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二次函数专题复习

二次函数专题复习

知识点一、二次函数的概念和图像 知识点二、二次函数的解析式 知识点三、二次函数的最值 知识点四、二次函数的性质 知识点五、图象的平移

二次函数的概念和图像性质专题 二次函数的解析式专题 二次函数的最值专题 图象的平移专题 真题综合训练

1

知识点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念 一般地,如果 y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0) ,特别注意 a 不为零,那么 y 叫做 x 的二次函数。 y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0) 叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于 x ? ?

b 对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 2a

抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点 M,并用虚线 画出对称轴 (2)求抛物线 y ? ax ? bx ? c 与坐标轴的交点:
2

当抛物线与 x 轴有两个交点时,描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C,再找到 点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次 函数的图像。 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一 对对称点 A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。

知识点二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式:口诀----(1)一般

一般 两根 三顶点

一般式: y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0)
2

( 2 ) 两 根 当 抛 物 线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴 有 交 点 时 , 即 对 应 二 次 好 方 程

ax2 ? bx ? c ? 0 有 实 根 x1 和 x2 存 在 时 , 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因 式

ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) , 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c 可 转 化 为 两 根 式

y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 。如果没有交点,则不能这样表示。
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小,a 的绝对值越大,抛物线的开口越小.

a ? 0) (3)三顶点顶点式: y ? a( x ? h) ? k (a, h, k是常数,
2

2

知识点三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值) ,即当

x??

4ac ? b 2 b 时, y最值 ? 。 2a 4a
b 是否在自变量取值范围 2a

如果自变量的取值范围是 x1 ? x ? x 2 ,那么,首先要看 ?

4ac ? b 2 b 时, y最值 ? ;若不在此范围内,则 x1 ? x ? x2 内,若在此范围内,则当 x= ? 2a 4a
需要考虑函数在 x1 ? x ? x 2 范围内的增减性,如果在此范围内,y 随 x 的增大而增大,则当
2 x ? x2 时, y最大 ? ax2 ? bx2 ? c ,当 x ? x1 时, y最小 ? ax12 ? bx1 ? c ;如果在此范围内, 2 y 随 x 的 增 大 而 减 小 , 则 当 x ? x1 时 , y最大 ? ax1 ? bx1 ? c , 当 x ? x2 时 , 2 y最小 ? ax2 ? bx2 ? c 。

☆、几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 当a ? 0时 开口向上 对称轴 顶点坐标 (0,0) (0, k ) ( h ,0) (h ,k )

y ? ax2 y ? ax2 ? k
y ? a?x ? h?
2

x ? 0 ( y 轴)
x ? 0 ( y 轴)

当 a ? 0时 开口向下

x?h
x?h
x?? b 2a
(?

y ? a?x ? h? ? k
2

y ? ax2 ? bx ? c

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

知识点四、二次函数的性质
a ? 0) 中, a、b、c 的含义: 1、二次函数 y ? ax ? bx ? c(a, b, c是常数,
2

a 表示开口方向: a >0 时,抛物线开口向上 a <0 时,抛物线开口向下

3

b 与对称轴有关:对称轴为 x=

?

b 2a

c 表示抛物线与 y 轴的交点坐标: (0, c )
2、二次函数的性质 3、二次函数与一元二次方程的关系

4

二次函数 函数 a>0 y y

y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数,a ? 0)
a<0

图像

0

x

0

x

(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;

(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;

?
(2)对称轴是 x=

b b b b ? ? ? 2 a ,顶点坐标是( 2 a , (2)对称轴是 x= 2 a ,顶点坐标是( 2 a ,

4ac ? b 2 4a ) ;
?
(3)在对称轴的左侧,即当 x< 性质

4ac ? b 2 4a ) ;
b b ? 2 a 时,y 随 x (3)在对称轴的左侧,即当 x< 2 a 时,y 随 x
的增大而增大;在对称轴的右侧,即当 x>

的增大而减小;在对称轴的右侧,即当 x>

?

b 2 a 时,y 随 x 的增大而增大,简记左减右

?

b 2 a 时,y 随 x 的增大而减小,简记左增

增;

右减;

?
(4)抛物线有最低点,当 x=

b b ? 2 a 时,y 有最小 (4)抛物线有最高点,当 x= 2 a 时,y 有最

值,

y 最小值 ?

4ac ? b 2 4a

大值,

y 最大值 ?

4ac ? b 2 4a

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的 ?

? b 2 ? 4ac ,在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。

当 ? >0 时,图像与 x 轴有两个交点; 当 ? =0 时,图像与 x 轴有一个交点; 当 ? <0 时,图像与 x 轴没有交点。
5

知识点五、图象的平移
平移步骤:
y ? a ? x ? h? ? k ? h ,k ? ; ⑴将抛物线解析式转化成顶点式 ,确定其顶点坐标 2 ? h ,k ? 处,具体平移方法如下: ⑵保持抛物线 y ? ax 的形状不变,将其顶点平移到
2

y=ax2

向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位

y=ax 2+k

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】 平移|k |个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

平移规律:在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”

6

二次函数的概念和图像专题
思考:二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示 你能从图像中判断出那些内容

梳理填空
(1) (2) (3) (4) 当 a___0 时,开口向上,当 a____0 时,开口向下。 当 a,b _____时,对称轴在 y 轴左侧,当 a ,b______时,对称轴在y轴右侧。 当 c_______时 抛物线与 y 轴正半轴相交,当 c<0 时,抛物线____________ 当 b2-4ac____0 时, 抛物线与 x 轴有两个不同交点, 这时交点横坐标就是方程_______ 2 的根,当 b -4ac____0 时,抛物线与 x 轴有一个交点,这时方程 ax2+bx+c=0 的解是 x=______,当 b2-4ac____0 时,抛物线与 x 轴没有交点. (5) 方程 ax2+bx+c=m 的根可以看成抛物线 y=ax2+bx+c 与直线_______交点的横坐标, 也 2 可以看成抛物线 y=ax +bx 与直线_______的交点的横坐标。

4ac - b 2 (6) 2a+b, 2a-b, a+b+c , 等类型怎么判断正负? 4a

类型一 二次函数系数与图像的关系
1、已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:①b2﹣4ac>0 ②a >0 ③b>0 ④c>0 ⑤9a+3b+c<0,则其中结论正确的序号数是( ) 2、如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交,其顶点坐标为( ) ,下列 )

结论: ①ac<0; ②a+b=0; ③4ac﹣b2=4a; ④a+b+c<0. 其中正确结论的序号数是 ( A.1 B.2 C.3 D.4

(1 题图) (2 题图) (3 题图) (4 题图) 2 3.如图是二次函数 y=ax +bx+c 图象的一部分,图象过点 A(﹣3,0) ,对称轴为 x=﹣1.给 2 出四个结论:①b >4ac;②2a+b=0;③a﹣b+c=0;④5a<b.其中正确结论是( ) 2 2 4 已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示, 给出以下结论: ①a+b+c<0; ②b ﹣4ac>0; ③b>0;④4a﹣2b+c<0;⑤c﹣a>1,其中正确的结论有 _________ . 5.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(﹣2,0) 、 (x1,0) ,且 1<x1<2,与 y 轴的正半轴的交点在(0,2)的下方.下列结论:①4a﹣2b+c=0;②a﹣b+c<0;③2a+c >0;④2a﹣b+1>0.其中正确结论的是( ) .

7

类型二:二次函数与一次函数、反比例函数在同一图像问题
1、在同一坐标系中一次函数 y=ax+b 和二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可能为( y y y ) y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

2 2 二次函数 y=ax +bx+c 的图像如图所示, 反比列函数 y ?

a 与正比列函数 y ? bx 在同一坐 x

标系内的大致图像是( y O x A

) y y y y

O

x

O B

x

O C

x D

O

x

3.已知二次函数 y=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图象如下面右图所示,则函数 y=ax+b 的 图象可能正确的是 1 O (A ) 第 3 题图 1 x -1 O (B) y y 1 x -1 O -1 (C) y x O -1 (D) y 1 x

类型三:用图像解决二次函数与一元二次方程关系的有关问题
二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图 根据图像解答下列问题: (1) 写出方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两根 (2) 写出不等式 ax
2

y 2

? bx ? c ? 0 的解集

(3) 写出 y 随 x 的增大而增大的自变量 x 的取值范围 (4) 如方程 ax
2

O

1

2

3

x

? bx ? c ? k 有两个不相等的实数根,

求 k 的取值范围 (5)如方程 无实数根,
8

求 k 的取值范围

二次函数的解析式专题
一、填空题 1.二次函数解析式通常有三种形式:①一般式________________;②顶点式________ __________;③双根式__________________________(b2-4ac≥0). 2.若二次函数 y=x2-2x+a2-1 的图象经过点(1,0),则 a 的值为______. 3. 已知抛物线的对称轴为直线 x=2, 与 x 轴的一个交点为 (? 个交点为______. 二、解答题 4.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,求: (1)对称轴方程____________; (2)函数解析式____________; (3)当 x______时,y 随 x 增大而减小; (4)由图象回答: 当 y>0 时,x 的取值范围______; 当 y=0 时,x=______; 当 y<0 时,x 的取值范围______. 5.抛物线 y=ax2+bx+c 过(0,4),(1,3),(-1,4)三点,求抛物线的解析式.

3 , 0), 则它与 x 轴的另一 2

6.抛物线 y=ax2+bx+c 过(-3,0),(1,0)两点,与 y 轴的交点为(0,4),求抛物线的 解析式. 7.抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为(2,4),且过(1,2)点,求抛物线的解析式.

8.二次函数 y=x2+bx+c 的图象过点 A(-2,5),且当 x=2 时,y=-3,求这个二次 函数的解析式,并判断点 B(0,3)是否在这个函数的图象上.

9.抛物线 y=ax2+bx+c 经过(0,0),(12,0)两点,其顶点的纵坐标是 3,求这个抛物 线的解析式. 10.抛物线过(-1,-1)点,它的对称轴是直线 x+2=0,且在 x 轴上截得线段的长度
9

为 2 2 , 求抛物线的解析式.

11.抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为(2,4),且过原点,求抛物线的解析式.

12.把抛物线 y=(x-1)2 沿 y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点 Q(3,0),求平移 后的抛物线的解析式.

13.二次函数 y=ax2+bx+c 的最大值等于-3a,且它的图象经过(-1,-2),(1,6) 两点,求二次函数的解析式.

14.已知函数 y1=ax2+bx+c,它的顶点坐标为(-3,-2),y1 与 y2=2x+m 交于点(1, 6),求 y1,y2 的函数解析式.

15.如图,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点为 A,B(B 在 A 左侧),与 y 轴的交点为 C,OA=OC.下列关系式中,正确的是( A.ac+1=b B.ab+1=c C.bc+1=a D. )

a ?1 ? c b

16.如图,在直角坐标系中,Rt△AOB 的顶点坐标分别为 A(0,2),O(0,0),B(4,0), 把△AOB 绕 O 点按逆时针方向旋转 90°得到△COD. (1)求 C,D 两点的坐标; (2)求经过 C,D,B 三点的抛物线的解析式; (3)设(2)中抛物线的顶点为 P, AB 的中点为 M(2, 1), 试判断△PMB 是钝角三角形, 直角三角形还是锐角三角形,并说明理由.

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二次函数的最值专题

一、二次函数求最值(一般范围类)
1.当 ?2 ? x ? 2 时,求函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的最大值和最小值.

2.当 1 ? x ? 2 时,求函数 y ? ? x2 ? x ? 1 的最大值和最小值.

3.当 x ? 0 时,求函数 y ? ? x(2 ? x) 的取值范围.

4.当 t ? x ? t ? 1 时,求函数 y ?

1 2 5 x ? x ? 的最小值(其中 t 为常数). 2 2

二、二次函数求最值(经济类问题)
例 5、某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为 100 元,售价为 130 元,每星期可卖出 80 件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价 5 元,每星期可多卖出 20 件. (1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元? (2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是多 少?

变式练习:某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出,平均每天能售出 8 台,为了配 合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售 价每降低 50 元,平均每天就能多售出 4 台. (1)假设每台冰箱降价 x 元,商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元,请写出 y 与 x 之间 的函数表达式; (不要求写自变量的取值范围)
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(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰 箱应降价多少元? (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱 的利润最高?最高利润是多少?

三、二次函数求最值(面积最值问题)
例 7:如图,在△ABC 中,BC=24CM,高 AD=16CM,矩形 EFGH 的一边在 BC 边上,另二顶点在
AB、AC 边上,设矩形上 EF=XCM,矩形 EFGH 的面积为 ycm?, 求 X 为何值时,有最大值?最 大值是多少?

例 6、在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点 P 从点 A 出 发,沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动,同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动,如果 P、Q 两点同时出发,分别到 达 B、C 两点后就停止移动. (1)运动第 t 秒时,△PBQ 的面积 y(cm?)是多少? (2)此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm?),写出 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量的 取值范围. (3)t 为何值时 s 最小,最小值时多少?

例 8:在矩形 ABCD 中,BD=20,AD>AB,设∠ABD=α ,已知 sin α 是方程 25x?-35x+12=0 的一个实数根,点 E、F 分别是 BC、DC 上的点,EC+CF=8,设 BE=x,
△AEF 的面积等于 y. (1)求出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当 E、F 两点在什么位置时,y 有最小值?并求出这个最小值。
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练习题: 1(经济问题).某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成 本单价,且获利不得高于 45%,经试销发现,销售量 y (件)与销售单价 x (元)符合一次 函数 y ? kx ? b ,且 x ? 65 时, y ? 55 ; x ? 75 时, y ? 45 . (1)求一次函数 y ? kx ? b 的表达式; (2)若该商场获得利润为 W 元,试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式;销售单价定 为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? (3)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 x 的范围.

2 (面积问题) .已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE (如图) , 其中 AF=2, BF=1.试在 AB 上求一点 P,使矩形 PNDM 有最大面积.

3、 (2011 贵州贵阳)如图所示,二次函数 y ? x ? 2 x ? m 的图象与 x 轴的
2

一个交点为 A(3,0) ,另一个交点为 B,且与 y 轴交于点 C. (1)求 m 的值; (2)求点 B 的坐标; ( 3 )该二次函数图象上有一点 D ( x , y ) (其中 x > 0 , y > 0 ) ,使

S ?ABD ? S ?ABC ,求点 D 的坐标.

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4、 (2011 贵州安顺)如图,抛物线 y ? 点,且 A(一 1,0) .

1 2 x ? bx ? 2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 2

⑴求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; ⑵判断△ABC的形状,证明你的结论; ⑶点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM + DM 的值最小时,求m的值.

第 2 题图

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图象的平移专题 一、选择题
1. 抛物线 y=

1 2 1 C.y= 2
A.y=

1 2 x 向左平移 3 个单位, 再向下平移 2 个单位后, 所得的抛物线表达式是 ( 2 1 2 2 (x+3) -2 B.y= (x-3) +2 2 1 2 2 (x-3) -2 D.y= (x+3) +2 2
2



2.如图,点 A,B 的坐标分别为(1,4)和(4,4) ,抛物线 y=a(x-m) +n 的顶点在线 段 AB 上运动,与 x 轴交于 C、D 两点(C 在 D 的左侧) ,点 C 的横坐标最小值为-3,则点 D 的横坐标最大值为( A.-3 C.5 B.1 D.8 )

3.已知 y=2x 的图象是抛物线,若抛物线不动,把 x 轴、y 轴分别向上、向右平移 2 个单 位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是( A.y=2(x-2) +2B.y=2(x+2) -2 C.y=2(x-2) -2 D.y=2(x+2) +2 4.在平面直角坐标系中,将抛物线 y ? x 2 ? 2 x ? 3 绕着它与 y 轴的交点旋转 180°,所得 抛物线的解析式是(
2 2 2 2 2

2




2

A.y=-(x+1) +2B.y=-(x-1) +4 C.y=-(x-1) +2
2

D.y=-(x+1) +4

2

二、解答题
5 .把抛物线 y = ax ? bx ? c 先向右平移 2 个单位,再向下平移 5 个单位得到抛物线
2

y ? x 2 ? 2 x ? 2 ,求 a 、 b 、 c 的值。

2 6.已知一个二次函数的图象是由抛物线 y ? 2 x 沿 y 轴方向平移得到的,当 x ? ?1 时,

15

y ? 4。
(1)求此抛物线的解析式; (2)当 x 为何值时, y 随 x 的增大而减少。

7.已 知 二 次 函 数 y = - x - 4x - 5 。 ( 1) 指 出 这 个 二 次 函 数 图 象 的 开 口 方 向 、 对 称 轴 和 顶 点 坐 标 ; ( 2) 把 这 个 二 次 函 数 的 图 象 上 、 下 平 移 , 使 其 顶 点 恰 好 落 在 正 比 例 函 数 y= -x 的图象上,求此时二次函数的解析式;

2

8.拋物线 y1=ax +6x—8 与直线 y2=—3x 相交于 A(1,m) , (1)求 y1 的解析式; (2)拋物线 y1 经过怎样的平移可以就可以得到拋物线 y=ax 。
2

2

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真题综合训练
图象的平移专题............................................................................................................................. 15 一、选择题..................................................................................................................................... 15 二、解答题..................................................................................................................................... 15

10、 (2008?陕西)已知二次函数 y ? ax ? bx ? c (其中 a>0,b>0,c<0) ,关于这个二次 函数的图象有如下说法: ①图象的开口一定向上; ②图象的顶点一定在第四象限; ③图象与 x 轴的交点至少有一个在 y 轴的右侧。 以上说法正确的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3 24.(2008?陕西)如图,矩形 ABCD 的长、宽分别为

3 3 和 1,且 OB=1,点 E( ,2) ,连 2 2

接 AE、ED。 (1)求经过 A、E、D 三点的抛物线的表达式; (2)若以原点为位似中心,将五边形 AEDCB 放大,使放 大后的五边形的边长是原五边形对应边长的 3 倍,请在下图 网格中画出放大后的五边形 A′E′D′C′B′; (3)经过 A′、E′、D′三点的抛物线能否由(1)中的 抛物线平移得到?请说明理由。

10. (2009?陕西)根据下表中的二次函数 y ? ax ? bx ? c 的自变量 x 与函数 y 的对应值,
2

可判断该二次函数的图象与 x 轴(

) .

x
y

? ?

?1 ?1

0 7 ? 4

1
?2

2 7 ? 4

? ?

A.只有一个交点 C.有两个交点,且它们均在 y 轴同侧 24. (2009?陕西) (本题满分 10 分)

B.有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧 D.无交点

, 2) . 如图,在平面直角坐标系中, OB ? OA ,且 OB ? 2OA ,点 A 的坐标是 (?1
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(1)求点 B 的坐标; (2)求过点 A、O、B 的抛物线的表达式; (3)连接 AB ,在(2)中的抛物线上求出点 P ,使得 S△ ABP ? S△ ABO .

10. (2010?陕西) 将抛物线 C:y ? x 2 ? 3x ? 1 , 将抛物线 C 平移到 C' 。 若两条抛物线 C,C' 关于直线 x=1 对称,则下列平移方法中正确的是( A.将抛物线 C 向右平移 )

5 个单位 2

B.将抛物线 C 向右平移 3 个单位

C.将抛物线 C 向右平移 5 个单位 D.将抛物线 C 向右平移 6 个单位 24.(2010?陕西)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 A(-1,0),B(3,0) C(0,-1)三点。 (1)求该抛物线的表达式; (2)点 Q 在 y 轴上,点 P 在抛物线上,要使 Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行 四边形求所有满足条件点 P 的坐标。

10、 (2011?陕西)若二次函数 y=x ﹣6x+c 的图象过 A(﹣1,y1) ,B(2,y2) ,C( 3 ?
2

2,

y3) ,则 y1,y2,y3 的大小关系是( A、y1>y2>y3 B、y1>y3>y2 C、y2>y1>y3 D、y3>y1>y2 24、 (2011?陕西)如图,二次函数 y ? 1,m) ,B(n,n) (1)求 A、B 的坐标;



2 2 1 x ? x 的图象经过△AOB 的三个顶点,其中 A(﹣ 3 3

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(2)在坐标平面上找点 C,使以 A、O、B、C 为顶点的四边形是平行四边形. ①这样的点 C 有几个? ②能否将抛物线 y ?

2 2 1 x ? x 平移后经过 A、C 两点,若能,求出平 3 3

移后经过 A、C 两点的一条抛物线的解析式;若不能,说明理由.

10. (2012?陕西)在平面直角坐标系中,将抛物线 y ? x ? x ? 6 向上(下)或向左(右)平
2

移了 m 个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则 m 的最小值为()A.1 C.3 D. 6

B. 2

24. (2012?陕西) (本题满分 10 分)如果一条抛物线 y=ax2 +bx+c ? a ? 0? 与 x 轴有两个交 点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物 线的“抛物线三角形”. (1)“抛物线三角形”一定是三角形; (2) 若抛 物线 y=-x2 +bx ? b>0? 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形, 求 b 的值; (3)如图,△ OAB 是抛物线 y=-x2 +bx ' ?b'>0? 的“抛物线三角形”, 是 否 存 在 以 原 点 O 为 对 称 中 心 的 矩 形 ABCD ? 若 存 在 , 求 出 过 O、C、D 三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由.

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10、 (2013?陕西)已知两点 A ? ?5,y1 ? B ? 3, y2 ? 均在抛物线 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 上,点 C ? x0 , y0 ? 是该抛物线的顶点.若 y1 ? y2 ? y0 ,则 x0 的取值范围是( )A. x0 ? ?5 B.

x0 ? ?1 C.

?5 ? x0 ? ?1 D. ?2 ? x0 ? 3

24、 (2013?陕西) (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系中, 一个二次函数的图像经过 A (1,0) B(3,0)两点. (1)写出这个二次函数图像的对称轴; (2)设这个二次函数图像的顶点为 D,与 y 轴交与点 C,它的对称轴与 x 轴交与点 E,连接 AC、DE 和 DB.当△AOC 与△DEB 相似时,求这个二次函数的表达式. [提示:如果一个二次函数的图像与 x 轴的交点为 A ( x1 ,0) B ( x2 ,0) ,那么它的表达式可表示 为 y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) .]

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