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第一轮一元二次不等式及其解法详细过程


第一节 一元二次不等式及其解法 (见学生用书第 1 页)

考纲传真

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模 型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二 次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式.对给定的一元二次不等 式,会设计求解的程序框图.

1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ>0 Δ =b2-4ac Δ=0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) 有两相等实根 b x1=x2=- 没有实数根 2a ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1 或 x>x2} {x|x≠x1} ax2+bx+c<0 {x|x1<x<x2} (a>0)的解集 ? 2.用程序框图表示一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程

Δ<0

R ?

3.简单的分式不等式

f(x) (1) >0?f(x)· g(x)>0; g(x) f(x) (2) ≤0?f(x)· g(x)≤0 且 g(x)≠0. g(x)

ax2+bx+c>0(a≠0)对一切 x∈R 恒成立的条件是什么? 【提示】 a>0 且 b2-4ac<0.

1.(人教 A 版教材习题改编)不等式 2x2-x-1>0 的解集是( ) 1 A.(- ,1) B.(1,+∞) 2 1 C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,- )∪(1,+∞) 2 2 【解析】 ∵2x -x-1=(x-1)(2x+1)>0, 1 ∴x>1 或 x<- . 2 1 故原不等式的解集为(-∞,- )∪(1,+∞). 2 【答案】 D x-1 2.不等式 ≤0 的解集为( ) 2x+1 1 1 A.(- ,1] B.{x|x≥1 或 x<- } 2 2 1 1 C.[- ,1] D.{x|x≥1 或 x≤- } 2 2 【解析】 原不等式等价于 (x-1)(2x+1)<0 或 x-1=0. 1 ∴原不等式的解集为(- ,1]. 2 【答案】 A 3.(2012· 福建高考)已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值 范围是________. 【解析】 ∵x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立, ∴Δ=a2-4×2a<0,∴0<a<8. 【答案】 (0,8) 1 1 4.一元二次不等式 ax2+bx+2>0 的解集是(- , ),则 a+b 的值是________. 2 3 1 1 【解析】 由已知得方程 ax2+bx+2=0 的两根为- , . 2 3 b 1 1 - =- + a 2 3 则 2 1 1 =(- )× a 2 3 ? ?a=-12, 解得? ?b=-2, ?

? ? ?

∴a+b=-14. 【答案】 -14错误! (见学生用书第 2 页)

一元二次不等式的解法 解下列不等式 (1)3+2x-x2≥0; (2)x2+3>2x; 2x (3) ≤1. x-1 【思路点拨】 (1)先把二次项系数化为正数,再用因式分解法;(2)用配方法或用判别 式法求解;(3)移项通分,转化为一元二次不等式求解. 【尝试解答】 (1)原不等式化为 x2-2x-3≤0, 即(x-3)(x+1)≤0, 故所求不等式的解集为{x|-1≤x≤3}. (2)原不等式化为 x2-2x+3>0, ∵Δ=4-12=-8<0,又因二次项系数为正数, ∴不等式 x2+3>2x 的解集为 R. x+1 2x 2x (3)∵ ≤1? -1≤0? ≤0 x-1 x-1 x-1 ?(x-1)(x+1)≤0 且 x≠1. ∴原不等式的解集为[-1,1).,

1.熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础,可结合一元二 次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解. 2.解一元二次不等式的步骤:(1)把二次项系数化为正数;(2)先考虑因式分解法,再考 虑求根公式法或配方法或判别式法;(3)写出不等式的解集. 解下列不等式: (1)-2x2-5x+3>0; (2)-1≤x2+2x-1≤2; 【解】 (1)∵-2x2-5x+3>0,∴2x2+5x-3<0, ∴(2x-1)(x+3)<0, 1 ∴原不等式的解集为{x|-3<x< }. 2 ?x2+2x-1≥-1, ? (2)这是一个双向不等式,可转化为不等式组? 2 ? ?x +2x-1≤2, 2 ?x +2x≥0, ① ? 即? 2 ?x +2x-3≤0. ② ? 由①得 x≥0 或 x≤-2; 由②得-3≤x≤1. 故得所求不等式的解集为{x|-3≤x≤-2 或 0≤x≤1}. 含参数的一元二次不等式的解法 求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集. 【思路点拨】 先求方程 12x2-ax=a2 的根,讨论根的大小,确定不等式的解集. 【尝试解答】 ∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,

a a 得:x1=- ,x2= . 4 3 a a a a ①a>0 时,- < ,解集为{x|x<- 或 x> }; 4 3 4 3 2 ②a=0 时,x >0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a a a a ③a<0 时,- > ,解集为{x|x< 或 x>- }. 4 3 3 4 a a 综上所述:当 a>0 时,不等式的解集为{x|x<- 或 x> }; 4 3 当 a=0 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a 当 a<0 时,不等式的解集为{x|x< 或 x>- 3 a }., 4

解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于 0,小于 0,还是大于 0,然后将不等式转化为 二次项系数为正的形式. (2)判断方程实根的个数,讨论判别式Δ 与 0 的关系. (3)确定方程无实根时可直接写出解集,确定方程有两个相异实根时,要讨论两实根的 大小关系,从而确定解集形式.

解关于 x 的不等式 x2-(a+1)x+a<0. 【解】 原不等式可化为(x-a)(x-1)<0. 当 a>1 时,原不等式的解集为(1,a); 当 a=1 时,原不等式的解集为空集; 当 a<1 时,原不等式的解集为(a,1).

三个二次的关系 已知关于 x 的不等式 x +ax+b<0 的解集(-1,2),试求关于 x 的不等式 ax2+ x+b<0 的解集. 【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根. ?1-a+b=0, ?a=-1, ? ? 【尝试解答】 由于 x2+ax+b<0 的解集是(-1, 2), 所以? 解得? ? ? ?4+2a+b=0, ?b=-2. 2 故不等式即为-x +x-2<0, ? ?-1<0, ∵? ?Δ=1-8=-7<0 ? ∴不等式 ax2+x+b<0 的解集为
2

R.,

(1)给出一元二次不等式的解集,则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根. (2)三个二次的关系体现了数形结合,以及函数与方程的思想方法. ax 若关于 x 的不等式 <1 的解集是{x|x<1 或 x>2},求实数 a 的取值范 x-1 围. (a-1)x+1 ax <1? <0?[(a-1)x+1](x-1)<0,由原不等式的解集是{x|x x-1 x-1 <1 或 x>2}, a-1<0, ? ? 1 知? ?a= . 1 2 - = 2 ? ? a-1 1 ∴实数 a 的取值范围是{ }. 2 【解】 不等式恒成立问题 若不等式 mx -mx-1<0 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【思路点拨】 分 m=0 与 m≠0 两种情况讨论,当 m≠0 时,用判别式法求解. 【尝试解答】 要使 mx2-mx-1<0 对一切实数 x 恒成立, 若 m=0,显然-1<0; ? ?m<0, 若 m≠0,则? 解得-4<m<0, 2 ? ?Δ=m +4m<0,
2

故实数 m 的取值范围是(-4, 0]. ,

1.不等式 ax2+bx+c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时,b=0,c>0; ?a>0, ? 当 a≠0 时,? 不等式 ax2+bx+c<0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时, ? Δ < 0 ; ? ?a<0, ? b=0,c<0;当 a≠0 时,? ?Δ<0. ? 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是 主元,求谁的范围,谁就是参数.

对任意 a∈[-1,1]不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则实数 x 的取 值范围是________. 【解析】 设 f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f(a) 在区间[-1,1]上恒正时 x 应满足的条件, ? ?f(-1)>0, 故应有? ?f(1)>0. ? 2 ? x - 5x+6>0, ? 即? 2 ?x -3x+2>0, ? ?(x-2)(x-3)>0, ? 化为? ? ?(x-1)(x-2)>0. 解之,得 x<1 或 x>3. 【答案】 x<1 或 x>3

一个过程 解一元二次不等式的一般过程是:一看(看二次项系数的符号),二算(计算判别式,判 断方程根的情况),三写(写出不等式的解集). 两点联想 不等式 ax2+bx+c>0(或 ax2+bx+c<0)(a≠0)的求解, 善于联想: (1)二次函数 y=ax2 2 +bx+c 的图象与 x 轴的交点,(2)方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根,运用好“三个二次”间的 关系. 三个防范 1.二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解集;不要忘了二次项系数是 否为零的情况. 2.解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若 不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. 3.不同参数范围的解集切莫取并集,应分类表述.

(见学生用书第 3 页)

从近两年的高考试题来看, 一元二次不等式的解法、 含参数不等式的解法以及二次函数、 一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点.常与集合、函数、导数等 知识交汇命题,主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想. 思想方法之一 巧用一元二次不等式求代数式的最值 (2011· 浙江高考)设 x, y 为实数, 若 4x2+y2+xy=1, 则 2x+y 的最大值是________. 【解析】 法一 设 2x+y=t,∴y=t-2x,代入 4x2+y2+xy=1,整理得 6x2-3tx+t2 2 10 2 10 -1=0.关于 x 的方程有实根,因此 Δ=(-3t)2-4×6×(t2-1)≥0,解得- ≤t≤ . 5 5 2 10 则 2x+y 的最大值是 . 5 2 2 法二 ∵1=4x +y +xy=(2x+y)2-3xy 3 =(2x+y)2- (2x)· y 2 3 2x+y 2 5 ≥(2x+y)2- ·( ) = (2x+y)2, 2 2 8 8 ∴(2x+y)2≤ , 5 8 8 ∴- ≤2x+y≤ , 5 5 2 10 2 10 即- ≤2x+y≤ . 5 5 2 10 【答案】 5

易错提示:(1)换元后,不会从关于 x 的一元二次方程有实数解入手解决问题,致使思 维受阻. (2)不会利用化归与转化思想化未知为已知,致使解题时无从下手,盲目作答. 防范措施:(1)应熟练掌握一元二次方程与其判别式 Δ 之间的关系,关于 x 的一元二次 不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负. (2)遇到一个问题,要注意寻找结论和已知间的关系,化已知为未知或化未知为已知.

1 1.(2012· 天津高考)设 x∈R,则“x> ”是“2x2+x-1>0”的( 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1 【解析】 2x2+x-1>0 的解集为{x|x> 或 x<-1}, 2 1 1 2 2 故由 x> ?2x +x-1>0,但 2x +x-1>0D?/x> . 2 2

)

1 则“x> ”是“2x2+x-1>0”的充分不必要条件. 2 【答案】 A 2. (2013· 清远模拟)不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切 x∈R 恒成立, 则实数 a 的取值范 围是________. 【解析】 由题意知,不等式 (a + 2)x2 + 4x + a - 1 > 0 对一切 x∈R 恒成立,则有 ?a+2>0, ? ? 解得 a>2. ? ?Δ=16-4(a+2)(a-1)<0, 【答案】 (2,+∞)


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