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高三文数-二次函数


课题: 教学目标:

基本函数(一)——二次函数 1、掌握二次函数的概念、图象及性质; 2、能利用二次函数的图像求二次函数的区间最值、单调区间.

教学重点: 二次函数的图像及性质,求二次函数的区间最值、单调区间 教学难点: 教学内容: 一、温故 函数 f ( x) ? (m ?1) x2 ? 2mx? 3 是偶函数,则 f ( x) 在区间(-5,-3)上 ( A.先减后增 二、考点梳理 (一)二次函数 1、二次函数的三种形式: (1)一般式: y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式:若二次函数的顶点为( h , k ) ,则二次函数为 y ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; ( 3 ) 零 点 式 : 若 二 次 函 数 与 x 轴 的 两 个 交 点 为 ( x1 ,0) , ( x2 ,0) , 则 二 次 函 数 为
y ? a( x ? x1 )(x ? x2 )(a ? 0) 。

二次函数的图像与性质及其应用



B.先增后减

C.单调递减

D.单调递增

2、求二次函数解析式的方法:待定系数法。根据所给条件的特征,可选择一般式、 顶点式或零点式中的一种来求.。 ①已知三个点的坐标时,宜用一般式。 ②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式。 ③已知二次函数与 x 轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求 f ( x) 更方便。 (注: | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
b 2 ? 4ac , 两点间距离公式|AB|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ) 2 a

3、二次函数的图像与性质:

4、二次函数在闭区间上的最值问题: “三点一轴” ,区间两端点、中点、对称轴, 结合配方法。 y ? f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在区间[m,n]上的最值问题。 (1) x ? ?
b b ? [m, n] 时,即对称轴在区间内, ymin ? f (? ) , ymax ? ? f (m), f (n)? 2a 2a

(2) x ? ?

b ? [m, n] 时,即对称轴不在区间内时 2a b 当 x ? ? ? m 时, 即对称轴在区间左边时, f ( x) 在[m,n]上单调递增, ymin ? f (m) 2a b ? n 时,即对称轴在区间的右边时, f ( x) 在[m,n]上单调递减, 2a

ymax ? f (n) ;当 x ? ?
ymin ? f (n)

, ymax ? f (m) 。

5、三个“二次”的关系
a?0

二次函数
y ? ax2 ? bx ? c

x1

x2

x1 ? x2

二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0

x1, 2

?b? ? ? 2a

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

二次不等式
ax2 ? bx ? c ? 0

(??, x1 ) ? ( x2 ,??)

b? ? ?x | x ? ? ? 2a ? ?

R

二次不等式
ax2 ? bx ? c ? 0

( x1 , x2 )

?

?

例 1、已知二次函数 f ( x) 满足 f (2) ? ?1 , f (?1) ? ?1 ,且 f ( x) 的最大值是 8,试确定此 二次函数。

解析:方法一

2 设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 依题意有

4a ? 2b ? c ? ?1, a ? b ? c ? ?1, 解之,得 4ac ? b 2 ? 8, 4a

a ? ?4 b?4 c?7

∴所求二次函数为 y ? ?4x ? 4x ? 7 。
2

方法二

2 设 f ( x) ? a( x ? m) ? n(a ? 0) 。 ∵ f (2) ? f (?1) ,∴抛物线对称轴为 x ?

2 ?1 1 ? . 2 2

1 2 1 ∴m=2.又根据题意函数有最大值为 n=8,∴ y ? f ( x) ? a( x ? ) ? 8 。∵ f (2) ? ?1, 2

1 2 1 2 2 ∴ a (2 ? ) ? 8 ? ?1 , 解之,得 a ? ?4 ,∴ f ( x) ? ?4( x ? ) ? 8 ? ?4 x ? 4 x ? 7 。 2 2

方法三 依题意知: f ( x) ? 1 ? 0 的两根为 x1 ? 2, x2 ? ?1 ,故 f ( x) ? 1 ? a( x ? 2)(x ? 1)(a ? 0)
2 即 f ( x) ? ax ? ax ? 2a ?1。又函数有最大值 ymax ? 8 ,即

4a(2a ? 1) ? a 2 ?8, 4a
2

解之,得 a ? ?4 或 a ? 0 (舍去) 。∴函数解析式为 f ( x) ? ?4x

? 4x ? 7 。

练习一

已知函数图像的对称轴为直线 x ? ? 2 ,函数图像截 x 轴所得弦长为 4,且

过点(0,-1) ,求二次函数的解析式。

2 例 2、 已知函数 f ( x) ? x ? (2a ?1) x ? 3. (1)当 a ? 2, x ?[?2,3] 时,求函数 f ( x) 的值域。

(2)若函数 f ( x) 在[-1,3]上的最大值为 1,求实数 a 的值。

3 21 3 21 2 ? f ( x) min ? f (? ) ? ? , 解析: (1) 当 a ? 2 时,f ( x) ? x ? 3x ? 3 = ( x ? ) 2 ? , 又 x ?[?2,3] , 2 4

2

4

f ( x)max ? f (3) ? 15, ? 值域为 ? ??

1 2a ? 1 2a ? 1 21 ? ? 1 ,即 a ? ? (2)对称轴为 x ? ? ① 当? ,15? 。 2 2 2 ? 4 ?
1 3

时, f ( x)max ? f (3) ? 6a ? 3,? 6a ? 3 ? 1 ,即 a ? ? 满足题意;② 当?

1 2a ? 1 ? 1 ,即 a ? ? 时, 2 2
1 3

f ( x)max ? f (?1) ? ?2a ?1 ,? ?2a ?1 ? 1, 即 a ? ?1 满足题意。综上所述 a ? ? 或 - 1 。

2 练习二、已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 3, x ?[?4,6] ; (1)当 a ? ?2 时,求 f ( x) 的最值;

(2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间[-4,6]上是单调函数;

2 例 3、若二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2x ,且 f (0) ? 1 .(1)求 f ( x)

的解析式; (2)若在区间[-1,1]上, 不等式 f ( x) ? 2 x ? m 恒成立, 求实数 m 的取值范围.
2 解析:(1)由 f (0) ? 1 得,c=1. ∴ f ( x) ? ax ? bx ? 1 .又 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2x ,

2a ? 2,
2 2 ∴ a( x ?1) ? b( x ?1) ?1 ? (ax ? bx ?1) ? 2x ,即 2ax ? a ? b ? 2 x ,∴

a ? b ? 0, ∴

a ? 1, b ? ?1.

2 2 2 因此, f ( x) ? x ? x ? 1.(2) f ( x) ? 2 x ? m 等价于 x ? x ? 1 ? 2x ? m ,即 x ? 3x ? 1 ? m ? 0 ,要使
2 g ( x ) ? x ? 3x ? 1 ? m 在[-1,1]上的最小值大于 0 此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数

2 即可. ∵ g ( x) ? x ? 3x ? 1 ? m 在[-1,1]上单调递减, ∴ g ( x)min ? g (1) ? ?m ?1 , 由 ? m ? 1 ? 0 得,

m<-1.因此满足条件的实数 m 的取值范围是(- ? ,-1). 练习三 取值范围.
2 已知 f ( x) ? x ? 2(a ? 2) x ? 4 , 如果对一切 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立, 求实数 a 的

附:20 分钟课后测试卷:第_3_次课小测

分数

2 1、 “ a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 在区间[3,+ ? )内单调递增”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2 2、已知命题 p :关于 x 的函数 f ( x) ? 2x ? ax ? 3 在 [1,??) 上是增函数;命题 q :关于 x 的
2 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,则实数 a 的取值范围 方程 x ? ax ? 4 ? 0 有实数根。若

是 A. (?4,4) ? (4,??) B. (??,4) C. (??,?4) ? (?4,4)

( ) D. [?4,??)

2 3、已知函数 f ( x) ? x ? bx ? 1 是 R 上的偶函数,则实数 b =______,不等式 f ( x ? 1) ? x 的

解集为_________。 4、已知函数 y ? x2 ? 2x ? 3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范 围为________. 5、已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a, b ? R) , x ? R .(1)若函数 f ( x) 的最小值为 f (?1) ? 0 ,求 解析式,并写出单调区间。 (2)在(1)条件下, f ( x) ? ( x ? k ) 在区间 [?3,?1] 上恒成立, 是求 k 的取值范围。


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