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6直线与双曲线的位置关系


2.3.2双曲线的简 单几何性质(2)
直线与双曲线的位置关系
高二数学 选修2-1

第二章

圆锥曲线与方程

图形

A1

.
2 2

y
B2 O

F1

.

F2

A2

x

. .
B2

y

F1(-c,0) B1 F2(c,0)
方程 范围

F1(-c,0)
2

F1

A1 A2
O

F2

B1
2

x F2(c,0)

x y ? ? 1 ( a ? b ? 0) a b
2 2

x y ? ? 1 (a ? 0 ,b ? 0 ) a b
2 2

?a? x?a

?b ? y ?b

x ? a 或 x ? ? a, y ? R

对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率 渐进线
A1(- a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

c e? a

(0 ? e ? 1)

c e? a

(e ? 1)



b y?? x a

B2

. .
B2 A2
2 2 2 2

图形

. .
F1(-c,0)
F1

y

y
F2

A1 A2
O

F2(0,c)
B1

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

x F1(0,-c)

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

x y ? ? 1 ( a ? b ? 0) a b
2 2 2 2

y x ? ? 1 (a ? 0 ,b ? 0 ) a b

x ? a 或 x ? ? a, y ? R

y ? a 或 y ? ? a, x ? R

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c e? a

(e ? 1)

b y?? x a

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

1、“共渐近线”的双曲线

x2 y 2 x2 y2 与 2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线系方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线;λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。

2、“共焦点”的双曲线
x2 y 2 (1)与椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)有共同焦点的双曲线方程表

示为

x2 y2 2 2 ? ? 1( b ? ? ? a ). 2 2 a ?? ? ?b

x2 y 2 (2)与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)有共同焦点的双曲线方 a b 2 2 x y 程表示为 2 2

a ??
2

?

b ??
2

? 1(?b ? ? ? a )

复习练习:
x2 y 2 1、求与椭圆 ? ? 1有公共焦点,且离心率 49 24 5 e ? 的双曲线方程。 4
x2 y2 ? ? 1 有共同焦点,渐近线方程为 2. 求与椭圆 16 8

x ? 3y ? 0 的双曲线方程。
x y 3、求以椭圆 ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆的 8 5 顶点为焦点的双曲线的方程。
2 2

一、第二定义
引例:点 M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线 2 c a x ? 的距离比是常数 (c>a>0),求点M的轨迹.
c
a

解: 设点M(x,y)到l的距离为d,则
| MF | c ? d a



( x ? c) ? y
2

M

yl
O

2

a c 点M的轨迹也包括双 x?

2

c ? a

M F x

曲线的左支 ? a ( x ? c )2 ? y 2 ?| a 2 ? cx | .
? a 2 ( x 2 ? 2cx ? c 2 ? y 2 ) ? a4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2

化简得 (c2-a2)x2- a2y2=a2 (c2 - a2) 就可化为: b2x2-a2y2=a2b2 即

设c2-a2 =b2, (a>0,b>0)

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.

双曲线的第二定义
平面内,若定点F不在定直线l上,则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是 双曲线。 定点F是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线 的准线,常数e是双曲线的离心率. y x2 y2 对于双曲线 2 ? 2 ? 1 类似于椭圆 l′ l a b 2 a 是相应于右焦点F(c, 0)的 x?
M

c 右准线 a2 是相应于左焦点F′(-c, 0) x?? c 的左准线

F′
2

o

x F

点M到左焦点与左准线的距 离之比也满足第二定义.

2 a a x? x?? c c

相应于上焦点 F(0, c)的是上准线 点,焦点在 y轴上 的双曲线的准线 a2 y? 方程是怎样的?
c

想一想:中心在原

y F o
a2 y? c x

相应于下焦点F′(0, -c)的是下准线
a2 y?? c

a2 y?? c

F′

例2、点M(x,y)与定点F(5,0),的距离 16 x? 和它到定直线 l : 的距离的比是常 5 5 数 , 求点M的轨迹. 4
y

l
d

0

复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法

相离
判断方法
(1)联立方程组 (2)消去一个未知数 (3)

相切

相交

?<0

?=0

?>0

1) 位置关系种类
Y

O

X

种类:相离;相切;相交(0个交点,一个交点, 一个交点或两个交点)

2)位置关系与交点个数
Y

相交:两个交点
相切:一个交点
O X

相离:0个交点

Y

相交:一个交点

O

X

3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

?y = kx + m ? 2 消去y,得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 ? x y2 ? 2 - 2 =1 ?a b

1.二次项系数为0时,L与双曲线的渐近线平行 或重合。

重合:无交点;平行:有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交(两个交点) 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离

注:
①相交两点: △>0 同侧:x1 ? x2>0 异侧: x1 ? x2 <0 一点: 直线与渐进线平行 △=0

②相切一点:

③相 离: △<0 特别注意直线与双曲线的位置关系中: 一解不一定相切,相交不一定两解,两解 不一定同支

直线与圆锥曲线相交所产生的问题:
一、交点——交点个数 二、弦长——弦长公式 三、弦的中点的问题——点差法 四、对称与垂直问题 五、综合问题

一、交点——交点个数
例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k< ? 5 或k> 5 ;
且k ? ?1 (2)有两个公共点; (2) ? 5 <k< 5 ;
2 2 2 2

(3)只有一个公共点; (3)k=±1,或k= ± 5 ;
2

(4)交于异支两点; (4)-1<k<1 ;

5 (5)与左支交于两点. ? k ? ?1 2

一、交点——交点个数
x y ? ? 1只有 一个 1.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______ 条. ( 1, 1)

2 2

变题:将点P(1,1)改为

O

X

1.A(3,4)
2.B(3,0)

3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.

一、交点——交点个数
2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点 ??, 0? ? ?1 , ? ?? (异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是? _________

x2 y2 ? ?1 交于两点的直线斜率的 3.过原点与双曲线 ? 4 3 ?3 ? 3 ? ? 取值范围是 ? ??, ? , ? ?? ???
? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ?

若不论K为何值,直线 y ? k ? x ? 2? ? b 与曲线

x ? y ? 1 总有公共点,则b的取值范围是(
2 2

B)

? , C ? ?2, 2 ? , D ? ?2, 2? A. ? 3, 3 , B. ? ? 3, 3 ? ?

?

?

(2009· 福建)已知双曲线

x2
12

- =1 的右焦点为 F, 若过点 F 的直线 4

y2

与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围 (
? 3 3 3 3? ? )A.(- , ) B.(- 3, 3)C.?- , ? [- 3, 3] ?D. 3 3 3 3 ? ?

x2 y2 3 又由双曲线方程 - =1,有双曲线的渐近线方程为 y=± x, 12 4 3
3 3 ∴有- ≤k≤ . 3 3

? 答案:C

二、弦长问题
1.经过双曲线x ? y ? 1的左焦点F1作倾斜角为
2 2

?
3

的弦AB。求 AB

设l的方程为: y ? 3 x? 2
?y ? 3 x ? 2 2 由? 2 ? 2 x ? 6 2x ? 7 ? 0 2 ? x ? y ?1

?

?

?

?

? AB ? ?

?1 ? k ? ? x
2

1

? x2 ? ? 4 x1 x2
2

7 4 3 2 ?4 ? 4 2
2

? ?

练习:
? x2 y2 ? 1 的左焦点 F1 作倾角为 1.过双曲线 ? 4 9 16

的直线与双曲线

192 交于 A、B 两点,则|AB|= 7 .
2.双曲线的两条渐进线方程为x ? 2 y ? 0 ,且截直线x ? y ? 3 ? 0
8 3 所得弦长为 ,则该双曲线的方程为( D ) 3 2 2 2 x2 y y x 2 2 ? 1 (C) x 2 ? ? 1 (D) ? y 2 ? 1 (A) ? y ? 1 (B) x ? 2 4 2 4

三、弦的中点的问题——点差法
练习题 : 已知双曲线C : 2x - y = 2与点P ?1,2 ? .
2 2

?1? 求过点P ?1,2 ?的直线l的斜率k的取值范围,
使l与C有一个交点?两个交点?没有交点?

? 2 ? 是否存在过P的弦AB, 使AB的中点为P? ?3 ? 若Q ?1,1? , 试判断以点Q为中点的弦是否存在?
3 ?1? k ? ? 2 or k ? ; 2 ? 2 ? y=x+1;
3 k ? 且k ? ? 2 2 3 k? 2

? 3? no

3解 : 假设存在P(x1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 )为直线L上的两点, 且PQ的中点为A,则有 :
? 2 y12 ?1 ? x1 ? ? 2 ? 2 ? x 2 ? y2 ? 1 2 ? 2 ?

点差法

两式相减得: ( 2 x1 ? x2)(x1 ? x2) ? (y1 ? y2)(y1 ? y2)
y1 - y2 ∴ = 2,即k = 2 \ L方程为 : y - 1 = 2(x - 1) x1 - x2

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 又: 消去 y ,得: 2 x ? 4 x ? 3 ? 0, ? ? 0, 2 ? ? y ? 1 ? 2( x ? 1) ?
方程组无解,故满足条件的L不存在。

解 : 假设存在P(x1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 )为直线L上的两点, 且PQ的中点为A,则有 :

? y ? 1 ? k ( x ? 1) ? ? 2 y2 ?1 ?x ? 2 ?
? 2? k2 ? 0 ? 8 3 - 2k) ?0 ?? ? ( ? x ?x ?2 1 2 ?
无解,故满足条件的L不存在。

韦达定理

消y得 (2 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0

(2)、解:方法 1 假设存在这样的实数a,使得A(x1 , y1) , B( x2 , y2 )两点关于直线 1 1 y ? x对称则直线y ? ax ? 1与y ? x垂直,所以, a ? ?2 2 2 所以直线L的方程为:y ? ?2 x ? 1,那么由( 1)x1 ? x2 ? 4,即线段AB 的中点横坐标为: 2,纵坐标为y ? ?2 * 2 ? 1 ? ?3,中点(2, ? 3)不 1 在直线 y ? x上,所以这样的a 不存在。 2

本题涉及到直线的斜率 和中点问题,利用点差 法会更简单。 解:A(x1 , y1) , B( x2 , y2 )直线y ? ax ? 1与双曲线的两个交点,
2 2 ? 3 x ? y 1 ? 2 ?1 由题意a ? ?2, 线段AB中点为P(m,n), 那么有? 2 , 2 ? ?3x 2 ? y2 ? 1 两式做差得:3( x1 ? x2)(x1 +x y2)(y 2)=(y 1 ? 1 +y 2)

x1 +x 2 ? 2m, y 1 +y 2 ? 2n,

y y2 1 ? ? ?2 x1 ? x2

3 1 即:n=- m,又P(m,n)在 直线y= x上,那么 2 2 1 n= m,显然不符合上式, 所以这样的a不存在。 2

五、综合问题

x2 2 ? y ? 1(a ? 0) 1、设双曲线C: 2 与直线 l : x ? y ? 1 a 相交于两个不同的点A、B。
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围。
??? ? 5 ??? ? (2)设直线l与y轴的交点为P,且PA ? PB, 求a的值。 12

17 2a 所以 x 2 ? ? . 2 12 1? a 2 5 2 2a x2 ? ? . 2 12 1? a 2 2a 289 消去, x 2 , 得 ? ? 2 60 1? a 17 由a ? 0, 所以a ? 13

2

2.(2008· 天津卷)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点 是Fl(-3,0),一条渐近线方程是 5x ? 2 y ? 0 . (1)求双曲线C的方程; (2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同 的点M、N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的 三角形的面积为
81 ,求k的取值范围. 2

【分析】双曲线的方程是确定的,直线的方程是不定 的.利用MN的垂直平分线与坐标轴所围成的面积寻找k、 m的关系式,根据两者的约束条件"直线l与双曲线交于 不同的两点",确定k的取值范围.

解析
x2 y2 (1)设双曲线C的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). a b
a 2 ? b2 ? 9

由题意,得

b 5 ? a 2

解得

a2 ? 4 b2 ? 5

x2 y 2 所以双曲线C的方程为 ? ? 1. 4 5

(2)设直线l的方程为y ? kx ? m(k ? 0).
y ? kx ? m
联立

x y ? ?1 4 5

2

2

得(5 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4kmx ? 4m2 ? 20 ? 0.

因为直线l交双曲线于M、N不同的两点,

所以? ? (?8km)2 ? 4(5 ? 4k 2 )(4m2 ? 20) ? 0
即m 2 ? 4k 2 ? 5且k 2 ? 5 4

设M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ), MN的中点 ( x0 , y0 ),
x1 ? x2 ? 4km , 所以 x0 ? 5 ? 4k 2 2

y0 ? kx0 ? m

?

5m . 2 5 ? 4k

5m 1 4km 从而线段MN的垂直平分线的方程为y ? ? ? (x ? ) 2 2 5 ? 4k k 5 ? 4k

9km 9m 此直线与 x轴、 y轴的交点坐标分别为 ( ,0), (0, ), 2 2 5 ? 4k 5 ? 4k 2 2 1 9km 9m 81 ( 5 ? 4 k ) 2 2 由提设可得 | |?| |? 所以 m ? ? 4 k ? 5, 2 2 2 5 ? 4k 5 ? 4k 2 |k| 5 5 解得0 ? k ? 或k ? . 2 4
5 5 5 5 所以k ? (??,? ) ? (? ,0) ? (0, ) ? ( ,??). 4 2 2 4

【回顾与反思】本题主要考查直线与直线,直线与双曲线 的位置关系问题,考查学生的推理与运算能力,今后仍是 高考考查的重点.

2 y 2 例3 : 已知双曲线方程 : x - =1. 2 ?1? 过点A ? 0,1? 作直线l交双曲线于P1,P2两点,

1 若线段P1P2的中点在直线x = 上, 求直线l斜率k的取值范围, 2 ? 2? 过点B ? 0,b ? 作斜率为k ? k ≠ 0 ? 直线, 交双曲线于Q1,Q2两点, 1 若线段Q1Q2的中点在直线x = 上, 求b的取值范围. 2

l : kx+1? k ? 0 ?
? y=kx+1 ? 2 2 2 ? ? 2 ? k ? x ? 2kx ? 3 ? 0. ? 2 y ?1 ?x ? ? 22 ? ?2 ? k ? 0 ?? . 2 2 ? ?? ? 4k ? 12 ? 2 ? k ? ? 0

3<k< 3, k ? ? 2
1 ?k 1 ? ? x1 ? x2 ? = 2 ? . 2 k ?2 2

? k ? ?1 ? 3.

? 2 ? y=k ? x-1? ? b,
?1 ? Q1 ? x1 , y1 ? ,Q2 ? x2 , y2 ? , M ? , y0 ? . 2 ? ? 2 ? 2 y1 =1 ?1? ? x1 2 ?1? ? ? 2 ? ,? ? ? 3?? 4 ?? 5?? ? ,? ? ? 2 y 22 1 =1 ? 2? 1 ? k ? ? ?k ? 2b ? ? 0 ?x2 ? 3? ? 4? ? 5?
2

2 ? ? 则 ? x1 + x 2 =1 ? ? y1 + y 2 = -k + 2b ? y1 - y 2 =k ? ? x1 - x 2 ? ?

? k 2 ? 2bk ? 2 ? 0
? = ? 2b ? ? 8 ? 0
2

?b ? ? 2 ? b ? 2

x y ? ? 1上的一点P与左、右 4、由双曲线 9 4 两焦点 F1、F2构成 ?PF1 F2 ,求 ?PF1 F2的内切圆与
边 F1F2 的切点坐标。
说明:双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形,其中 | PF | PF2 |和 | F1F2 | 1 |、 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题,要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。

2

2

练习:
直线m : y = kx +1和双曲线x 2 - y 2 =1的左支交于A,B 两点, 直线l过点P ? -2,0 ? 和线段AB的中点.

?1? 求k的取值范围. ? 2? 是否存在k值, 使l在y轴上的截距为1?若存在, 求出k的值;
若不存在, 说明理由.

?1?1 ? k ? 2; ? 2 ? k bu cun zai

1 .直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法;
2. 中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标,

利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算,
使问题获解,但须注意检验直线与双曲线是否相交。

3.涉及双曲线的参数范围问题,求解的办法是利用问
题的存在性,如直线与双曲线相交时;或是运用判别

式大于零列不等式求解。

作业:
1.直线l : y = kx +1与双曲线C : 2x 2 - y 2 =1右支交于不同的两点A,B

?1? 求实数k的取值范围; ? 2? 是否存在实数k, 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右
焦点F?若存在, 求出k的值; 若不存在, 说明理由. 2.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点且互相垂直, 又知C的一个焦点与点A 1, 2 -1 关于直线y = x -1对称.

?

?

?1? 求双曲线C的方程.
?2 ? 2 是否存在直线 y = kx + b 与双曲线 C 交于 P,Q 两点 , 使 PQ 恰被点 ? ? ? ,1? 平分? ?3 ? ?3? 设直线y = mx +1与双曲线C的右支交于B,C两点, 另一直线l经过M ?-2,0 ? 及CB的中点, 求直线l在y轴上的截距t的取值范围.


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