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一元二次不等式的解法


知识点一: 知识点一:一元二次不等式的定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等 式。比如: . 或

注意: 注意: (1)一元二次方程 集的端点的取值,是抛物线 的两根 是相应的不等式的解

与 轴的交点的横坐标;

任意的一元二次不等式,总可以化为一般形式: .

(2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用 不等式的性质转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决; (3) 解集分 与 的解集。 (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程 ① 时, 求出两根 , 且 ,计算判别式 : 三种情况, 得到一元二次不等式

知识点二: 知识点二:一般的一元二次不等式的解法
设一元二次方程 的两根为 且 , ,

知识点三: 知识点三:解一元二次不等式的步骤

则相应的不等式的解集的各种情况如下表:

(注意灵活运用因式分解和配方法) ;

二次函数 ② ( )的图象 ③ 时,求根 时,方程无解 ;

(3)根据不等式,写出解集.
2 知识点四: +bx+c>0(a>0)的过程 知识点四:用程序框图表示求解一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)的过程 规律方法指导 2

1.解一元二次不等式首先要看二次项系数 a 是否为正;若为负,则将其变为正数; 2.若相应方程有实数根,求根时注意灵活运用因式分解和配方法; 3.写不等式的解集时首先应判断两根的大小,若不能判断两根的大小应分类讨论; 4.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不 等式的解集与其系数之间的关系; 5.若所给不等式最高项系数含有字母,还需要讨论最高项的系数

经典例题透析 类型一: 类型一:解一元二次不等式
1.解下列一元二次不等式 (1) ; (2) ; (3)

举一反三: 举一反三: 【变式 1】解下列不等式 (1) (3) ; ; (2) (4) .

思路点拨:转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答. 思路点拨:

【变式 2】解不等式:

类型二: 类型二:已知一元二次不等式的解集求待定系数
总结升华: 总结升华: 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结 合的分析能力; 2. 当 时, 用配方法, 结合符号法则解答比较简洁 (如第 2、 小题)当 3 ; 2.不等式 的解集。 的解集为 ,求关于 的不等式

且是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷, (如第 1 小题). 3. 当二次项的系数小于 0 时,一般都转化为大于 0 后,再解答.

总结升华: 总结升华:二次方程的根是二次函数的零点,也是相应的不等式的解集的端点.根据 不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的 解集与其系数之间的关系,这一点是解此类题的关键。 举一反三: 举一反三: 【变式 1】 不等式 ax2+bx+12>0 的解集为{x|-3<x<2}, a=_______, b=________。 则

类型三: 类型三:二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题
3.已知关于 x 的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0 对一切实数 x 恒成立, 求实数 m 的取值范围。 思路点拨: 思路点拨:不等式对一切实数恒成立,即不等式的解集为 R,要解决这个问题 还需要讨论二次项的系数。

【变式 2】已知 .

的解为

,试求



,并解不等式

【变式 3】已知关于 的不等式 的解集.

的解集为

,求关于 的不等式

总结升华: 总结升华:情况(1)是容易忽略的,所以当我们遇到二次项系数含有字母时,一 般需讨论。 举一反三: 【变式 1】 若关于 的不等式 举一反三: 求 的取值范围. 的解集为空集,

【变式 2】 若关于 的不等式 的取值范围.

的解为一切实数, 求

【变式 3】 若关于 的不等式 的取值范围.

的解集为非空集, 求

类型四: 类型四:含字母系数的一元二次不等式的解法
4.解下列关于 x 的不等式 (1)x2-2ax≤-a2+1; (2)x2-ax+1>0; (3)x2-(a+1)x+a<0;

举一反三: 举一反三:

【变式 1】解关于 x 的不等式:

【变式 2】解关于 的不等式:





5.解关于 x 的不等式:ax2-(a+1)x+1<0。

总结升华: 总结升华:对含字母的二元一次不等式,一般有这样几步: ①定号:对二次项系数大于零和小于零分类,确定了二次曲线的开口方向; ②求根:求相应方程的根。当无法判断判别式与 0 的关系时,要引入讨论,分类求 解; ③定解:根据根的情况写出不等式的解集;当无法判断两根的大小时,引入讨论。

总结升华: 总结升华:熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础,对最高项含有 字母系数的不等式, 要注意按字母的取值情况进行分类讨论, 分类时要 “不重不漏” 。

举一反三: 举一反三: 【变式 1】解关于 x 的不等式:(ax-1)(x-2)≥0;

【变式 3】解关于 x 的不等式:ax2-x+1>0

【变式 2】解关于 x 的不等式:ax2+2x-1<0;

学习成果测评 基础达标: 基础达标:
1.不等式 x2-ax-12a2<0(其中 a<0)的解集为( ) A. (-3a,4a) B. (4a,-3a) C. (-3,-4) D. (2a,6a)

8.解下列不等式 (1) 14-4x2≥x;

(2) x2+x+1>0;

2.使

有意义的 x 的取值范围是( ) (3) 2x2+3x+4<0; (4) ;

A.

B.

C.

D.

(5) 3.不等式 ax +5x+c>0 的解集为 A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1
2

; (6)



(7)

,则 a,c 的值为( ) C.a=1,c=1 D.a=-1,c=-6

4. 解不等式 A.10 B.-10

得到解集 C.14 D.-14

, 那么

的值等于( ) 9.已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}。 (1)求 a,b; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0。

5.不等式 x2-ax-b<0 的解集是{x|2<x<3},则 bx2-ax-1>0 的解集是( )

A.

B.

C.

D. 10. 不等式 mx2+1>mx 的解集为实数集 R,求实数 m 的取值范围.

抛物线 y=-x2+5x-5 上的点位于直线 y=1 的上方, 则自变量 x 的取值范围是____。 6. 7. 如果关于 x 的方程 x2-(m-1)x+2-m=0 的两根为正实数, m 的取值范围是____。 则

能力提升: 能力提升:
11.不等式 的解集是全体实数,则 a 的取值范围是( ) 18.解下列关于 x 的不等式 ;

A.

B.

C.

D. 恒成立的 x 的取值范围是

12.对于满足 0≤p≤4 的实数 p,使 __ 13.已知 的解集是________. 14 . 若 函 数 ________________. 15.若使不等式 等式 和 . 的解集为

,则不等式

综合探究: 综合探究:

的定义域为 R,则 a 的取值范围为

19.解关于 x 的不等式:

.

同时成立的 x 的值使关于 x 的不 20. 设集合 A={x|x2-2x-8<0}, B={x|x2+2x-3>0}, C={x|x2-3ax+2a2<0}, C 若 ∩B),求实数 a 的取值范围.

也成立,则 a 的取值范围是________________.

(A

16.若不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|2<x<3},则不等式 ax2-bx+c<0 的解集是 ___________;不等式 cx2+bx+a>0 的解集是_____________.

17.已知



(1)如果对一切 x∈R,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x∈[-3,1],f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围.


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