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高中数学《三角函数中的求值问题》教案

课题:三角函数中的求值问题(高三复习课) 教 材: 人教版大纲教材 1.教学目标: 立足教材中的三角函数公式, 借助有代表性的例题使学生掌握三角函数中求值的一 些常用方法,正确灵活地运用教材中的公式解决三角函数中的求值问题。注重化归思想 和整体思想的培养。 2.教学重点、难点: 复习所学过的三角函数公式,正确灵活地使用三角函数公式解决求值问题,以及对 变角、变名、弦切互化、讨论角的范围等技巧的训练。 3.教学过程: 回忆公式:同角三角函数基本关系式;诱导公式;两角和与差的三角函数公式;二 倍角公式。 要回忆各公式的推导过程,向学生介绍各公式间的关系及使用价值。 例 1.(04 年湖南卷) ? 1 已知 tan( + ? )=2,求 的值. 4 2 sin ? cos ? ? cos 2 ? 这是一道“给值求值”问题,主要技巧是“1 的巧用”将 1 换为 sin 2 ? ? cos2 ? ,其 次是弦化切。 sin 7? ? cos 15? sin 8? 例 2.求值 : cos 7? ? sin 15? sin 8? 这是一道“给角求值”问题,解决此题的关键是“变角” ,提醒同学们注意观察题 中各角间的关系。其中“ 7°=15°-8°” 。 例 3.求值 tan20°+tan40°+ 3 tan20°·tan40°. 分析:观察问题结构,可联想两角和的正切公式,逆向思维。 解后思考:这是“给角求值”的题目,注意所给角 20°与 40°的和是特殊角 60°。 另外,从试题结构上与两角和正切公式相似,因此,解题时要多注意联想。 例 4. (2005 江苏卷) ?? ? 1 ? 2? ? 若 sin ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? =( ?6 ? 3 ? 3 ? ) C. 1 3 A. ? 7 9 B. ? 注意:角 ? 6 ? ?与 ? 3 1 3 D. ? ? 的和是 ? 。 2 7 9 例 5: (2006 年四川卷)已知 A, B, C 是三角形 ?ABC 三内角, ?? ? ?? ? 向量 m ? ?1, 3 , n ? ? cos A,sin A? ,且 m ? n ? 1 ? ? (Ⅰ)求角 A ; 1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan B (Ⅱ)若 cos 2 B ? sin 2 B 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的 公式以及二倍角公式,考察应用、分析和计算能力。 ?? ? 解: (Ⅰ)∵ m ? n ? 1 ∴ ?1, 3 ? ? cos A,sin A? ? 1 ? ? 即 3 sin A ? cos A ? 1 ? 3 1? , 2? ? sin A ? 2 ? cos A ? 2 ? ? ?1 ? ? ?? 1 ? sin ? A ? ? ? 6? 2 ? 6 6 6 6 3 2 2 1 ? 2sin B cos B cos B ? sin B ? 2 sin B cos B ? ?3 化为: ? ?3 (Ⅱ)将 2 2 cos B ? sin B cos2 B ? sin 2 B ∵0 ? A ? ?,? ? ? A? ? ? 5? 6 ∴ A? ? ? ? ∴A? ? 即: (cosB ? sin B) 2 ? ?3 (cosB ? sin B)(cosB ? sin B) (这里, cos B ? sin B ? 0 ) 整理得: sin B ? 2 cos B ∴ tan B ? 2 ? ? 1 7 练习:设 ? ? (0, ), ? ? ( , ? ), 且 cos ? ? ? , sin(? ? ? ) ? , 则 sin ? ? 2 2 3 9 1 5 1 23 A B C D 27 27 3 27 小结:三角函数求值的基本方法:巧用 1、变角、变名、弦切互化、讨论角的范围。另 外在本节课中,多次使用了化归和整体的数学思想。 1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 作业:(06 年北京理) 已知函数 f ( x) ? cos x (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; 4 (Ⅱ)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? ,求 f (? ) 的值. 3 本题主要考查三角函数的定义域,以及利用两角和的正弦、二倍角公式、同角三角 函数基本关系式化简求值。 ? 解: (Ⅰ)由 cos x ? 0 得 x ? k? ? (k ? Z ) , 2 ? ? ? 故 f ( x) 在定义域为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? , 2 ? 4 (Ⅱ)因为 tan ? ? ? ,且 ? 是第四象限的角, 3 4 3 所以 sin ? ? ? , cos ? ? , 5 5 1 ? 2 sin(2? ? ) 4 ? 故 f ( x) ? cos ? 1 ? 2( 2 2 sin 2? ? cos 2? ) 2 2 cos ? ? ? ? 1 ? sin 2? ? cos 2? cos ? ? 2 cos 2 ? ? 2sin ? cos ? cos ? ? 2(cos ? ? sin ? ) ? 14 . 5 对本节课教学设计的几点说明: 1.由于是高三第一轮复习,所以应更注重教材中的公式和基本求值方法的掌握。同 角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式是高 考重点考查的内容,由于应用非常广泛,所以是本章复习的重点,在本节课中,我首先 要向学生讲清楚这些公式间的联系及规律。 2.在授课中,反复使用变角、变名以及弦切互化等手段把三角函数式不断变形,这 种“形”变而“值”不变,便是恒等变形的实质,恒等变形的过程,就是对命题连续化 简的过程,这也是化归的数学思想的培养。同时,在角的分拆和变形中,让学生体会整 体的数学思想。 3.本节课中的例题大部分选自近三年的高考试

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