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高三数学最新课件-第36讲不等式的证明方法(下) 精品


第 36 讲不等式的证明方法(2) 不等式的证明在高中数学中应用非常广泛,与 三角、解析几何、函数等方面有着密切的联系,这 样的综合应用是高考考查思维能力的重要内容之 一。 1 第 36 讲不等式的证明方法(2) 一、例题分析 例1 例2 思考 作业:《全案》 P 133 训练 5 2 x , x ? [0,?? ), 例 1.已知函数 f ( x) ? 1? x 求证: (1) f ( x) 在 [0,??) 为增函数; a?b a?b (2)利用函数的单调性证明: ≤ 1? a ? b 1? a ? b 证明:⑴∵设 x1, x2 ??0, ??? 且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 , 1 ? x1 ? 0 , 1 ? x2 ? 0 x1 x2 x1 ? x2 ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , ? ? 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ∴ f ( x) 在 [0,??) 为增函数. x ⑵∵0≤ a ? b ≤ a ? b ,又∵ f ( x) = 在 [0,??) 为增函数(上证) 1? x ∴ f ( a ?b )≤ f ( a ? b ) 3 类似问题 练习(高中数学第二册(上)第 17 页习题 9): 已知△ABC 的三边长是 a,b,c,且 m 为正数, 求证: a ? b ? c a?m b?m c?m . 函数法: x m 证明:∵ f(x) = (m>0) = 1- 在(0, + ?)上单调递增, x+m x+m 且在△ABC 中有 a + b > c>0,∴ f(a + b)>f(c), a+b c 即 > 。 a+b+m c+m 又∵ a,b ? R*, a b a+b a b ? ? ∴ + = , a + b + m a + b + m a + b + m a?m b?m a b c ? ? ∴ . a?m b?m c?m 4 例 2. 已知 a>0,函数 f ( x) ? ax ? bx2 . ⑴当 b>0 时,若对任意 x ? R都有f ( x) ≤1, 求证: a ≤ 2 b ; ⑵当 b>1 时,求证:对任意 x ?[0,1],| 充要条件是 b ?1≤ a ≤ 2 f ( x)|≤1的 b. 2 解:⑴证明:由题设,对任意 x ? R, 都有f ( x) ≤1, a 2 a a a ∵ f ( x) ? ?b( x ? ) ? ,∴ f ( ) ? ≤1. 2b 4b 2b 4b ∵a>0,b>0, a ≤ 2 b. 5 2 答案 例 2. 已知 a>0,函数 f ( x) ? ax ? bx2 . ⑴当 b>0 时,若对任意 x ? R都有f ( x) ≤1, 求证: a ≤ 2 b ; ⑵当 b>1 时,求证:对任意 x ?[0,1],| f ( x)|≤1 的充要条件是 b ?1≤a ≤ 2 (2)证明:必要性:对任意 x ?[0,1],| f ( x) |≤1,即?1≤ f ( x) ≤1, 因此, ?1 ≤ f (1), 即 a ? b ≥ ?1, a ≥ b ? 1. 1 对任意 x ?[0,1],| f ( x) |≤1, 有f ( x) ≤1,因为b ? 1, 可推出 f ( ) ≤ 1. b 1 ? 1 ≤1,? a ≤ 2 b ,即b ? 1 ≤ a ≤ 2 b . 即a? b 充分性:因为 b>1, a ≥ b ?

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