程 ax2 + bx + c = 0;其中 a ? 0。 公式:
x ? ?b? b ? 4 ac
2

2a

? 此公式早于公元前四百年,已被巴比伦 人发现和使用。 ? 在中国的古籍《九章算术》中,也有提 及与二次方程有关的问题。

从二次方程谈起…
解方程 ax2 + bx + c = 0;其中 a ? 0。 公式:
解方程 x

2

x ?

?b?

b ? 4 ac
2

2a
? 4 x ? 10 ? 0

? a ? 1、b ? 4、c ? 10
?x ? ?4? 4 ? 4 ? 1 ? 10
2

2 ?1

?

?4? 2

? 24

(无实数解)

觅海寻踪
解 方 程
5x ? 4

整数解 无解 无解 无解

有理数解 实数解
4 5

复数解
4 5

4 5

x ? 2
2

无解 无解

?

2

?

2

x ? ?1
2

无解

有解 i

感悟 矛盾的存在说明人的认识还是具有 某种局限性,需要新的思想和理论来解释。

给力发现

+

=



i 的性质
现在我们就引入这样一个数 i ,把 (1)i2 ? ?1 (2)实数可以与

i 叫做虚数单位,并且规定:

i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的

加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。

探究
现在我们已经引入了虚数单位 i ,你能说出复数集中的几 个数吗?

复数的概念

2、复数通常用字母 Z 表示,即 复数的代数形式 实部 虚数集
(b ? 0 )

虚部

复数集 实数集 纯虚数
(a ? 0)

(b ? 0 )

反馈巩固
1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数, 并指出复数的实部与虚部。
2? 7 i , 0 . 618

,

2 7

i

, 0 , i , 3 ? 2 i 2 , i ?1 ?

3?

2、判断下列命题是否正确: (1)若 a 、b为实数,则Z= a +bi为虚数

(2)若b为实数,则Z=bi必为纯虚数
(3)若 a 为实数,则Z= a 不是复数 (4)任何数的偶数次幂不小于0

数系的扩充

复数的概念

例1 实数 m 取什么值时,复数
z ? m ? 1 ? ( m ? 1) i

是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

解: (1)当 m ? 1 ? 0 ,即m ? 1 时,复数 z 是实数.
(2)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时,复数 z 是虚数.
?m ? 1 ? 0 (3)当 ? ?m ? 1 ? 0

即 m ? ? 1 时,复数 z 是纯虚数.

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.
?a ? c a ? bi ? c ? di ( a , b , c , d ? R ) ? ? b ? d ?

变式1 求适合方程中的 ? ( ( i ? R )的值 例2 已知( 2 x ? 1) ? i ? y x 与3y? xy, )y ,其中 x ,. y ? R 求
x与 y .
2 x ? 5 x ? 3 ? ( y ? y ? 6 )i ? 0
2 2

解 : 由复数相等的条件得 解:根据复数相等的定义,得方程组

x 21? ? ? 2 2 x? ? 5 x y 3 ? 0 ? ? 1 ?2 ? ( 3 ? y )
y ? y?6? 0

解得



x 5 1或 x ? ? x ? ,y ? 4 2 2 y ? ? 3或 y ? 2

3

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.
?a ? c a ? bi ? c ? di ( a , b , c , d ? R ) ? ? b ? d ?

变式2

若复数 3 ? 4 i ? x ? 3 i , 则 x 是否有解 ?

解: 解:

令 x ? a ? bi ((a ,,b ? R )) 令 x ? a ? bi a b ? R

则 33 ?44 i??aa??bi ??33 i??aa??( bb??33i i )) 则 ? i bi i (

故 故 aa??33 且 b??33??44 且b 即 即 xx??33 ?i i ?

例3

(1) 在复数范围内求关于

x 的方程 x ? 1 ? 0的根 .
2
2

( 2 ) 在复数范围内求关于

x 的方程 x ? 4 x ? 10 ? 0的根 .

(1) 解 ? x ? ? 1 ? i
2

2

? x ? ?i
( 2 )解 ? ( x ? 2 ) ? ? 6 ? 6 i
2 2

? x ? 2 ? ? 6i ? x ? ?2 ?

6i

数系的扩充

复数的概念

归纳小结 1、虚数单位 i 的引入。 2、复数有关概念: 复数的代数形式:

复数的实部 、虚部
复数的分类及实数、虚数和纯虚数 复数相等

数系的扩充

复数的概念

? 作业布置 1、课本第106页习题3.1第1、2、3题。 2、思考:复数能不能比较大小? 3、课后拓展:数学史与数学哲学网络课 http://courseware.ecnudec.com/yjs/ys x/ysx07/ysx072/ckwx.htm


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