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空间向量的正交分解极坐标表示。


§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
班级
【使用说明与学法指导】 1. 在自习或自主时间通过阅读课本用 20 分钟把预习探究案中的所有知识完成。训练案在自习或自主时 间完成。 2. 重点预习: 课本 92-94 页,理解空间向量的正交分解及空间向量基本定理,理解基底、基向量的 概念及 空间向量的坐标表示 3. 把有疑问的题做好标记或写到后面“我的疑问出” 。 【学习目标】 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理,能用三个不共线的向量表示空间向量。 2. 理解基底、基向量的概念。 3. 掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标。 4. 通过类比平面向量的正交分解、坐标表示及运算来学习空间向量的正交分解、坐标表示及运算, 培养学生的逻辑思维能力。 【学习重点】 1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理,能用三个不共线的向量表示空间向量。 2. 空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标 【学习难点】 空间向量基本定理 【知识链接】 1:平面向量基本定理: 对平面上的任意一个向量 P ,a , b 是平面上两个
?? ? 可以用 a , b 来表示,表达式为 ?? 则称向量 P 正交分解.
?? 得向量 P ??

姓名

组别

代码

评价

?? ?

向量,总是存在
?? ? ,其中 a , b

实数对 ? x , y ? ,使 . 若a
? ? ?b

叫做



2:平面向量的坐标表示: 平面直角坐标系中,分别取 x 轴和 y 轴上的
? ? ?

向量 i , j 作为基底,对平面上任意向量 a ,有且只有
?

??

?

一对实数 x,y,使得 a ? x i ? y j , ,则称有序对 ? x , y ? 为向量 a 的

,即 a =

?

【预习案】
【自主学习】 1.空间向量基本定理:如果三个向量 a , b , c
?? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc

? ? ?

,对空间任一向量 p ,存在有序实数组 { x , y , z } ,使得
? ? ?

??

. ,长度都为 ,则这个基底叫



的一个基底, a , b , c 都叫做基向量.

2.单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相 做单位正交基底,通常用{i,j,k}表示. 3.空间直角坐标系:
1

4.空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a,且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量,则存在有序实数组 { x , y , z } ,使得 a ? x i ? y j ? z k ,则称有序实数组 { x , y , z } 为 向量 a 的坐标,记着 p ?
? ? ? ? 设 a ? 2i ? j ? 3k
? ,则向量 a

?

?

?

?

??

.

【预习自测】
的坐标为
? i + ? i +

1.

.
? j + ? j +

? ? 2. 若 a ? ( 2 , ? 3 , 5 ) 则 a ? ? ? 3. 若 b ? ( ? 3 ,1 ? 4 ) 则 b ?

? k ? k

? ? ? ?? 探究一:设 i , j , k 是空间的三个两两垂直的向量,且有公共起点 O,对空间任意一个向量 P 是否 ? ? ? 能用 i , j , k 来表示?若能写出它的推导过程?

【探究案】

探究二:若三个向量 a , b , c 为任意不共线的向量, 对空间任一向量 p 是否能用 a , b , c 来表示?若能写出它 的推导过程?

? ? ?

??

? ? ?

归纳:空间向量基本定理:

典型例题 例 1. 如图, 分别是四面体 QABC 的边 OA,BC 的中点, 是 MN 的三等分点, O A , O B , O C 表示 O P M,N P,Q 用 和OQ .
????

??? ??? ???? ? ?

??? ?

2

变式:已知平行六面体 A B C D ? A ' B ' C ' D ' ,点 G 是侧面 B B ' C ' C 的中心,且 O A ⑴ OB ', BA',CA';
???? ???? ???? ?
??? ? ? ? a

, O C ? b , O O ' ? c ,试用向量 a , b , c 表示下列向量:
???? OG

????

? ? ????

?

? ? ?



.

? ??? ???? ???? ? ' ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 2,以 A 为坐标原点,以 A B ,A D ,A A ? ???? ???? 方向建立空间直角坐标系,求点 D 1 , A C , A C ' 的坐标。

例 2. 正方体 A B C D

为 x 轴、y 轴、z 轴正

3

【课堂小结】

【学习反思】 我的疑问: (至少提出一个有价值的问题) 今天我学会了什么?

1.【5 分】 若 ?

?? ?? ? a, b , c

【训练案】 (时间:20 分钟 成绩:




? 为空间向量的一组基底,则下列各项中,能构成基底的是(
B.
? ? ? ? ? b, a ? b, a ? b ? ? ? ? ? c, a ? b, a ? b

? ? ? ? ? A. a , a ? b , a ? b
????

2. 【5 分】在三棱锥 OABC 中,G 基底表示 O G = 3. 【5 分】 正方体 A B C D

? ? ? ? ? ? C. D. a ? 2 b , a ? b , a ? b ??? ??? ???? ? ? 是 ? ABC 的重心(三条中线的交点) ,选取 O A , O B , O C 为基底,试用

? A ' B ' C ' D ' 的棱长为

2,以 A 为坐标原点,以 A B ,A D ,A A ' 为 x 轴、y 轴、 .

? ??? ???? ???? ?

z 轴正方向建立空

间直角坐标系,E 为 BB1 中点,则 E 的坐标是

4. 【10 分】已知向量 a , b , c 是空间的一个基底,从向量 a , b , c 中选哪一个向量,一定可以与向量
?? ? ?? p ? a ? b, ? ? ? q ? a ? b 构成空间的另一个基底?

? ? ?

? ? ?

★5.【10 分】 已知 a , b , c 是空间的一个正交基底,向量 a ? b , a ? b , c 是另一组基底,若 p 在 a , b , c 的 坐标是 ? 1, 2, 3 ? ,求 p 在 a ? b , a ? b , c 的坐标.
4
??

? ? ? ?

?

? ?

? ?

??

? ? ?

? ?

? ?

5


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