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必修5第一章 §1.2 应用举例—②测量高度


高二数学 必修 5 第一章 § 1.2 应用举例—②测量高度(2014/9/5)
班级 姓名

例 2、 如图, A、 B 是水平面上的两个点, 相距 800 m, 在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45° , ∠BAD=120° , 又在 B 点测得∠ABD=45° ,其中 D 点是点 C 到水平面的垂足,求山高 CD.

学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题

学习过程
一、课前准备 复习:方位角、坡度、仰角、俯角 方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ; 坡度:沿余坡向上的方向与水平方向的夹角; 仰角与俯角:视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为 俯角. 二、新课导学 ※ 学习探究 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度 AB 的方法. 分析:选择基线 HG,使 H、G、B 三点共线, 要求 AB,先求 AE 在 ?ACE 中,可测得角 在 ?ACD 中,可测得角 故可求得 AC 变式 1、在某一山顶观测山下两村庄 A、B,测得 A 的俯角为 30° ,B 的俯角为 40° ,观测 A、B 两村 庄的视角为 50° , 已知 A、 B 在同一海平面上且相距 1 000 米, 求山的高度. (精确到 1 米, sin 40°≈0.643)

,关键求 AC ,线段 ,又有 ?

※ 典型例题 例 1、如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ?40 ? ,在塔底 C 处测得 A 处的俯角 ? =50 ?1? . 已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)

三、总结提升 ※ 学习小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给 的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化.
※ 知识拓展
sin(? ? ? ) 在湖面上高 h 处,测得云之仰角为 ? ,湖中云之影的俯角为 ? ,则云高为 h? . sin(? ? ? )
1

课后作业 一、基础训练题
1.如右图所示,D,C,B 在同一地平面的同一直线上,DC=10 m,从 D,C 两地测得 A 点的仰角分别为 30° 和 45° ,则 A 点离地面的高度 AB 等于 ( ). B.5 3 m D.5( 3+1)m ).

7.如图,地面上有一旗杆 OP,为了测得它的高度,在地面上选一基线 AB,测得 AB=20 m,在 A 处 测得点 P 的仰角为 30° ,在 B 处测得点 P 的仰角为 45° ,同时可测得∠AOB=60° ,求旗杆的高度(结果 保留 1 位小数).

A.10 m C.5( 3-1)m

2.从 200 m 高的山顶看,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30° ,60° ,则塔高为( 400 A. m 3 400 3 B. m 3 200 3 C. m 3 200 D. m 3

3.在一座 20 m 高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为 60° ,塔底的俯角为 45° ,观测台底部与塔底 在同一地平面,那么这座水塔的高度是________m.

二、提高训练题
4.一树干被台风吹断,折断部分与残存树干成 30° 角,树干底部与树尖着地处相距 5 米,则树干原来 的高度为________米. 8.D、C、B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 D、C 两点测得 A 点仰角分 别是 α、β(α<β),则 A 点离地面的高度 AB 等于 ( ). asin αsin β asin α· sin β A. B. sin(β-α) cos(α-β) asin αcos β acos αsin β C. D. sin(β-α) cos(α-β) 9.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点 分别测得塔顶的仰角分别为 45° ,30° ,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的 角为 120° ,甲、乙两地相距 500 m,则电视塔在这次测量中的高度是( A.100 2 m B.400 m C.200 3 m D.500 m ).

5.某地电信局信号转播塔建在一山坡上,如图 1 所示,施工人员欲在山坡上 A、B 两点处测量与地面垂直的塔 CD 的高,由 A、B 两地测得塔顶 C 的仰角 分别为 60° 和 45° ,又知 AB 的长为 40 米,斜坡与水平面成 30° 角,则该转播 塔的高度是________米.

6.如图所示,在高出地面 30 m 的小山顶上建造一座电视塔 CD,今在距离 B 点 60 m 的地面上取一点 A,若测得∠CAD=45° ,求此电视塔的高度.

10.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔 10000 m,速度为 180 km/h,飞机在 A 处先看到山顶的俯角为 15° ,经过 420 s 的水平飞行后到达 B 处,又看到山顶的俯角 为 45° ,如图,求山顶的海拔高度.(取 2=1.4, 3=1.7)

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必修 5 第一章 § 1.2 应用举例—②测量高度参考答案
10· sin 135° 1、解析 在△ ADC 中,AD= =10( 3+1)(m). sin 15° 在 Rt △ ABD 中,AB=AD· sin 30° =5( 3+1)(m). 答案 D 200 2、 解析 由山顶与塔底的俯角为 60° 可知, 山脚与塔底的水平距离为 , 又山顶看塔顶的俯角为 30° , 3 200 3 400 设塔高为 x m,则 200-x= × ,∴x= m.故选 A. 3 3 3 答案 A 3、解析:h=20+20tan 60° =20(1+ 3) m. 答案:20(1+ 3) 4、答案:10+5 3 5、解析:根据题意,可得∠ABC=45° -30° =15° ,∠DAC=60° -30° =30° ,∴∠BAC=150° , ∠ACB=15° ,∴AC=AB=40 米. AC CD 在△ ADC 中,∠BDC=120° ,由正弦定理,得 = , sin120° sin30° 40sin30° 40 3 ∴CD= = . sin120° 3 40 3 答案: 3 30 1 6、解:设 CD=x m,∠BAC=α,则 tan α= = ,又∠DAB=45° +α, 60 2 BD x+30 tan∠DAB= = , AB 60 又 tan(α+45° )= tan 45° +tan α =3 1-tan α

∴h≈13(m). ∴旗杆的高度约为 13 m. AC DC asin α 8、解析 由已知得∠DAC=β-α,由正弦定理 = ,∴AC= .在 Rt△ ABC sin α sin?β-α? sin?β-α? asin αsin β 中,AB=AC· sin β= . sin?β-α? 答案 A 9、解析 由题意画出示意图, 设高 AB=h,在 Rt△ ABC 中,由已知 BC=h,在 Rt△ ABD 中,由已知 BD= 3h,在△ BCD 中,由余弦定理 BD2=BC2 +CD2-2BC· CD· cos∠BCD 得,3h2=h2+5002+h· 500,解 之得 h=500 m.故选 D. 答案 D 10、解:∵A=15° ,∠DBC=45° ,∴∠ACB=30° ,AB=180 km/h× 420 s=21000(m). BC AB ∵在△ ABC 中, = , sinA sin∠ACB 21000 ∴BC= × sin15° =10500( 6- 2),∵CD⊥AD, 1 2 2 ∴CD=BCsin∠CBD=BC× sin45° =10500( 6- 2)× =10500( 3-1)=10500(1.7-1) 2 =7350(m). 山顶的海拔高度为:10000-7350=2650(m).

x+30 ∴ =3,∴x=150 m,即电视塔的高度为 150 m. 60 7、解:设旗杆的高度为 h, 由题意,知∠OAP=30° ,∠OBP=45° . OP 在 Rt△ AOP 中,OA= = 3h. tan 30° OP 在 Rt△ BOP 中,OB= =h. tan 45° 在△ AOB 中,由余弦定理, 得 AB2=OA2+OB2-2OA· OBcos 60° , 1 即 202=( 3h)2+h2-2 3h× h× . 2 400 解得 h2= ≈176.4. 4- 3
3


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