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qy4908vip:2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)文数答案解析(正式版)(解析版)

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一、选择题 1.设 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ??1 ? 2i ? ? ( (A)3+3i 【答案】C (B)-1+3i (3)3+i ) (D)-1+i

考点:复数的运算. 2.设全集 U ? ?1 ,,,,, 2 3 4 5 6? , A ? ?1 , 2? , B ? ?2,, 3 4? ,则 A (A) ?1 ,,, 2 5 6? 【答案】B 【解析】 试题分析:∵ CU B ? ? 1,5,6? 考点:集合的运算.
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

?CU B? ? (

)

(B) ?1?

(C) ?2?

(D) ?1 ,,, 2 3 4?

∴A

?CU B? ? ?1?
)

∴选 B

3. 设 p:x<3,q:-1<x< 3,则 p 是 q 成立的( (A)充分必要条件 (C)必要不充分条件 【答案】C 【解析】

(B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

试题分析:∵ p : x ? 3 , q : ?1 ? x ? 3 ∴ q ? p ,但 p ? ? q ,∴ p 是 q 成立的必要不充分条件,故选 C. 考点:充分必要条件的判断. 4.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( (A)y=lnx 【答案】D (B) y ? x ? 1
2

) (C)y=sinx (D)y=cosx

1

考点:1.函数的奇偶性;2.零点.

? x? y ?0 ? 5.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z=-2x+y 的最大值是( ? y ?1 ?
(A)-1 【答案】A 【解析】 试题分析:根据题意作 出约束条件确定的可行域,如下图: (B)-2 (C)-5 (D)1

)

令 z ? ?2 x ? y ? y ? ?2 x ? z ,可知在图中 A(1,1) 处, z ? ?2 x ? y 取到最大值-1,故选 A. 考点:简单的线性规划. 6.下列双曲线中,渐近线方程为 y ? ?2 x 的是( )

(A) x ?
2

y2 ?1 4

(B)

x2 ? y2 ? 1 4
2

(C) x ?
2

y2 ?1 2

(D)

x2 ? y2 ? 1 2

【答案】A 【解析】 试题分析:由双曲线的渐进线的公式可行选项 A 的渐进线方程为 y ? ?2 x ,故选 A. 考点:渐近线方程. 7.执行如图所示的程序框图(算法流程图) ,输出的 n 为( )

(A)3 【答案】B

(B)4

(C)5

(D)6

考点:程序框图. 8.直线 3x+4y=b 与圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 相切,则 b=(
2 2

) (D)2 或 12

(A)-2 或 12 【答案】D 【解析】

(B)2 或-12

(C)-2 或-12

试题分析:∵直线 3x ? 4 y ? b 与圆心为(1,1),半径为 1 的圆相切,∴

3? 4?b 32 ? 42

=1 ? b ? 2 或 12,

3

故选 D. 考点:1.直线与圆的位置关系;2.点到直线的距离公式. 9.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )

(A) 1 ? 3 【答案】C

(B) 1 ? 2 2

(C) 2 ? 3

(D) 2 2

考点:1.几何体的三视图;2.锥体的体积公式.

10.函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d 的图像如图所示,则下列结论成立的是(
3 2

)

4

(A)a>0,b<0,c>0,d>0 (B)a>0,b<0,c<0,d>0 (C)a<0,b<0,c<0,d>0 (D)a>0,b>0,c>0,d<0 【答案】A

考点:函数图象与性质.

[来源:学科网]

二.填空题 (11) lg

5 1 ? 2 lg 2 ? ( ) ?1 ? 2 2



【答案】-1 【解析】 试题分 析:原式= lg 5 ? lg 2 ? 2 lg? 2 ? lg 5 ? lg 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? ?1 考点:1.指数幂运算;2.对数运 算.
? ? (12)在 ?ABC 中, AB ? 6 , ?A ? 75 , ?B ? 45 ,则 AC ?



【答案】2 【解析】
5

试题分析:由正弦定理可知: 考点:正弦定理.

AB AC 6 AC ? ? ? ? AC ? 2 ? ? ? ? sin[180 ? (75 ? 45 )] sin 45 sin 60 sin 45?
?

(13)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? an ?1 ? 【答案】27

1 (n ? 2) ,则数列 {an } 的前 9 项和等于 2



考点:1.等差数列的定义;2.等差数列的前 n 项和. ( 14 )在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y ? 2a 与函数 y ?| x ? a | ?1 的图像只有一个交点,则 a 的值 为 【答案】 ? 【解析】 试题分析:在同一直角坐株系内, 作出 y ? 2a与y ? x ? a ? 1 的大致图像,如下图:由题意,可知 。

1 2

2a ? ?1 ? a ? ?

1 2

考点:函数与方程. (15) ?ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a 、b 满足 AB ? 2 a , AC ? 2 a ? b ,则下列结论中正 确的是 。 (写出所有正确结论得序号)

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ① a 为单位向量;② b 为单位向量;③ a ? b ;④ b // BC ;⑤ (4a ? b ) ? BC 。

【答案】①④⑤ 【解析】 试题分析:∵等边三角形 ABC 的边长为 2, AB ? 2a ∴ AB ∵ AC ? AB ? BC ? 2a ? BC

?

=2 a =2 ? a ? 1 ,故①正确;

∴ BC ? b ? b ? 2 ,故②错误,④正确;由于 AB ? 2a, BC ? b ? a与b

6

? 夹角为 120 ,故 ③错误;又∵ (4a ? b) ? BC ? (4a ? b) ? b ? 4a ? b ? b ? 4 ? 1 ? 2 ? (? ) ? 4 ? 0

2

1 2

∴ (4a ? b) ? BC ,故⑤正确

因此,正确的编号是①④⑤.

考点:1.平面向量的基本概念;2.平面向量的性质.

三.解答题 16. 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? cos 2 x (1)求 f ( x ) 最 小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

【答案】 (1) ? ; (2)最大值为 1 ? 2 ,最小值为 0

考点:1.三角函数的性质;2.三角函数的最值.

7

17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门的 评分,绘制频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据分组区间为 [40,50],[50,60], ,[80,90],[90,100] (1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在 [40,60] 的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在 [40,50] 的概率.

【答案】 (1)0.00 6(2)

2 1 (3) 5 10

(Ⅲ)由频率分布直方图可知:在[40,50)内的人数为 0.004×40×50=2(人)

8

在[50,60)内的人数为 0.006×10×50=3(人) 设[40,50)内的两人分别为 a1 , a2 ;[50,60)内的三人为 A 1, A2 , A 3 ,则从[40,60)的受伤职工中随机抽取 2 人, 基本事件有 ( a1 , a2 ) , ( a1 , A1 ) , ( a1 , A2 ) , ( a1 , A3 ) , ( a2 , A1 ) , ( a2 , A2 ) , ( a2 , A3 ) , (A 1 , A2 ( A2 , A3 )共 10 种;其中 2 人评分都在[40,50)内的概率为 考点: 1.频率分布直方图;2.古典概型. 18. 已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ? ) , ( A1 , A3 ) ,

1 . 10

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 Sn Sn ?1

【答案】 (1) an ? 2n?1 (2)

2n ?1 ? 2 2n ?1 ? 1

9

=1 ?

1 2n ?1 ? 1

?

2n ?1 ? 2 . 2n ?1 ? 1

[来源:学&科&网]

考点:1.等比数列的性质;2.裂项相消法求和. 19. 如图,三棱锥 P-ABC 中,PA ? 平面 ABC, PA ? 1, AB ? 1, AC ? 2, ?BAC ? 60 .
o

(1)求三棱锥 P-ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC ? BM,并求

PM 的值。 MC

【答案】 (1) 【解析】

PM 1 3 ? (2) MC 3 6

试题分析: (Ⅰ)在 ?ABC 中 ? S?ABC =

3 .又 ∵PA⊥面 ABC ∴PA 是三棱锥 P-ABC 的高,根据锥体的体积 2

公式即可求出结果;(Ⅱ)过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N,过 N 作 NM∥PA 交 PC 于 M,根据线面垂直的判定定理 和性质定理,可知此 M 点即为所求,根据相似三角形的性质即可求出结果. 试题解析: (Ⅰ)在 ?ABC 中, AB =1, AC ? 2, ∠ BAC ? 60
?

1 1 3 . ? S?ABC = AB ? AC ? sin ?BAC = ? 1 ? 2 ? sin 60? ? 2 2 2
又∵PA⊥面 ABC ∴P A 是三棱锥 P-ABC 的高

[来源:Zxxk.Com]

10

∴ V三棱锥P - ABC= PA ? S?ABC ?

1 3

1 3 3 ? 1? ? 3 2 6

(Ⅱ)过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N,过 N 作 NM∥PA 交 PC 于 M,则

MN ? 面ABC? ? ? AC ? 面BMN ? ? AC ? BM ? ? MN ? AC ? ? AC ? 面ABC ? MN ? BN=N ? BM ? 面BMN ?

3 PM 1 1 CM CN 3 = ? 2= ? = . 此时 M 即为所找点,在 ?ABN 中,易知 AN = ? 2 PC AC MC 3 2 4

考点:1.锥体的体积公式;2.线面垂直的判定定理及性质定理. 20. 设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( a , 0) ,点 B 的坐标为(0, a 2 b2

b),点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA , 直线 OM 的斜率为 (1)求 E 的离心率 e;

5 。 10

[来源:学+科+网]

(2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,证明:MN ? AB。 【答案】 (1)

2 5 (2)详见解析. 5

11

1 b 5 b2 1 a2 ? c2 1 c2 4 2 5 ∴ 3 = ? 2 ? ? ? ? ? ?e? 2 2 2 a 5 a 5 a 5 5 a 10 3 a b (Ⅱ)由题意可知 N 点的坐标为( ,? ) 2 2 1 1 5b b? b 2 ? 6 ? 5b ∴ K MN ? 3 2 a a a a? 3 2 6 b K AB ? ?a
∴ K MN ? K AB ? ? ∴MN ⊥AB 考点:1 椭圆的离心率;2.直线与椭圆的位置关系. 21. 已知函数 f ( x) ?

5b 2 ? ?1 a2

ax (a ? 0, r ? 0) ( x ? r )2

(1)求 f ( x) 的定义域,并讨论 f ( x) 的单调性; (2)若

a ? 400 ,求 f ( x) 在 (0,??) 内的极值。 r

【答案】 (1)递增区间是(-r,r);递减区间为(-∞,-r)和(r,+∞) ; (2)极大值为 100;无极小值.

12

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

内的极大值为 f (r ) ? f ( x)在(0,??)

ar a ? ? 100 2 4r 4r

内无极小值; f ( x)在(0,??) 所以 f ( x)在( 内极大值为 100,无极小值. 0,??) 考点:1.导数在函数单调性中的应用;2.函数的极值.

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