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高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》课件 新人教A版选修2-2


2.1合情推理与演绎推理

歌德巴赫猜想: 歌德巴赫猜想: “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇 任何一个不小于6 任何一个不小于 数之和” 数之和” 即:偶数=奇质数+奇质数 偶数=奇质数+

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture) 哥德巴赫猜想(Goldbach
世界近代三大数学难题之一。 世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690 1690年 中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690年, 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士 1742年 年当选为俄国彼得堡科学院院士。 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年,哥 德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两 德巴赫在教学中发现,每个不小于6 个素数(只能被和它本身整除的数)之和。 个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6=3 12= 等等。 +3,12=5+7等等。 公元1742 1742年 日哥德巴赫(Goldbach) (Goldbach)写信给当时 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时 的大数学家欧拉(Euler) 提出了以下的猜想: (Euler), 的大数学家欧拉(Euler),提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数,都可以表示成两个奇质 任何一个>=6之偶数, >=6之偶数 数之和。 数之和。 任何一个>=9之奇数, >=9之奇数 (b) 任何一个>=9之奇数,都可以表示成三个奇质 数之和。 数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6 30日给他的回信中说 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说 他相信这个猜想是正确的,但他不能证明。 ,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明。叙述如此简单的 问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明, 问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便 引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今, 引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今,许多数学家 都不断努力想攻克它,但都没有成功。 都不断努力想攻克它,但都没有成功。当然曾经有人作了些具 体的验证工作,例如: 体的验证工作,例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 等等。有人对33 108以内且大过 33× 以内且大过6 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数 一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立。 (a)都成立 一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明 尚待数学家的努力。 尚待数学家的努力。 从此, 从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注 200年过去了 没有人证明它。 年过去了, 意。200年过去了,没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数 学皇冠上一颗可望不可及的“明珠” 到了20世纪20年代, 20世纪20年代 学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代,才 有人开始向它靠近。1920年 有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛 选法证明,得出了一个结论: 选法证明,得出了一个结论:每一个比大的偶数都可以表示为 99)。这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从( )。这种缩小包围圈的办法很管用 (99)。这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9 开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数, 十9)开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最 后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了“哥德巴赫” 后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了“哥德巴赫”

哥德巴赫猜想(Goldbach 哥德巴赫猜想 Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 1966 证明的,称为陈氏定理(Chen (Chen‘s 证明的,称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “ 任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数 之和,而後者仅仅是两个质数的乘积。 之和,而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通 常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。 的形式。 的形式

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture) 哥德巴赫猜想 在陈景润之前, 个质数的乘积之和( 在陈景润之前,关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和( 简称“ 问题) 简称“s + t ”问题)之进展情况如下: 问题 之进展情况如下: 1920年 挪威的布朗(Brun) (Brun)证明了 1920年,挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 。 1924年 德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“ (Rademacher)证明了 1924年,德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 。 1932年 英国的埃斯特曼(Estermann) (Estermann)证明了 1932年,英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 。 1937年 意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“ (Ricei)先後证明了 1937年,意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 , 4 , 3 ”和“2 + 366 ”。 和 。 1938年 夕太勃(Byxwrao)证明了“ (Byxwrao)证明了 1938年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 。 1940年 夕太勃(Byxwrao) (Byxwrao)证明了 1940年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 。 1948年 匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“ (Renyi)证明了 1948年,匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”,其中c是一很大的自然 数 ,其中c 。 1956年 1956年,中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 。 1957年 1957年,中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 和 。 1962年 中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH) (BapoaH)证明了 1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”, 中 , 国的王元证明了“ 国的王元证明了“1 + 4 ”。 。 1965年 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB) (Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB), 1965年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB),及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“ (Bombieri)证明了 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。 。 1966年 1966年,中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 。 这个难题呢? 最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢?现在还没法预测。 这个难题呢 现在还没法预测。

歌德巴赫猜想: 偶数=奇质数+ 歌德巴赫猜想: 即:偶数=奇质数+奇质数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇 任何一个不小于6 任何一个不小于 数之和” 数之和”
3+7=10,3+17=20,13+17=30, + = , + = , + = , 改写为: = + , = + , = + . 改写为 10=3+7,20=3+17,30=13+17. 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11, 18 =7+11, …, 1000=29+971, 1000=29+971, 1002=139+863,

歌德巴赫猜想的提出过程: 歌德巴赫猜想的提出过程:



这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;

1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明

归纳推理的一般步骤: 归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 对有限的资料进行观察、分析、 整理; 整理; 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; 检验猜想。 ⑶ 检验猜想。 1:已知数列 已知数列{a 的第1 =1且 例1:已知数列{an}的第1项a1=1
a
n + 1

=

a 1 + a
n n

),试归纳出这个数列的通项公式 (n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式. ),试归纳出这个数列的通项公式.

例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12

猜想 F+V-E=2 F+V多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔 4 5 5 6 6 8 7 7 9 4 5 6 6 8 6 10 10 9

欧拉公式
6 8 9 10 12 12 15 15 16

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)

1 1 1 * 练习: )=1 (n 练习:f(n)=1+ + + L + (n ? N )计算得 2 3 n 7 (3 2) 3 5 > 2 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3, f 2 , 2 L 推测当n ? 2时,有-----------------. 推测当n

如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动 个金属片; 每次只能移动1 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 较大的金属片不能放在较小的金属片上面 个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 表示移动n块金属片时的移动次数. 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. n=1时 当n=1时,a1=1 n=2时 当n=2时,a2= 3

2

1

3

表示移动n块金属片时的移动次数. 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. n=1时 当n=1时,a1=1 n=2时 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 =3时 当n=3时,a3= 7 n=4时 当n=4时,a4= 15

2

1

3

作业:P 作业:P93 1. 3. 4

2.1合情推理与演绎推理

歌德巴赫猜想: 歌德巴赫猜想: “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇 任何一个不小于6 任何一个不小于 数之和” 数之和” 即:偶数=奇质数+奇质数 偶数=奇质数+

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture) 哥德巴赫猜想(Goldbach
世界近代三大数学难题之一。 世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690 1690年 中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690年, 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士 1742年 年当选为俄国彼得堡科学院院士。 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年,哥 德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两 德巴赫在教学中发现,每个不小于6 个素数(只能被和它本身整除的数)之和。 个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6=3 12= 等等。 +3,12=5+7等等。 公元1742 1742年 日哥德巴赫(Goldbach) (Goldbach)写信给当时 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时 的大数学家欧拉(Euler) 提出了以下的猜想: (Euler), 的大数学家欧拉(Euler),提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数,都可以表示成两个奇质 任何一个>=6之偶数, >=6之偶数 数之和。 数之和。 任何一个>=9之奇数, >=9之奇数 (b) 任何一个>=9之奇数,都可以表示成三个奇质 数之和。 数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6 30日给他的回信中说 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说 他相信这个猜想是正确的,但他不能证明。 ,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明。叙述如此简单的 问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明, 问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便 引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今, 引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今,许多数学家 都不断努力想攻克它,但都没有成功。 都不断努力想攻克它,但都没有成功。当然曾经有人作了些具 体的验证工作,例如: 体的验证工作,例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 等等。有人对33 108以内且大过 33× 以内且大过6 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数 一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立。 (a)都成立 一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明 尚待数学家的努力。 尚待数学家的努力。 从此, 从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注 200年过去了 没有人证明它。 年过去了, 意。200年过去了,没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数 学皇冠上一颗可望不可及的“明珠” 到了20世纪20年代, 20世纪20年代 学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代,才 有人开始向它靠近。1920年 有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛 选法证明,得出了一个结论: 选法证明,得出了一个结论:每一个比大的偶数都可以表示为 99)。这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从( )。这种缩小包围圈的办法很管用 (99)。这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9 开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数, 十9)开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最 后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了“哥德巴赫” 后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了“哥德巴赫”

哥德巴赫猜想(Goldbach 哥德巴赫猜想 Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 1966 证明的,称为陈氏定理(Chen (Chen‘s 证明的,称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “ 任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数 之和,而後者仅仅是两个质数的乘积。 之和,而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通 常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。 的形式。 的形式

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture) 哥德巴赫猜想 在陈景润之前, 个质数的乘积之和( 在陈景润之前,关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和( 简称“ 问题) 简称“s + t ”问题)之进展情况如下: 问题 之进展情况如下: 1920年 挪威的布朗(Brun) (Brun)证明了 1920年,挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 。 1924年 德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“ (Rademacher)证明了 1924年,德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 。 1932年 英国的埃斯特曼(Estermann) (Estermann)证明了 1932年,英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 。 1937年 意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“ (Ricei)先後证明了 1937年,意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 , 4 , 3 ”和“2 + 366 ”。 和 。 1938年 夕太勃(Byxwrao)证明了“ (Byxwrao)证明了 1938年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 。 1940年 夕太勃(Byxwrao) (Byxwrao)证明了 1940年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 。 1948年 匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“ (Renyi)证明了 1948年,匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”,其中c是一很大的自然 数 ,其中c 。 1956年 1956年,中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 。 1957年 1957年,中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 和 。 1962年 中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH) (BapoaH)证明了 1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”, 中 , 国的王元证明了“ 国的王元证明了“1 + 4 ”。 。 1965年 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB) (Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB), 1965年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB),及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“ (Bombieri)证明了 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。 。 1966年 1966年,中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 。 这个难题呢? 最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢?现在还没法预测。 这个难题呢 现在还没法预测。

歌德巴赫猜想: 偶数=奇质数+ 歌德巴赫猜想: 即:偶数=奇质数+奇质数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇 任何一个不小于6 任何一个不小于 数之和” 数之和”
3+7=10,3+17=20,13+17=30, + = , + = , + = , 改写为: = + , = + , = + . 改写为 10=3+7,20=3+17,30=13+17. 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11, 18 =7+11, …, 1000=29+971, 1000=29+971, 1002=139+863,

歌德巴赫猜想的提出过程: 歌德巴赫猜想的提出过程:



这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;

1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明

归纳推理的一般步骤: 归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 对有限的资料进行观察、分析、 整理; 整理; 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; 检验猜想。 ⑶ 检验猜想。 1:已知数列 已知数列{a 的第1 =1且 例1:已知数列{an}的第1项a1=1
a
n + 1

=

a 1 + a
n n

),试归纳出这个数列的通项公式 (n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式. ),试归纳出这个数列的通项公式.

例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12

猜想 F+V-E=2 F+V多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔 4 5 5 6 6 8 7 7 9 4 5 6 6 8 6 10 10 9

欧拉公式
6 8 9 10 12 12 15 15 16

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)

1 1 1 * 练习: )=1 (n 练习:f(n)=1+ + + L + (n ? N )计算得 2 3 n 7 (3 2) 3 5 > 2 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3, f 2 , 2 L 推测当n ? 2时,有-----------------. 推测当n

如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动 个金属片; 每次只能移动1 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 较大的金属片不能放在较小的金属片上面 个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 表示移动n块金属片时的移动次数. 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. n=1时 当n=1时,a1=1 n=2时 当n=2时,a2= 3

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表示移动n块金属片时的移动次数. 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. n=1时 当n=1时,a1=1 n=2时 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 =3时 当n=3时,a3= 7 n=4时 当n=4时,a4= 15

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作业:P 作业:P93 1. 3. 4


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