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【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.2 第2课时 双曲线的简单几何性质课件 新人教A版选修1-1


成才之路 · 数学
人教A版 · 选修1-1 1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
圆锥曲线与方程

第二章
2.2 双曲线

第2课时 双曲线的简单几何性质

1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

自主预习学案

1.类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方程,讨论它的 几何性质.

2.能运用双曲线的性质解决一些简单的问题.

重点:双曲线的几何性质.

难点:双曲线性质的应用,渐近线的理解.

双曲线的几何性质思维导航
1.类比椭圆几何性质及其研究方法,结合图象,你能得到 x 2 y2 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的哪些几何性质?

新知导学 1.在双曲线方程中,以-x、-y代替x、y方程不变,因此 轴对称 图形;也是以原点为 双曲线是以x轴、y轴为对称轴的________ 中心对称 图形,这个对称中心叫做 __________ 双曲线 对称中心的 ___________ 的中心 . _________

顶点 , 2.双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的_____
x2 y2 (±a,0) ,这两个顶点之 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的顶点是________

2a 同时在另一 实轴 ,它的长等于_____. 间的线段叫做双曲线的_______
条对称轴上作点 B1(0,-b),B2(0,b),线段 B1B2 叫做双曲线

2b , 虚轴 , 实半轴长 的______ 它的长等于______ a、 b 分别是双曲线的__________ 虚半轴长 . 和__________
x2 y2 3. 设 P(x, y)是双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)上一点, 则 x≥a 或 x≤-a,y∈R.

思维导航
2 .椭圆中,椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度,在 双曲线中,双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征,怎 样描述双曲线的“张口”大小呢? 新知导学

4 .双曲线的半焦距 c 与实半轴长 a 的比值 e 叫做双曲线的
离心率 (1,+∞) .e越大,双曲线的张 __________ ,其取值范围是__________ 大 口越_______ .

思维导航 x2 y2 3.在双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右支上位于第一象限的 b 部分上任取一点 P(x,y),计算 P 到直线 y=ax 的距离 d,利用 P 在双曲线上及 x≥a, y>0 消去 y 可得 d 关于 x 的函数 d=f(x), 研究函数 f(x)的单调性,你发现了什么?

新知导学 x2 y2 5.双曲线 a2 -b2 =1(a>0 ,b>0) 位于第一象限部分上一点 b|x- x2-a2| b a2+b2 P(x,y)到直线 y=ax 的距离 d=____________ (用 x 表示),d 随

减小 . x 的增大而________
b 这表明,随着 x 的增大,点 P 到直线 y=ax 的距离越来越
2 2 x y b 小 ,称直线 y= x 为双曲线 2- 2=1 的一条__________ 渐近线 , ______ a a b b x2 y2 y=-ax 由对称性知,直线 __________ 也是双曲线 a2 - b2 = 1 的一条

渐近线 . __________

过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴
的平行线,它们围成一个矩形,其两条__________ 所在直线即 对角线 为双曲线的渐近线.

“渐近”两字的含义:当双曲线的各支向外延伸时,与这 逐渐 接近,接近的程度是无限的. 两条直线________
对圆锥曲线来说,渐近线是双曲线的特有性质,渐近线是 刻画双曲线的一个重要概念,画双曲线时应先画出它的渐近 线.

6 .对比是数学研究的重要方法,双曲线的几何性质与椭
圆的几何性质有不少相同或类似之处,要注意它们的区别与联 系,不能混淆,列表如下:
方程 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0)

图形

范围

|x|≤a,|y|≤b

|x|≥a,y∈R ______________

方程 对称性 顶点 轴长

x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) 对称轴:x 轴、y 轴 对称中心:原点

x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0) 对称轴:x 轴、y 轴 对称中心:原点 (-a,0)、(a,0) 实轴长 2a 虚轴长 2b c e>1 e=a,(_______)

(-a,0)、(a,0) (0,-b)、(0,b) 长轴长 2a,短轴长 2b c 离心率 e=a,(0<e<1) 渐近线 无

b y=± 有两条,其方程为________ ax

7.双曲线上两个重要的三角形
(1) 实轴端点、虚轴端点及 __________ 对称中心 构成一个直角三角 形,边长满足c2=a2+b2,称为双曲线的特征三角形. (2)焦点F、过F作渐近线的垂线,垂足为 b , |OD| = a , D , 则 |OF| = c , |FD| = ____

△OFD亦是直角三角形,满足|OF|2=|FD|2+
|OD|2,也称为双曲线的特征三角形. 相等 的双曲线叫做等轴双曲线,其 (3) 实轴长与虚轴长 _______

2 垂直 . 离心率为________ ,其两条渐近线互相________

牛刀小试 x2 y2 1.双曲线25- 9 =1 的顶点坐标是( A.(± 5,0) C.(± 4,0)
[答案] A

)

B.(± 5,0)或(0,± 3) D.(± 4,0)或(0,± 3)

[解析] ∵双曲线的顶点在x轴上,又a=5,∴选A.

2.双曲线x2-y2=1的渐近线方程为( A.x-y=0 C.x±y=1 [答案] D B.x+y=0 D.x±y=0

)

b [解析] 双曲线 x -y =1 的渐近线方程为 y=± x, 故 ax=±
2 2

选 D.

3. 双曲线 x2+ky2=1 的离心率为 2, 则实数 k 的值为( A.-3 C.3
[答案] B

)

1 B.-3 1 D.3

[解析] 双曲线 x2+ky2=1 化为标准方程为
2 y 1 2 2 2 x - 1=1,∴a =1,b =- k, -k

1 c c =a +b =1- k,∴e=a=
2 2 2

1 1-k =2,

1 ∴k=-3.

x2 y2 4.(2014· 韶关市曲江一中月考)已知双曲线a2- 5 =1 的右 焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( 3 14 A. 14 3 C.2 3 2 B. 4 4 D.3 )

[答案] C
c 3 [解析] 由条件知,a +5=9,∴a =4,∴e=a=2.
2 2

5.(2014· 吉林省实验中学一模)如图,F1、F2 是双曲线 C1:
2 y x2- 3 =1 与椭圆 C2 的公共焦点,点 A 是 C1、C2 在第一象限的

公共点,若|F1F2|=|F1A|,则 C2 的离心率是( 1 A.3 2 2 C.3或5 2 B.3 2 D.5

)

[答案] B

x2 y2 [解析] 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 由题意得,|AF1|=|F1F2|=2c=2 1+3=4, ∴c=2, |AF1|-|AF2|=2,∴|AF2|=2, c 2 ∴2a=|AF1|+|AF2|=6,∴a=3,∴e=a=3.

6 .双曲线的一条渐近线方程是 3x + 4y = 0 ,一个焦点是 (4,0),则双曲线的标准方程为________.
x2 y2 [答案] 256-144=1 25 25

[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为 3x+4y=0, x2 y2 ∴设双曲线的方程为16- 9 =λ, 16 由题意知 λ>0,∴16λ+9λ=16,∴λ=25. x2 y2 ∴所求的双曲线方程为256-144=1. 25 25

典例探究学案

已知双曲线的方程,研究其几何性质
求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、焦点坐 标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.

[分析]

将双曲线方程化成标准方程,求出a、b、c的值,

然后依据各几何量的定义作答.

2 2 x y [解析] 将 9y2-4x2=-36 变形为 9 - 4 =1,

x2 y2 即32-22=1,∴a=3,b=2,c= 13, 因此顶点为 A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为 F1(- 13,0),F2( 13,0), 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4, 13 c 离心率 e=a= 3 , 2 b 渐近线方程 y=± ax=± 3x.

作草图如图:

[方法规律总结]

由双曲线的标准方程求双曲线的有关性

x2 y2 y2 x2 质的步骤是:先将双曲线方程化为标准形式a2-b2=1(或a2-b2 =1),再根据它确定 a、b 的值(注意它们的分母分别为 a2、b2, 而不是 a、b),进而求出 c,再对照双曲线的几何性质得到相应 的答案.画几何图形,要先画双曲线的两条渐近线 (即以 2a、 2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点,然后根据双曲线的变 化趋势,就可画出双曲线的草图.

x2 y2 (2014· 广东文,8)若实数 k 满足 0<k<5,则曲线16- = 5-k x2 y2 1 与曲线 - =1 的( 16-k 5 A.实半轴长相等 C.离心率相等
[答案] D [解析] ∵0<k<5,∴两方程都表示双曲线,由双曲线中c2

) B.虚半轴长相等 D.焦距相等

=a2+b2得其焦距相等,选D.

利用几何性质求双曲线的标准方程

求适合下列条件的双曲线的标准方程: 5 (1)实轴长为 8,离心率为4; (2)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,实 轴长和虚轴长相等,且过点 P(4,- 10).

[ 解析 ]

x2 y2 y2 x2 (1) 设双曲线的标准方程为 a2 - b2 = 1 或 a2 - b2 =

1(a>0,b>0),2a=8. c 5 由题意知a=4且 c2=a2+b2,∴a=4,c=5,b=3, x2 y 2 y2 x2 ∴标准方程为16- 9 =1 或16- 9 =1.

(2)由 2a=2b 得 a=b,∴e= 线方程为 x2-y2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点 P(4,- 10), ∴16-10=λ,即 λ=6. ∴双曲线方程为 x2-y2=6.

b2 1+a2= 2,所以可设双曲

x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 6 - 6 =1.

[ 方法规律总结 ]

1. 由双曲线的几何性质求双曲线的标准

方程,一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时,方程可 能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设

双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0),从而直接求得.

2. 根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程. 渐近线为 x2 y2 n y=mx 的双曲线方程可设为:m2-n2=λ(λ≠0);如果两条渐近 线的方程为 Ax± By=0,那么双曲线的方程可设为 A2x2-B2y2= x2 y2 x2 m(m≠0);与双曲线a2-b2=1 共渐近线的双曲线方程可设为a2 y2 -b2=λ(λ≠0).

3 (1)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± 2x,则双曲线的方 程为________. (2)与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2) 的双曲线方程为________.

x2 4y2 x2 y2 y2 x2 [答案] (1) 9 - 81 =1 或 9 - 4 =1 (2) 2 - 4 =1

3 x2 y2 [解析] (1)设以 y=± 2x 为渐近线的双曲线方程为 4 - 9 = λ(λ≠0). 由双曲线的顶点间距为 6,可得 2a=6,所以, 9 当 λ>0 时,a =4λ,∴2a=2 4λ=6,即 λ=4,
2

当 λ<0 时,a2=-9λ,∴2a=2 -9λ=6,即 λ=-1. x2 4y2 y2 x2 ∴双曲线的方程为 9 - 81 =1 或 9 - 4 =1.

x2 2 x2 (2)设与双曲线 2 -y =1 有公共渐近线的双曲线方程为 2
2 2 -y2=k,将点(2,-2)代入,得 k= 2 -(-2)2=-2,

y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 2 - 4 =1.

双曲线的离心率
x2 y2 已知 F1、F2 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两 个焦点, PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦. 如果∠PF2Q =90° ,求双曲线的离心率.

[解析] 设F1(c,0),由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90°,

知|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|=2 2c. 由双曲线的定义得 2 2c-2c=2a. 2 c ∴e=a= =1+ 2. 2 2-2 所以所求双曲线的离心率为 1+ 2.

[方法规律总结] 1.求双曲线离心率的常见方法: c (1)依据条件求出 a、c,再计算 e=a; (2)依据条件建立参数 a、b、c 的关系式,一种方法是消去 b b 转化成离心率 e 的方程求解,另一种方法是消去 c 转化成含a b 的方程,求出a后利用 e= b2 1+a2求离心率.

2. 求离心率的范围一般是根据条件建立 a、 b、 c 的不等式, c b 通过解不等式得a或a的范围,再求得离心率的范围.

x2 y 2 (1)已知双曲线a2-b2=1 的两条渐近线互相垂直, 则双曲线 的离心率为( A. 3 5 C. 2 ) B. 2 2 D. 2

x2 y2 (2)设 a>1, 则双曲线a2- =1 的离心率 e 的取值范围 ?a+1?2 是( ) A.( 2,2) C.(2,5)
[答案] (1)B (2)B

B.( 2, 5) D.(2, 5)

[解析]

(1)由题意可知,此双曲线为等轴双曲线.等轴双

曲线的实轴长与虚轴长相等,则 a=b,c= a2+b2= 2a,于 c 是 e=a= 2.
2 2 a + ? a + 1 ? 1 2 1 2 2 (2)e = = 2 2+ +2=( +1) +1, a a a a

1 1 ∵a>1,∴0<a<1,1<a+1<2, ∴2<e2<5.又 e>1,∴ 2<e< 5.

实际应用问题
如图所示,某建筑工地要挖一 个横截面为半圆的柱形土坑,挖出的土只能 沿 AP、BP 运到 P 处,其中|AP|=100m,|BP| =150m, ∠APB=60° .怎样运土才能最省工?

[ 分析 ]

半圆形横截面上的点可分三类: (1) 沿 AP 到 P 较

近;(2)沿BP到P较近;(3)沿AP或BP到P等距离,其中第三类的

点位于前两类点的分界线上.

[解析]

设 M 为分界线上任一点,则|MA|+|AP|=|MB|+

|BP|,即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50m,所以 M 在以 A、B 为焦 点的双曲线的右支上.易得|AB|2=17 500m2,建立如图所示的 x2 y2 平面直角坐标系,得分界线所在的曲线方程为 625 - 3 750 = 1(x≥25). 故运土时,在双曲线左侧的土沿 AP 运到 P 处,右侧的土 沿 BP 运到 P 处最省工.

[方法规律总结 ]

解决实际问题的主要方法是抽象出数学

模型,用数学知识解决,最后再回归到实际问题中.要注意实 际问题中变量的范围及数学模型求解结果的实际意义.

如图, B 地在 A 地的正东方向 4km 处, C 地在 B 地的北偏东 30°方向距离B 2km处,河流沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距 离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头, 向 B 、 C 两地转运货物.经测算,从 M 到 B 、 C 两地修建公路的 费用都是a万元/km.

求:(1)河流沿岸PQ所在的曲线方程;

(2)修建这两条公路的总费用的最小值.

[解析]

(1)如图,以AB所在直线为x轴,以AB的中点为坐

标原点,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0).

根据题意,曲线 PQ 上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离 远 2km. 由此知河流沿岸 PQ 所在的曲线为双曲线靠近 B 点的分支. 所以 c=2,a=1,b= 3,
2 y 所以河流沿岸 PQ 所在的曲线的方程为 x2- 3 =1(x≥1).

(2)因为从 M 到 B、 C 两地修建公路的费用都是 a 万元/km, 所以,要使修建这两条公路的总费用最小,只需 |MC|+|MB|最 小,由双曲线定义,有|MB|=|MA|-2,也即|MC|+|MA|-2 最 小. 由图易知, 当 C、 M、 A 三点共线时, |MC|+|MA|-2 最小. 即 (|MB|+|MC|)min=|AC|-2. 因为 C 地在 B 地的北偏东 30° 方向距离 B 2km 处, 所以 C(3, 3).又因为 A(-2,0), 所以|AC|=2 7km. 所以(|MB|+|MC|)min=(2 7-2)km. 故修建这两条公路的总费用的最小值为(2 7-2)a 万元.

直线与双曲线的位置关系

已知曲线 C:x2-y2=1 和直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的 面积为 2,求实数 k 的值.

[解题思路探究] 第一步,审题. 审结论明确解题方向,求 k 的值或 k 的取值范围,应利用 条件建立 k 的方程或不等式求解;审条件发掘解题信息,直线 与曲线交于不同两点,可利用判别式法求解,△AOB 的面积为 2,可利用割补法和根与系数的关系求解.

第二步,建立联系,探寻解题途径. 第(1)问,可将l与C的方程联立,消元利用Δ>0求k的取值范 围;第(2)问可由A、B向x轴作垂线,将三角形面积转化为梯形 与三角形面积的差或和用直线 AB与y轴的交点,分割为两个三

角形面积的和,利用根与系数的关系求解.
第三步,规范解答.

[解析]

2 2 ? x - y =1, ? (1)由? ? ?y=kx-1,

消去 y 整理,得(1-k2)x2+2kx-2=0. 由题意知 k≠± 1. 所以实数 k 的取值范围为(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2).
2 ? ?1-k ≠0, ? 2 2 ? ?Δ=4k +8?1-k ?>0,

解 得 - 2 <k< 2 且

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2k 2 由(1)得 x1+x2=- ,x x =- . 1-k2 1 2 1-k2 1 又直线 l 恒过点 D(0,-1),则 S△OAB=2|x1-x2|= 2. 所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2 2)2, 2k 2 8 6 即(- )+ =8.解得 k=0 或 k=± 2 , 1-k2 1-k2 6 由(1)知上述 k 的值符合题意,所以 k=0 或 k=± 2 .

注意双曲线的焦点位置 y2 x2 已知双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)的渐近线方程为 3 y=± 4x,求双曲线的离心率.
[错解]
2 2

b2 9 b 3 由题意得a=4,∴a2=16,∴9a2=16(c2-a2),∴
2

25 5 25a =16c ,∴e =16,∴e=4.

y2 x2 [辨析] 错解的原因是审题不认真, 误认为双曲线a2-b2= b 1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± ax 而导致错误.

a2 9 a 3 [正解] 由题意得b=4,∴b2=16, ∴16a2=9(c2-a2),∴25a2=9c2, 25 5 ∴e = 9 ,∴e=3.
2


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