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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第三章 3.1


数学

北(理)

§3.1 导数的概念及运算
第三章 导数及其应用

基础知识·自主学习
要点梳理
1.函数y=f(x)从x0到x1的平均变化率
知识回顾 理清教材

f?x1?-f?x0? f?x0+Δx?-f?x0? Δy = x1-x0 = . Δx Δx
2.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值 , 那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬 时变化率为函数y=f(x)在x0点的导数,通常用符号f′(x0)表示,记

f?x0+Δx?-f?x0? f?x1?-f?x0? lim lim Δx 作f′(x0)= x1→x0 x1-x0 = Δx→0 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点
(x0,f(x0)) 处的 切线的斜率 .相应地,切线方程为 y-f(x0)=

知识回顾 理清教材

=f′(x0)(x-x0) .
3.函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数,导数

f?x+Δx?-f?x? lim Δx 值记为f′(x):f′(x)= Δx→0

,则f′(x)是关于

x的函数,称f′(x)为f(x)的导函数,通常也简称为导数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
4.基本初等函数的导数公式 函数 f(x)=c (c为常数) f(x)=xα (α为实数) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=tan x f(x)=cot x 导函数 f′(x)= 0 f′(x)= αxα-1 f′(x)= cos x f′(x)= -sin x

知识回顾 理清教材

1 f′(x)= cos2x

1 - 2 f′(x)= sin x
思想方法 练出高分

基础知识

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基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

f(x)=a (a>0) f(x)=ex f(x)=logax (a>0,且a≠1)

x

x a f′(x)= ln a

f′(x)= ex
1 f′(x)= xln a 1 f′(x)= x

f(x)=ln x

基础知识

题型分类

思想方法

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基础知识·自主学习
要点梳理
5.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′= (2)[f(x)· g(x)]′=
? f?x? ? ? ? (3)? ?′= g ? x ? ? ?

知识回顾 理清教材

f′(x)± g′(x) ; f′(x)g(x)+f(x)g′(x)



f′?x?g?x?-f?x?g′?x? [g?x?]2 (g(x)≠0).

6.复合函数的导数 函数y=f(φ(x))称为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,其导数为 yx′=[f(φ(x))]′= f′(u)φ′(x) .

基础知识

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思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) √ (4) × (5) × (6) ×

解析

2 B D
1 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用定义求函数的导数
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

利用导数的定义求函

数f(x)=x3在x=x0处的导数, 并求曲线f(x)=x3在x=x0处的 切线与曲线f(x)=x3的交点.

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型一 利用定义求函数的导数
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

利用导数的定义求函

数f(x)=x3在x=x0处的导数, 并求曲线f(x)=x3在x=x0处的 切线与曲线f(x)=x3的交点.
掌握导数的定义,理解导数 的几何意义是解决本题的关 键.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用定义求函数的导数
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

利用导数的定义求函

数f(x)=x3在x=x0处的导数, 并求曲线f(x)=x3在x=x0处的 切线与曲线f(x)=x3的交点.



f?x?-f?x0? lim f′(x0)= x? x0 x-x0
0

3 3 x - x 0 lim =x ?x x-x0

lim (x2+xx +x2) =x ?x 0 0
0

=3x2 0.

曲线f(x)=x3在x=x0处的切线方 程为
2 y-x3 (x-x0), 0=3x0·

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题型分类·深度剖析
题型一 利用定义求函数的导数
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

利用导数的定义求函

数f(x)=x3在x=x0处的导数, 并求曲线f(x)=x3在x=x0处的 切线与曲线f(x)=x 的交点.
3

3 即y=3x2 x - 2 x 0 0, 3 ? ?y=x , 由? 2 3 ? y = 3 x x - 2 x ? 0 0,

得(x-x0)2(x+2x0)=0, 解得x=x0,x=-2x0.
若x0≠0,则交点坐标为(x0,x 3 0 ),
3 (-2x0,-8x 0 );若x0=0,则交点

坐标为(0,0).

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型一 利用定义求函数的导数
思维启迪 解析 思维升华

【 例 1】

利用导数的定义求函

数f(x)=x3在x=x0处的导数, 并求曲线f(x)=x 在x=x0处的 切线与曲线f(x)=x3的交点.
3

求函数f(x)的导数步骤: (1)求函数值的增量 Δy=f(x2)-f(x1);

(2)计算平均变化率 Δy f?x2?-f?x1? Δx= x2-x1 ;
Δy (3)计算导数 f′(x)=Δ lim . x→0 Δx

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题型分类·深度剖析
1 Δy 跟踪训练 1 (1)函数 y=x+x在[x,x+Δx]上的平均变化率 = Δx 1 1- ___________ . x?x+Δx? ;该函数在 x=1 处的导数是________ 0 (2)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导,且 x0?(a,b),则 f?x0+h?-f?x0-h? lim 的值为 ( h h→0 A.f′(x0) C.-2f′(x0)
解析 (1)∵Δy=(x+Δx)+

)

B.2f′(x0) D.0

1 1 -x- x x+Δx -Δx 1 1 =Δx+ - =Δx+ . x+Δx x x?x+Δx? Δy 1 Δy ∴Δx=1- .y′|x=1= lim Δx=0. x?x+Δx? Δx→0
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
1 Δy 跟踪训练 1 (1)函数 y=x+x在[x,x+Δx]上的平均变化率 = Δx 1 1- ___________ . x?x+Δx? ;该函数在 x=1 处的导数是________ 0 (2)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导,且 x0?(a,b),则 f?x0+h?-f?x0-h? lim 的值为 ( B ) h h→0 A.f′(x0) C.-2f′(x0) B.2f′(x0) D.0

f?x0+h?-f?x0-h? f?x0+h?-f?x0-h? 解析 (2)lim =2×lim h 2h → h 0 h→0

=2f′(x0).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 导数的运算
思维启迪 解析 思维升华

【例2】

求下列函数的导数:

(1)y=ex· ln x; ? 1? ? 2 1 (2)y=x?x +x+x3 ? ?; ? ? ? π? 2? (3)y=sin ?2x+ ? ?; 3 ? ? (4)y=ln(2x+5).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 导数的运算
思维启迪 解析 思维升华

【例2】

求下列函数的导数:

(1)y=ex· ln x; ? 1? ? 2 1 (2)y=x?x +x+x3 ? ?; ? ? ? π? 2? (3)y=sin ?2x+ ? ?; 3 ? ? (4)y=ln(2x+5).

求函数的导数,首先要搞清 函数的结构;若式子能化 简,可先化简再求导.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 导数的运算
思维启迪 解析 思维升华

【例2】

求下列函数的导数:

(1)y=ex· ln x; ? 1? ? 2 1 (2)y=x?x +x+x3 ? ?; ? ? ? π? 2? (3)y=sin ?2x+ ? ?; 3 ? ? (4)y=ln(2x+5).

(1)y′=(ex· ln x)′ x x1 =e ln x+e · x 1 x =e (ln x+x). 1 (2)∵y=x3+1+x2, 2 2 ∴y′=3x -x3. π 2 (3)y=sin (2x+3) 解
1 1 2 =2-2cos(4x+3π)

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 导数的运算
思维启迪 解析 思维升华

【例2】

求下列函数的导数:

(1)y=ex· ln x; ? 1? ? 2 1 (2)y=x?x +x+x3 ? ?; ? ? ? π? 2? (3)y=sin ?2x+ ? ?; 3 ? ? (4)y=ln(2x+5).

1 1 2 故设y= - cos u,u=4x+ π, 2 2 3 1 则yx′=yu′· ux′=2sin u· 4 2 =2sin u=2sin(4x+ π). 3
(4)设y=ln u,u=2x+5, 则y′x=y′u· u′x,
1 因此y′= · (2x+5)′ 2x+5 2 = . 2x+5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 导数的运算
思维启迪 解析 思维升华

【例2】

求下列函数的导数:

(1)y=ex· ln x; ? 1? ? 2 1 (2)y=x?x +x+x3 ? ?; ? ? ? π? 2? (3)y=sin ?2x+ ? ?; 3 ? ? (4)y=ln(2x+5).

(1)求导之前,应利用代数、三角恒 等式等变形对函数进行化简,然后 求导,这样可以减少运算量,提高 运算速度,减少差错; (2)有的函数虽然表面形式为函数的
商的形式,但在求导前利用代数或 三角恒等变形将函数先化简,然后 进行求导,有时可以避免使用商的 求导法则,减少运算量;

(3)复合函数的求导,要正确分析函 数的复合层次,通过设中间变量, 确定复合过程,然后求导.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 求下列函数的导数. (1)y=(x+1)(x+2)(x+3); x 2x (2)y=sin (1-2cos ); 2 4 (3)y=ln(x2+1).
解 (1)方法一 ∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 方法二 y′=[ (x+1)(x+2)] ′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =[ (x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′] (x+3)+(x+1)(x+2)
=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)

=3x2+12x+11.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 求下列函数的导数. (1)y=(x+1)(x+2)(x+3); x 2x (2)y=sin (1-2cos ); 2 4 (3)y=ln(x2+1).
x x 1 (2)∵y=sin (-cos )=- sin x, 2 2 2
1 1 1 ∴y′=(-2sin x)′=-2(sin x)′=-2cos x.

1 2x 2 (3)y′=ln(x +1)′= 2 · (x +1)′= 2 . x +1 x +1
2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 导数的几何意义

【例3】

已知函数f(x)=x3-

思维启迪

解析

思维升华

4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处 的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲 线f(x)的切线方程.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 导数的几何意义

【例3】

已知函数f(x)=x3-

思维启迪

解析

思维升华

4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处 的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲 线f(x)的切线方程.
由导数的几何意义先求斜 率,再求方程,注意点是否 在曲线上,是否为切点.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 导数的几何意义

【例3】
2

已知函数f(x)=x3-

思维启迪

解析

思维升华

4x +5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处 的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲 线f(x)的切线方程.



(1)∵f′(x)=3x2-8x+5,

∴f′(2)=1,
又f(2)=-2,
∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线 方程为y-(-2)=x-2,

即x-y-4=0.
2 (2)设切点坐标为(x0,x 3 0 -4x 0 +

5x0-4),
2 ∵f′(x0)=3x0 -8x0+5,

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 导数的几何意义

【例3】
2

已知函数f(x)=x3-

思维启迪

解析

思维升华

4x +5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处 的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲 线f(x)的切线方程.

∴切线方程为y-(-2) =(3x2 0-8x0+5)(x-2), 3 又切线过点(x0,x 0 -4x 2 0 +5x0
-4), 3 ∴x0 -4x2 0+5x0-2 =(3x2 0-8x0+5)(x0-2), 整理得(x0-2)2(x0-1)=0, 解得x0=2或x0=1,
∴经过A(2,-2)的曲线f(x)的 切线方程为x-y-4=0,或y +2=0.

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题型分类·深度剖析
题型三 导数的几何意义

【例3】

已知函数f(x)=x3-

思维启迪

解析

思维升华

4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处 的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲 线f(x)的切线方程.

导数几何意义的应用,需注意 以下两点: (1)当曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处的切线垂直于x轴时,函数 在该点处的导数不存在,切线 方程是x=x0;

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题型分类·深度剖析
题型三 导数的几何意义

【例3】

已知函数f(x)=x3-

思维启迪

解析

思维升华

4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处 的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲 线f(x)的切线方程.

(2)注意区分曲线在某点处的 切线和曲线过某点的切线.曲 线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的 切线方程是y-f(x0)=f′(x0)(x -x0);求过某点的切线方 程,需先设出切点坐标,再依 据已知点在切线上求解.
思想方法

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题型分类·深度剖析
跟踪训练3 (1)曲线y=x+sin x在点(0,0)处的切线方程是 2x-y=0 _____________ .

解析 ∵y=x+sin x,∴y′=1+cos x,
当x=0时,y′=1+cos 0=2,
故曲线y=x+sin x在点(0,0)处的切线方程是y-0=2(x-0), 2x-y=0.

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题型分类·深度剖析
跟踪训练3 A.-3 已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(0,16)且与曲线y=f(x) ( D ) B. 3 C.6 D.9 相切的切线方程为y=ax+16,则实数a的值是

解析 先设切点为M(x0,y0),则切点在曲线上, 即y0=x3 0-3x0, ①

求导数得到切线的斜率k=f′(x0)=3x2 0-3,
y0-16 又切线l过A、M两点,所以k= x ,
0

y0-16 2 则3x0-3= x , 0 联立①、②可解得x0=-2,y0=-2, -2-16 从而实数a的值为a=k= =9. -2
基础知识 题型分类 思想方法



练出高分

题型分类·深度剖析
审题路线图系列1 一审条件挖隐含
典例:(12分)设函数y=x2-2x+2的图像为C1,函数y=-x2+ax+b的图像为 C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系; (2)求ab的最大值.

审 题 路 线 图

解 析

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
审题路线图系列1 一审条件挖隐含
典例:(12分)设函数y=x2-2x+2的图像为C1,函数y=-x2+ax+b的图像为 C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系; (2)求ab的最大值.

审 题 路 线 图

解 析

温 馨 提 醒

C1 与 C2 有交点 ↓(可设 C1 与 C2 的交点为(x0,y0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
审题路线图系列1 一审条件挖隐含
典例:(12分)设函数y=x2-2x+2的图像为C1,函数y=-x2+ax+b的图像为 C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系; (2)求ab的最大值.

审 题 路 线 图

解 析

温 馨 提 醒

↓?导数的几何意义? 利用导数求两切线的斜率: k1=2x0-2,k2=-2x0+a ↓?等价转换? (2x0-2)(-2x0+a)=-1
基础知识 题型分类


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题型分类·深度剖析
审题路线图系列1 一审条件挖隐含
典例:(12分)设函数y=x2-2x+2的图像为C1,函数y=-x2+ax+b的图像为 C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系; (2)求ab的最大值.

审 题 路 线 图

解 析

温 馨 提 醒

↓(交点(x0,y0)适合解析式) 2 ? ?y0=x0-2x0+2 2 ? ,即 2 x 0-(a+2)x0+2-b=0 ② 2 ? ?y0=-x0+ax0+b ↓?注意隐含条件方程①②同解? 5 a+b= 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
审题路线图系列1 一审条件挖隐含
典例:(12分)设函数y=x2-2x+2的图像为C1,函数y=-x2+ax+b的图像为 C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系; (2)求ab的最大值.

审 题 路 线 图

解 析

温 馨 提 醒

↓?消元? ?5 ? ? 5?2 25 ab=a?2-a?=-?a-4? + 16 ? ? ? ? 5 25 ↓当a= 时,ab最大且最大值为 . 4 16
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
审题路线图系列1 一审条件挖隐含
典例:(12分)设函数y=x2-2x+2的图像为C1,函数y=-x2+ax+b的图像为 C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系; (2)求ab的最大值.

审 题 路 线 图

解 析

温 馨 提 醒
1分 2分



(1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,

对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,

设C1与C2的一个交点为(x0,y0), 由题意知过交点(x0,y0)的两切线互相垂直.

∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,
2 即4x0 -2(a+2)x0+2a-1=0


思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
审题路线图系列1 一审条件挖隐含
典例:(12分)设函数y=x2-2x+2的图像为C1,函数y=-x2+ax+b的图像为 C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系; (2)求ab的最大值.

审 题 路 线 图

解 析

温 馨 提 醒

又点(x0,y0)在C1与C2上,
2 ? ?y0=x0-2x0+2 故有? 2 ? y =- x ? 0 0+ax0+b
2 ?2x0 -(a+2)x0+2-b=0


6分

5 由①②消去x0,可得a+b=2.
基础知识 题型分类 思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
审题路线图系列1 一审条件挖隐含
典例:(12分)设函数y=x2-2x+2的图像为C1,函数y=-x2+ax+b的图像为 C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系; (2)求ab的最大值.

审 题 路 线 图

解 析

温 馨 提 醒

5 (2)由(1)知:b= -a, 2
?5 ? ? 5?2 25 ∴ab=a?2-a?=-?a-4? +16. ? ? ? ?

9分

5 25 ∴当a=4时,(ab)最大值=16.
基础知识 题型分类 思想方法

12分

练出高分

题型分类·深度剖析
审题路线图系列1 一审条件挖隐含
典例:(12分)设函数y=x2-2x+2的图像为C1,函数y=-x2+ax+b的图像为 C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系; (2)求ab的最大值.

审 题 路 线 图

解 析

温 馨 提 醒

审题包括两方面内容:题目信息的挖掘、整合以及解题方 法的选择;本题切入点是两条曲线有交点P(x0,y0),交点 处的切线互相垂直,通过审题路线可以清晰看到审题的思 维过程.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

思想方法·感悟提高
1.f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值; (f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)

方 法 与 技 巧

是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.

2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基 本原则.求导时,不但要重视求导法则的应 用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作 用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价 性,避免不必要的运算失误.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符体 号,防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确 分解函数的结构,由外向内逐层求导.

失 误 与 防 范

2.求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的 切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.

3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这 和研究直线与二次曲线相切时有差别.
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1.设f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x0的值为 ( B ) ln 2 2 A.e B.e C. D.ln 2 2

解析 由f(x)=xln x得f′(x)=ln x+1.
根据题意知ln x0+1=2,所以ln x0=1,因此x0=e.

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2.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)等 于 A.-1 B.-2 C.2 ( B ) D.0

解析 f′(x)=4ax3+2bx,

∵f′(x)为奇函数且f′(1)=2, ∴f′(-1)=-2.

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1 2 3.已知函数f(x)= x +4ln x,若存在满足1≤x0≤3的实数x0,使 2 得曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x+my-10=0垂 直,则实数m的取值范围是 A.[5,+∞) 13 C.[4, ] 3 B.[4,5] D.(-∞,4) ( B )

4 解析 f′(x)=x+x ,当1≤x0≤3时,f′(x0)?[4,5] ,
又k=f′(x0)=m,所以m?[ 4,5] .

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4.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角 形的面积为 1 A. 12 ( B ) 1 B. 6 1 C. 3 1 D. 2

解析

求导得y′=3x2,所以y′=3x2|x=1=3,

所以曲线y=x3在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),

结合图像易知所围成的三角形是直角三角形, 2 三个交点的坐标分别是( ,0),(1,0),(1,1), 3 1 2 1 于是三角形的面积为2×(1-3)×1=6,故选B.
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5.已知f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)= f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n?N+, 则f2 015(x)等于 A.-sin x-cos x C.-sin x+cos x B.sin x-cos x D.sin x+cos x ( A )

解析 ∵f1(x)=sin x+cos x, ∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, ∴f3(x)=f2′(x)=-sin x-cos x, ∴f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x, ∴f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x,
∴fn(x)是以4为周期的函数,
∴f2 015(x)=f3(x)=-sin x-cos x,故选A.
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6.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2x· f′(2), 则f′(5)=________. 6

解析

对f(x)=3x2+2xf′(2)求导,

得f′(x)=6x+2f′(2).
令x=2,得f′(2)=-12.
再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6.

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7.已知函数y=f(x)及其导函数y=f′(x)的图像 如图所示,则曲线y=f(x)在点P处的切线方 x-y-2=0 程是__________________ .

解析 根据导数的几何意义及图像可知,
曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(2)=1,又过点 P(2,0),

所以切线方程为x-y-2=0.

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1 2 8.若函数f(x)= x -ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a 2 [2,+∞). 的取值范围是________
1 2 1 ∵f(x)= x -ax+ln x,∴f′(x)=x-a+ . 2 x

解析

∵f(x)存在垂直于y轴的切线,∴f′(x)存在零点,

1 1 x+ -a=0,∴a=x+ ≥2. x x

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9.求下列函数的导数. (1)y=xnlg x; 1 2 1 (2)y=x+ 2+ 3; x x sin x (3)y= xn ; (4)y=logasin x(a>0且a≠1).
n-1

解 (1)y′=nx

1 1 n-1 lg x+x · xln 10=x (nlg x+ln 10).
n

1 2 1 - - - (2)y′=(x )′+(x2)′+(x3)′=(x 1)′+(2x 2)′+(x 3)′ 1 4 3 -2 -3 -4 =-x -4x -3x =-x2-x3-x4.
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9.求下列函数的导数. (1)y=xnlg x; 1 2 1 (2)y=x+ 2+ 3; x x sin x (3)y= xn ; (4)y=logasin x(a>0且a≠1).

xn?sin x?′-?xn?′sin x sin x (3)y′=( xn )′= x2 n
xncos x-nxn-1sin x xcos x-nsin x = = . x2n xn+1
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9.求下列函数的导数. (1)y=xnlg x; 1 2 1 (2)y=x+ 2+ 3; x x sin x (3)y= xn ; (4)y=logasin x(a>0且a≠1).

(4)令y=logau,u=sin x,
1 1 logae y′=ulogae· cos x=tan x· logae= tan x .
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1 3 4 10.已知曲线y= x + . 3 3 (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程. 1 3 4 解 (1)∵P(2,4)在曲线y= x + 上,且y′=x2, 3 3 ∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x=2=4.

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. 1 3 4 (2)设曲线y=3x +3与过点P(2,4)的切线相切于点 ? 1 3 4? A?x0,3x0+3?, ? ?
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1 3 4 10.已知曲线y= x + . 3 3 (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
则切线的斜率为y′|x=x =x2 0.
0

?1 4? 2 3 ∴切线方程为y-?3x0+3?=x0(x-x0), ? ?

2 3 4 2 即y=x0· x- x0+ . 3 3
2 3 4 2 ∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x0- x0+ , 3 3 3 3 2 2 即x0 -3x2 0+4=0,∴x0+x0-4x0+4=0,
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1 3 4 10.已知曲线y= x + . 3 3 (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
2 ∴x0 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,

∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,

故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.

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1.在函数y=x3-9x的图像上,满足在该点处的切线的倾斜角小于 π ,且横、纵坐标都为整数的点的个数是 ( A ) 4 A.0 B. 1 C.2
2

D.3
2

10 解析 依题意得,y′=3x -9,令0≤y′<1得3≤x < , 3 显然满足该不等式的整数x不存在,

因此在函数y=x3-9x的图像上,满足在该点处的切线的倾斜 π 角小于4,且横、纵坐标都为整数的点的个数是0,选A.
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2.若函数f(x)=x2+bx+c的图像的顶点在第四象限,则函数 f′(x)的大致图像是 ( A )

解析

2 ? ? b b ∵f(x)=x2+bx+c=?x+2?2- 4 +c, ? ?

b 由f(x)的图像的顶点在第四象限得-2>0,∴b<0.
又f′(x)=2x+b,斜率为正,纵截距为负,故选A.
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3.已知曲线C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线C外一点A(1,0)引曲

27 线C的两条切线,它们的倾斜角互补,则a的值为________ . 8

解析

设切点坐标为(t,t3-at+a).

由题意知,f′(x)=3x2-a,
切线的斜率为k=y′|x=t=3t2-a,
所以切线方程为y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t).
将点(1,0)代入②式得,-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t), 3 解之得,t=0或t= . 2 3 27 分别将t=0和t=2代入①式,得k=-a和k= 4 -a, 27 由题意得它们互为相反数得a= 8 .
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b 4.设函数f(x)=ax- x ,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的 三角形面积为定值,并求此定值.

7 解 (1)方程7x-4y-12=0可化为y=4x-3. 1 b 当x=2时,y=2.又f′(x)=a+x2, b 1 ? ? ?2a-2=2, ?a=1, 3 ? ? 于是 解得 故f(x)=x- . x ? b 7 b = 3. ? ?a+ = , 4 4 ?
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b 4.设函数f(x)=ax- x ,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的 三角形面积为定值,并求此定值.

3 (2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+ 2 知曲线在点 x ? 3? P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=?1+x2?(x-x0), ? 0?
? 3? ? 3? 即y-?x0-x ?=?1+x2?(x-x0). ? ? 0? 0?

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b 4.设函数f(x)=ax- x ,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的 三角形面积为定值,并求此定值.

? 6? 从而得切线与直线x=0的交点坐标为?0,-x ?. ? 0?

6 令x=0,得y=- , x0

令y=x,得y=x=2x0,
从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
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b 4.设函数f(x)=ax- x ,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的 三角形面积为定值,并求此定值.

所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形 1? 6 ? 的面积为S= ?-x ?|2x0|=6. 2? 0?

故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三 角形面积为定值,且此定值为6.
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9 5.设有抛物线C:y=-x + x-4,过原点O作C的切线y=kx,使切 2 点P在第一象限. (1)求k的值; (2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.

解 (1)设点P的坐标为(x1,y1),则y1=kx1, 9 2 y1=-x1+ x1-4, 2 9 2 ①代入②得x1+(k- )x1+4=0. 2 92 17 1 ∵P为切点,∴Δ=(k-2) -16=0得k= 2 或k=2.
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① ②

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9 5.设有抛物线C:y=-x + x-4,过原点O作C的切线y=kx,使切 2 点P在第一象限. (1)求k的值; (2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.
17 当k= 时,x1=-2,y1=-17. 2 1 当k=2时,x1=2,y1=1.

1 ∵P在第一象限,∴所求的斜率k=2.

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(2)过P点作切线的垂线,其方程为y=-2x+5.
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9 5.设有抛物线C:y=-x + x-4,过原点O作C的切线y=kx,使切 2 点P在第一象限. (1)求k的值; (2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.

13 将③代入抛物线方程得x - x+9=0. 2
2

设Q点的坐标为(x2,y2),即2x2=9,

9 ∴x2=2,y2=-4. 9 ∴Q点的坐标为(2,-4).
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