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www.mjs78.com:高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.3课件新人教A版选修2_图文

第3课时 排列的综合应用 类型一 与数字有关的排列问题 【典例1】(2017·杭州高二检测)用0,1,2,3,4,5这六 个数字,完成下面两个小题. (1)若数字不允许重复,可以组成多少个能被5整除的且 百位数字不是3的不同的五位数? (2)若直线方程ax+by=0中的a,b可以从已知的六个数字 中任取2个不同的数字,则直线方程表示的不同直线共 有多少条? 【解题指南】(1)依据能被5整除的数,其个位是0或5, 分两类,由加法原理得到结论. (2)分两类,一类是a,b均不为零;第二类a,b中有一个为 0,则不同的直线仅有两条,根据分类加法计数原理得到 结果. 【解析】(1)当末位数字是0时,百位数字有4个选择, 共有4 A3 4 当末位数字是5时,若首位数字是3,共有 =96个; =24个; A3 当末位数字是5时,若首位数字是1或2或4,4共有3×3× =54个;故共有96+24+54=174个. 2 A3 (2)①a,b中有一个取0时,有2条;②a,b都不取0时,有 A 但a=1,b=2与a=2,b=4重复;a=2,b=1与a=4,b=2重复. a,b都不为0时有20-2=18条. 2 5 =20(条), 所以共有18+2=20条. 【延伸探究】 1.若本例条件不变,问能组成多少个无重复数字的六位 奇数? 【解析】方法一:(直接法)分三步完成,第一步先填个 位 ,有 A 步填其他位,有 奇数. 1 3 种填法,第二步再填十万位,有 A14 种填法,故共有 =288(个)六位 1 1 4 A4 A 4 3A 4 A 4 种填法,第三 方法二:(直接法) 0不在两端有 A 有 种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有 1 A3 A4 4 种排法,故共有 =288(个)六位奇数. 4 A14 A1 A 3 4 1 4 种排法,从1,3,5中任选一个排在个位 方法三:(排除法) 6个数字的全排列有 3 5 5 A 个,1,3,5在个位上,0在十万位上的六位数有3 6 6 个,0,2,4在个位上的六位数为 4 4 A 个,故满足条件的六位奇数共有 5 4 A6 - 3A ? 3A 6 5 4 A =288(个). 2.若题(1)条件不变,能组成多少个没有重复数字且比 210435大的六位数? 【解析】①首位是3,4,5时满足要求,有3× 5 个; A5 ②首位是2时,当万位是3,4,5时满足要求,有3× 4 个; A4 当万位是1时,千位是3,4,5时满足要求,有3× 个;当 3 A3 首位为2,万位是1,千位是0时,若百位是5,有 个 ,若 百位是4,则十位为5只有1个. A2 2 由分类加法计数原理知,共有比210435大的六位数 3A +3A +3A +A +1 5 5 4 4 3 3 2 2 =453(个). 【方法总结】数字排列问题的解题策略 (1)解题原则:排列问题的本质是“元素”占“位子” 问题,有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某 元素不排在某个位子上,或某个位子不排某些元素,解 决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即优先 排特殊元素或优先满足特殊位子,若一个位子安排的元 素影响到另一个位子的元素个数时,应分类讨论. (2)常用方法:直接法、间接法. (3)注意事项:解决数字问题时,应注意题干中的限制条 件,恰当地进行分类和分步,尤其注意特殊元素“0”的 处理. 【补偿训练】用0~9这10个数字,按下列不同要求, 求可组成的三位数的个数. (1)组成没有重复数字的三位奇数. (2)组成没有重复数字的三位偶数. (3)组成大于300的三位无重复数字的偶数. 【解析】(1)先填个位有5种,再填首位有8种,再填十位 有8种,共有5×8×8=320(个). (2)直接法:个位为0有 A 2 9 =72个;个位不是0, 有4×8×8=256(个),共有72+256=328(个). 间接法: 2 A1 A 9 9 -5×8×8=328(个). (3)分两类:第一类首位是3、5、7、9时,可组 A A A 可组成 =96(个),共有大于300的无重 1 1 A1 A A 3 4 8 复数字的偶数的个数为 160+96=256(个). 1 4 1 5 1 8 =160(个);第二类首位是4、6、8时, 类型二 “相邻”与“相间”问题 【典例2】三个女生和五个男生排在一排. (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法? 【解题指南】(1)把三个女生看成一个元素与其他元素 排列. (2)把三个女生排在五个男生之间及两边的空位置中 . (3)两端先排上两个男生,其余人再排列. (4)两端都是男生或一端是男生一端是女生. 【解析】(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所 以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合在 一起共有六个元素,排成一排有 6 6 种不同的排法,对 种不同 3 3 A 于其中的每一种排法,三个女生之间又有 的排法.因此共有 3 A6 A 6 3 A =4320(种)不同的排法 . (2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好, 每两个相邻的男生之间留出一个空位,这样共有四个空 位,加上两边男生外侧的两个空位,共有六个空位,再把 三个女生插入这六个空位里,只要保证每个位置至多插 入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于五 个男生排成一排有 种不同排法,对于其中任意一种 A5 5 排法,从上述六个空位中选出三个让三个女生插入都有 A 3 6 种排法,因此共有 3 A5 A 5 6 =14400

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