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广东饶平二中高三数学高考一轮复习:三角恒等变换4(含答案)


三角恒等变换 (一) 知识要点 1 三角恒等变化的知识平台 (1)同角三角函数的基本关系式:化不同名函数为同名函数(角不变) (2)诱导公式:将任意角的三角函数变换为锐角三角函数 (3)两角和与差的公式:角的分解与组合变换 (4)倍角的三角函数公式:三角函数角的变换和幂的升降 (5)辅助角公式 a sin? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin ? ? ? ? ? (其中 tan ? ?

b ) :多元化为一 a

元 2 三角恒等变化的基本题型:化简题,求值题,证明题 (二)学习要点 1 化简要求 (1)能求出则求出值; (2)项数最少; (3)函数种数最少; (4)次数最低; (5)分母尽量 不含三角函数以及不含根式; 2 证明方法其与不等式证明大致类似 3 化简了则求值也就迎刃而解 (三)例题讲解 例 1. 化简 sin ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ?
2 2 2 2

1 cos 2? ? cos 2 ? 2

sin α),b = (cos β, sin β ), | a ? b |? 例 2.已知向量 a ? (cos α,
(1)求 cos(α ? β ) 的值;(2)若 0 ? α ?

?

?

?

?

2 5 , 5

π π 5 , ? ? β ? 0,且 sin β ? ? ,求 sin α 的值。 2 2 13

例 3.若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)= (A)3-cos2x (B)3-sin2x
2

(C)3+cos2x
2

(D)3+sin2x

例 4.已知函数 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x , x ? R .求: (I) 函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (II) 函数 f ( x ) 的单调增区间.

例 5.证明:

sin(2? ? ? ) sin ? ? 2 cos(? ? ? ) ? sin ? sin ?

(四)练习题 一. 选择题 1.若 sin ? .cos ? ? A. sin ? ? 2. tan ? 和 tan(

1 ,则下列各式中一定成立的是 2
B. cos ? ? ?





2 2

2 2

C. sin ? ? cos ? ? 0

D. sin ? ? cos ? ? 0 ( )

?
4

? ? ) 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两根,则 p 与 q 的关系是
B. P+Q-1=0 C. P-Q+1=0

A.P+Q+1=0

D P-Q-1=0 ( )

1 2? ? 2? ) = 3.若 sin( ? ? ) ? ,则 cos( 6 3 3 1 7 7 A. ? B. ? C. D. 3 9 9 1 4. ? , ? 均为锐角,且 sin ? ? sin(? ? ? ) ,则 ? 与 ? 的大小的关系是 2
A. ? ? ? B. ? ? ? C. ? ? ?

?

1 3
( )

D.无法确定

5. 设 f0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f0' ( x), f 2 ( x) ? f1' ,?? fn?1 ( x) ? f n' ( x), n ? N. , 则 f 2005 ( x) ? ( ) A. sin x B. ? sin x C. cos x D. ? cos x

6.已知 ? , ? 均为锐角,若 P: sin ? ? sin(? ? ? ), q : ? ? ? ? A.充分不必要条件 C.充要条件
0

?
2

,则 P 是 q 的(



B. 必要不充分条件 D. 不充分又不必要条件
0

7.已知 tan110 ? a ,求 tan10 的值,那么在以下四个答案:①

a? 3 a? 3 ;② ; 1 ? 3a 3a ? 1
( )

③ a2 ? 1 ? a ;④ a ? a2 ? 1 中,正确的是 A.① ② 8.若 ? 为第三象限,则 B. ③ ④ C. ① ④ D. ② ③ ( D.-1 ( B. cos ? ?

cos? 1 ? sin ?
2

?

2 sin ? 1 ? cos2 ?

的值为



A.3 B.-3 9. 以下各式中能成立的是 A. sin ? ? cos ? ? C. sin ? ?

C .1

)

1 2

1 且 tan ? ? 2 2
1 2
( )

1 3 且 tan? ? 2 3

D. tan ? ? 2 且 cot ? ? ?

10. sin7°cos37°-sin83°cos53°值

1 3 3 C. D.- 2 2 2 1 ? 11.若函数 f(x)= 3 sin x, x∈[0, ], 则函数 f(x)的最大值是 2 3 1 2 2 3 A B C D 2 3 2 2 4 12 12 在△ABC 中,sinA= ,cosB= ? ,则 cosC 等于 5 13 56 16 56 16 A. B. ? C. 或? 65 65 65 65
A. ? B. 二. 填空题 13.若 tan ? =2,则 2sin2 ? -3sin ? cos ? = 14.若 sin ? - cos ? ? 15. sin ? ? cos ? ? 。

1 2

(

)

( D. ?



33 65

7 , ? ∈(0,π ) ,则 tan ? = 5




1 ,则 cos? ? sin ? 范围 2

16.下列命题正确的有_________。

? ? < ? < ? < ,则 ? ? ? 范围为(-π ,π ) ; 2 2 ? ②若 ? 在第一象限,则 在一、三象限; 2 m?3 4 ? 2m ③若 sin ? = , cos ? ? ,则 m∈(3,9) ; m?5 m?5 ? 3 ? 4 ④ sin = , cos = ? ,则 ? 在一象限。 2 2 5 5 x 17.角 ? 终边上一点 M( x ,-2) ,且 cos ? ? ,则 sin ? =_ 3
①若-

. .

18. 已知点 P(sin ? ? cos ? , tan ? ) 在第一象限, 且 ? ? ? 0, 2? ? , 则 ? 的取值范围是 三. 解答题 19.已知 tan(? ? ? ) ?

1 1 , tan ? ? ? ,且 ? , ? ? (0, ? ) ,求 2? ? ? 的值。 2 7

?? ? 20.已知函数 f ( x) ? 2 sin? x ? ? ? 2 cos x, 6? ?
(1)若 sin x ?

?? ? x?? ,? ? . ?2 ?
(2)求函数 f ( x) 的值域.

4 ,求函数 f ( x) 的值; 5

21.已知锐角 ? ABC 中, sin( A ? B ) ?

3 1 ,sin( A ? B) ? 。求证: tan A ? 2 tan B 5 5

22.证明: (1)

1 ? sin 6 ? ? cos6 ? 3 ? 1 ? sin 4 ? ? cos 4 ? 2

(2) tan x ?
2

cos 2 x 2(3 ? cos 4 x) ? sin 2 x 1 ? cos 4 x

23.若函数 f ( x) ?

x x ? a sin cos(? ? ) 的最大值为 2,试确定常数 a 的值。 ? 2 2 4sin( ? x) 2
6k ? 1 6k ? 1 ? ? ? 2 x) ? cos( ? ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) 3 3 3

1 ? cos 2 x

24.化简 f ( x) ? cos(

( x ? R, k ? Z ) ,并求函数 f ( x) 的值域和最小正周期。

25.已知函数 f(x)=

1 ? sin 2 x cos x 4 ,求 f( ? )的值. 3

(Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)设α 是第四象限的角,且 tan ? = ?

sin( ? 2? ) 2 ? cos? ? 1, ? ? (0, ? ), 求 θ 的值. 26.已知 3 sin? ? cos(? ? ? )

?

三角恒等变换答案 例 1. 分析:对三角函数式化简的目标是: (1)次数尽可能低; (2)角尽可能少; (3)三角函数名称尽可能统一; (4)项数尽可能少。 观察欲化简的式子发现: (1)次数为 2(有降次的可能) ; (2)涉及的角有α 、β 、2α 、2β , (需要把 2α 化为α ,2β 化为β ) ; (3)函数名称为正弦、余弦(可以利用平方关系进行名称的统一) ; (4)共有 3 项(需要减少) ,由于侧重角度不同,出发点不同,本题化简方法不止一种。 解法一: (复角 ? 单角,从“角”入手)

原式 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ?

1 ? (2 cos2 ? ? 1)(2 cos2 ? ? 1) 2

1 2 2 ?sin ? ?s i n ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? (4 cos2 ? ? cos2 ? ? 2 cos2 ? ? 2 cos2 ? ? 1) 2

? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ?
? sin ? ? ? cos 2 ? ? 1 1 1 ? 1? ? 2 2 2

1 2

1 2

解法二: (从“名”入手,异名化同名)

原式 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? (1 ? sin 2 ? ) ? cos2 ? ? ? cos2 ? ? sin 2 ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ?

1 cos 2? ? cos 2 ? 2

1 cos 2? ? cos 2 ? 2

? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ?

1 1 cos 2? ? cos 2 ? ? cos2 ? ? cos 2? ? (sin 2 ? ? cos 2? ) 2 2

?

1 1 ? cos 2? 1 ? ? 1 ? cos 2 ? 1 ? cos 2 ? ? ? cos 2? ?sin 2 ? ? (1 ? 2 sin 2 ? )? ? 2 2 2 2 2 ? ?

解法三: (从“幂”入手,利用降幂公式先降次)

1 ? cos 2? 1 ? cos 2 ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? ? ? ? cos 2? ? cos 2? 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? cos 2? ? cos 2? ? cos 2? ? cos 2? ) ? (1 ? cos 2? ? cos 2 ? ? cos 2? ? cos 2? ) 4 4 1 1 1 1 ? ?co s 2? ? c o s 2? ? ? ? 4 4 2 2 原式 ?
解法四: (从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)

1 cos 2? ? cos 2? 2 1 1 1 2 ? cos (? ? ? ) ? s i n 2? ? s i n 2? ? c o s 2? ? c o s 2? ? c o 2 s(? ? ? ) ? ? c o s2 (? ? 2 ? ) 2 2 2 1 1 ? cos 2 (? ? ? ) ? ? ?2 cos 2 (? ? ? ) ? 1? ? 2 2 原式 ? (sin ? ? sin ? ? cos? ? cos ? ) 2 ? 2 sin ? ? sin ? ? cos? ? cos ? ?
[注]在对三角式作变形时,以上四种方法,提供了四种变形的角度,这也是研究其他三角 问题时经常要用的变形手法。 例 2.解:(1)因为 a ? (cos α , sin α),b=(cos β, sin β), 所以 a ? b ? (cos α ? cos β, sin α ? sin β), 又因为 | a ? b |?

?

?

? ?
?

?

2 5 2 5 2 2 ,所以 (cos α ? cos β ) ? (sin α ? sin β ) ? , 5 5
4 5 3 ; 5

cos(α ? β ) ? 即 2 ? 2 cos(α ? β ) ? ,
(2) 0 ? α ?

π π , ? ? β ? 0, 0?α? β ?π, 2 2

又因为 cos(α ? β ) ?

3 4 ,所以 sin(α ? β ) ? , 5 5 12 63 5 sin β ? ? ,所以 cos β ? ,所以 sin α ? sin[(α ? β ) ? β ] ? ? ? 13 65 13

点评 本小题主要考查平面向量的概念和计算, 三角函数的恒等变换的基本技能, 着重考查 数学运算能力.平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一. 例 3.解析: f (sin x) ? 3 ? cos 2 x ? 3 ? (1 ? 2sin 2 x) ? 2sin 2 x ? 2 所以 f ( x) ? 2x2 ? 2 ,因此 f (cos x) ? 2cos2 x ? 2 ? (2cos2 x ?1) ? 3 ? 3 ? cos 2 x 故选 C 例 4.解:(I) 解法一:

f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) 2 2 4

?当 2 x ?

?

4

? 2 k? ?

?

2

,即 x ? k? ?

?

8

(k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 2 .

函数 f ( x ) 的取得最大值的自变量 x 的集合为 {x / x ? R, x ? k? ? 解法二:

?
8

(k ? Z )} .

f ( x) ? (sin 2 x ? cos2 x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? 2sin x cos x ?1 ? 2cos2 x ? sin 2x ? cos 2x ? 2
? 2 ? 2 sin(2 x ?

?
4

)

?当 2 x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,即 x ? k? ?

?
8

(k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 2 .

函数 f ( x ) 的取得最大值的自变量 x 的集合为 {x / x ? R, x ? k? ? (II)解: f ( x) ? 2 ? 2 sin(2 x ? 即: k? ?

?
8

(k ? Z )} .

?
4

) 由题意得: 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

(k ? Z )

3? ? 3? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 因此函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 8 8 8 8 sin(2? ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) sin ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 2 cos(? ? ? ) sin ? 例 5.左= = sin ? sin ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? sin ? = = =右 sin ? sin ?
四. 选择题 1.D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.B 7.D 8.B [解析]:∵ ? 为第三象限,∴ sin ? ? 0, cos? ? 0 则

cos? 1 ? sin ?
2

?

cos? 2 sin ? ? ? ?1 ? 2 ? ?3 1 ? cos ? | cos? | | sin ? |
2

2 sin ?

9.C 10.A

[解析]: 若 sin ? ?

1 ? 3 且 tan? ? 则 ? ? 2k? ? 2 6 3

(k ? Z )

[解析]:sin7°cos37°-sin83°cos53°= sin7°cos37°-cos7°sin37° =sin(7°- 37°)

11.D 12.A

[解析]:函数 f(x)= 3 sin [解析]:∵ cosB= ?

1 ? 1 ? 1 3 x, ∵x∈[0, ],∴ x∈[0, ],∴ 3 sin x ? 2 2 2 3 6 2

12 ,∴B 是钝角,∴C 就是锐角,即 cosC>0,故选 A 13

五. 填空题

2 13. 5
14. ?

2 sin 2 ? ? 3 sin ? cos? 2 tan2 ? ? 3 tan? ? [解析]:2sin ? -3sin ? cos ? = sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1
2

7 ? >1,且 ? ∈(0,π )∴ ? ∈( , 5 2 7 2 24 1 2 π ) ∴ ( sin ? - cos ? ) ? ( ) ∴2sin ? cos ? = ? ∴ sin ? + cos ? ? ? 5 25 5 4 3 3 4 4 3 ∴sin ? = cos ? = ? 或 sin ? = cos ? = ? tan ? = ? 或 ? 5 5 5 5 3 4
4 3 或? 3 4
[解析]: ∵ sin ? - cos ? ? 15. ?? ∴

? 1 1? , ? ? 2 2?

[解析]: ∵ sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? = sin(? ? ? )

3 1 ? cos ? ? sin ? ? 2 2 1 又 sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? = sin(? ? ? ) ∴ cos? ? sin ? = ? sin(? ? ? ) 2 1 3 1 1 ∴ ? ? cos ? ? sin ? ? 故 ? ? cos ? ? sin ? ? 2 2 2 2

cos? ? sin ? = sin(? ? ? ) ?

1 2



?

16.②④ [解析]:∵若-

? ? < ? < ? < ,则 ? ? ? 范围为(-π ,0)∴①错 2 2 m?3 4 ? 2m ∵若 sin ? = , cos ? ? ,则 m∈(3,9) m?5 m?5 2 2 又由 sin ? ? cos ? ? 1 得 m=0 或 m=8 ∴m=8 故③错

17.

?

2 或 ?1 3

18.

? ? 5? ( , ) ? (? , ) 4 2 4
? tan(? ? ? ) ? tan ? 1 ? 。而 ? ? (0, ? ),?? ? (0, ) 2 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 3

六. 解答题 19. tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? 而 tan ? ? ?

1 ? 1 ? 0, 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,??? ? ? ? ? ? 0 。而 tan(? ? ? ) ? ? 0 7 2 2

??? ? ? ? ? ? ?

?

2

, ? 2? ? ? ? ? ? (? ? ? ) ? (?? ,0) ,

且 tan(2? ? ? ) ? tan[? ? (? ? ? )] ? 1

3 ? 2? ? ? ? ? ?。 4
? sin x ? 4 , 5 3 ?? ? x ? ? , ? ? , ? cos x ? ? 5 ?2 ?


20









1



? 3 ? 1 ? f ( x) ? 2? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? 2 cos x ? ?
? 3 sin x ? cos x ?

4 3 3? . 5 5
1 ?? ? ?s i n ? x ? ? ? 1, 2 6? ?

?? ? ? 5? ? ? (2) f ( x) ? 2 sin? x ? ? ,? , ? x ? ? ,? ?x? ? 6? 3 6 6 2 ?
? 函数 f ( x) 的值域为 [1, 2 ]
21.证明:? sin( A ? B ) ?

3 1 ,sin( A ? B) ? 5 5

3 2 ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? sin A cos B ? ? ? tan A ? ? 5 5 ?? ?? ? ? 2 ? tan A ? 2 tan B tan B ?sin A cos B ? cos A sin B ? 1 ?cos A sin B ? 1 ? ? 5 5 ? ?

(sin 2 ? ? cos2 ? )3 ? sin 6 ? ? cos6 ? 3sin 4 ? cos 2 ? ? 3cos 4 ? sin 2 ? 3 ? 22. (1)左= = 2sin 2 ? cos 2 ? 2 (sin 2 ? ? cos2 ? )2 ? sin 4 ? ? cos4 ?
(2)提示:化为玄,通分降次 23. 解

2cos2 x x x 1 a f ( x) ? ? a sin cos ? cos x ? sin x 4cos x 2 2 2 2
由已知有

1 1 ? a2 ? sin( x ? ? ) (其中 tan ? ? ) a 2
24. 解

1 ? a2 ? 2,? a ? ? 15 2

f ( x) ? cos(2k? ?

? ? ? ? 2 x) ? cos(2k? ? ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) 3 3 3

? ? ? 2cos( ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) ? 4cos 2 x 3 3
?
函数

f ( x) 的值域为 ? ?4,4? ,其最小正周期 T ? ? 。
? (k∈Z), 2

25 解:(Ⅰ)由 cosx≠0 得 x≠kπ + 故 f(x)的定义域为{|x|x≠kπ + (Ⅱ)因为 tanα = ?

? ,k∈Z}. 2

4 ,且α 是第四象限的角, 3

所以 sinα = ?

4 3 ,cosα = , 5 5

1 ? sin 2? 1 ? 2sin ? cos ? 故 f(α )= = cos ? cos ?

? 4? 3 1? 2? ? ? ?? ? 5 ? 5 = 49 . = 3 15 5

26. 解析: 由已知条件得 3 sin? ? 即 3 sin? ? 2 sin2 ? ? 0 . 由 0<θ<π 知 sin? ?

cos 2? ? cos? ? 1 . ? cos?

解得 sin? ?

3 或 sin? ? 0 . 2

3 ? 2? ,从而 ? ? 或? ? . 3 3 2


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