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2005-2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(无答案)


全国高中数学联赛

江苏赛区初赛试题集
(2005 年-2016 年)

姓名_________ 班级_________
2017.3

1

目 录

1、2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题....................1-3 页 2、2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题....................4-6 页 3、2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题....................7-9 页 4、2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................10-12 页 5、2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................13-15 页 6、2010 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................16-18 页 7、2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................19-21 页 8、2012 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................22-24 页 9、2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题..................25-28 页 10、2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.................29-30 页 11、2015 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.................31-33 页 12、2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.................34-36 页

2

2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一. 选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分。在每小题给出的 4 个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
? → ? 1.函数 y=f(x) 的图像按 a =( ,2)平移后,得到的图像的解析式为 y=sin(x+ )+2,那么 y=f(x) 的解析 4 4
式为 ( )

A. y=sinx
2

B. y=cosx

C.y=sinx+2

D.y=cosx+4
)

2.如果二次方程 x -px-q=0 (p,q∈N*)的正根小于 3,那么这样的二次方程有 (

A.5 个

B.6 个
2

C.7 个
的最小值是

D.8 个
( )

3.设 a>b>0,那么 a +

1

b(a-b)

B. 3 C.4 D. 5 4.设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形,用平面α 去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,
则这样的平面α A.不存在

A. 2

B.只有 1 个

C.恰有 4 个

( ) D.有无数多个

5.设数列{an}:a0=2,

a1=16,an+2=16 an+1-63 an (n∈N),则 a2005 被 64 除的余数为
( )

A. 0

B.2

C.16
2

D.48

6.一条走廊宽 2m、长 8m,用 6 种颜色的 1?1m 的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的,每种颜色的地 砖都足够多),要求相邻的两块地砖颜色不同,那么所有的不同拼色方案种数有 ( )

A.308 B.30?257 C.30?207 D.30?217 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. ? → → → → → 7.设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得 OB ,且 2 OA + OB =(7,9),则向量 OB = 2



8.设无穷数列{an}的各项都是正数,Sn 是它的前 n 项之和,对于任意正整数 n,an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项,则该数列的通项公式为 .

9.函数 y=|cosx|+|cos2x| (x∈R) 的最小值是



10.在长方体中 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2, AA1=AD=1,点 E、F、G 分别是棱 AA1、C1D1 与 BC 的中点,那么四面 体 B1-EFG 的体积是 .

11.由三个数字 1,2,3 组成的 5 位数中,1,2,3 都至少出现 1 次,这样的 5 位数共有 个.

12.已知平面上两个点集:M={(x,y)| |x+y+1|≥ 2(x +y ),x,y∈R},N={(x,y)| |x-a|+|y-1|≤1,x, y∈R},若 M∩N≠?,则 a 的取值范围为 .

2

2

1

三、解答题:
13. 已知点 M 是?ABC 的中线 AD 上的一点,直线 BM 交边 AC 于点 N,

BC BM 且 AB 是?NBC 的外接圆的切线,设 =λ ,试求 (用λ 表示).(15 MN BN
分)

A

N B M D C

14.求所有使得下列命题成立的正整数 n (n≥2): 对于任意实数 x1,x2,?,xn,当i= ∑ ∑ 1xi=0 时,总有i= 1xixi+1≤0 (其中 xn+1=x1).(15 分)

n

n

2

15. 设椭圆的方程 2+ 2=1(a>b>0), 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与

x2 y2 a b

x 轴垂直的焦点弦,若在左准线上存在点 R,使△PQR 为正三角形,
求离心率 e 的取值范围,并用 e 表示直线 PQ 的斜率.(24 分)
R Q

y

M‘ P’ P F

M O

x

16.⑴ 若 n (n∈N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005,求 n 的最小值,并说明理由;( 12 分) ⑵ 若 n (n∈N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 分)
2005

,求 n 的最小值,并说明理由.( 24

3

2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
本题共有 6 小题,每题均给出 A、B、C、D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的. 2 1.已知数列{an}的通项公式 an= 2 ,则{an}的最大项是 n -4n+5 A.a1 2.函数 y=3 y B.a2 |log x| 3 的图象是 y y y C.a3 D.a4 ( ) ( )

O

x O

xO

x O

x

A. B. C. D. 2 3.已知抛物线 y =2px,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样 的 P 点共有 ( ) A.0 个 B.2 个 C.4 个 D.6 个 4.设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数,若 x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则( ) A.f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 B.f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 C.f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 D.f(x1)+f(x2)>f(x3) 5 .过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD - A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线所成等角的直线共有 ( ) A.0 条 B.1 条 C.4 条 D.无数多条 1 3 10 6.在△ABC 中,tanA= ,cosB= .若的最长边为 1,则最短边的长为 2 10 4 5 A. 5 3 5 B. 5 2 5 C. 5 D. 5 5 ( )

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
7.集合 A={x|x=3n,n∈N,0<n<10},B={y|y=5m,m∈N,0≤n≤6}则集合 A∪B 的所有元素之和 为__________________. 2 ,则 cos4θ+sin4θ 的值是__________________. 3

8.设 cos2θ=

9.(x-3x2)3 的展开式中,x5 的系数为__________________.

? ?y≥0, 10.已知?3x-y≥0, 则 x2+y2 的最大值是__________________. ?x+3y-3≤0, ?
1 11 .等比数列 {an} 的首项为 a1=2020 ,公比 q =- ,设 f(n) 表示这个数列的前 n 项的积,则当 n = 2 _________________时,f(n)有最大值. 12.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB1=4,AD1=3,则对角线 AC1 的取值范围是_____ _________________________.

4

三、解答题(本题满分 60 分,第 13 题,第 14 题各 12 分,第 15 题 16 分,第 16 题 20 分)
2a 13.设集合 A={x|log1(3-x)≥-2},B={x| ≥1},若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. x - a 2

x2 y2 14.椭圆 + =1 的有焦点为 F,P1,P2,?,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中 P1 是椭圆 9 4 的右顶点, 并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=?=∠P24FP1, 若这 24 个点到右准线的距离的倒数和为 S, 求 S 的值.

15.△ABC 中,AB<AC,AD、AE 分别是 BC 边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC.证明是直角.
5

A

16.设 p 是质数,且 p2+71 的不同正因数的个数不超过 10 个,求 p.

6

2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分).
1.已知函数 y ? sin 2 x ,则 A.有最小正周期 2? C.有最小正周期 B.有最小正周期 ? ( )

? D.无最小周期 2 2 2 2.关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,则 a 的最大值与最小值
的和是 A.2 ( ) B. 1 C.0 D.-1 ??? ? ??? ? ??? ? 3.已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6 b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线的 三点是 A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D ( ) 4.设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 A. ? ? ? , ? ? ? ? n , m ? n C. ? ? ? , ? ? ? , m ? ? B. ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? D. n ? ? , n ? ? , m ? ? ( )

1, 2 ,并且 5.若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ??1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7? , i ? 0,
2

m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为
A.60 个 B.70 个 C.90 个

?

?

( D.120 个



6.已知 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ? x ?1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ( x ?R), 且 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ? 1), 则 a 的值有 ( A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D.无数个



二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题.
7.设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S5 ? 10 , S10 ? ?5 ,则公差为 .

1) ,它的反函数的图象经过点 8.设 f ( x) ? loga ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2,
(2,8),则 a+b 等于 9.已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f ( .

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 x2 ? 2 x ? 1
y

x 的取值范围为

.

O

1

x .

10.圆锥曲线 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 10 ? x ? y ? 3 ? 0 的离心率是 11.在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 , sin C ? .

2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为 3

12.设命题 P : a ? a ,命题 Q : 对任何 x ?R,都有 x ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中
2 2

有且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是

.

7

三、解答题(本题满分 60 分,共 4 小题,每题各 15 分)
x ? y ? 0, 13.设不等式组 ? 表示的平面区域为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 x ? y ? 0 和直线 x ? y ? 0 的 ? ?x ? y ? 0

距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2, 0) 的直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段

AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率.

14.如图,斜三棱柱 ABC ? A 1 1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面 1B 1C1 中,面 AAC B B1 A1

ABB1 A1 ? AAC 1 1C , A 1 B ? AB ? AC ? 1 .
求证:(1) AA1 ? BC1 ; (2)求点 A1 到平面 ABC 的距离. C C1 A

8

15.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?3 ? an ? 3 , an?2 ? an ? 2 . 求 a2007 .

16.已知平面上 10 个圆,任意两个都相交. 是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证明 你的结论.

9

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分)
1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny
2 2

的最大值为 A.

答:___ B.

a?b 2

ab

C.

a 2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2
?1 1? ?2 4?

2. 设 y ? f ( x) 为指数函数 y ? a x . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数

y ? f ( x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的公共点只可能是点
A. P B. Q C. M D. N

答:___

3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数列,那么 x ? y ? z 的值为 A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 1 0.5 2 1 答:___

x

y
z
4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么,答:___ A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 5. 设 a , b 是 夹角为 30 ° 的 异面 直线 ,则 满足条 件 “ a ? ? , b ? ? , 且 ? ? ? ” 的 平 面 ? , ? 答:___ A. 不存在 C. 有且只有两对 B. 有且只有一对 D. 有无数对

二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A ? x x ? ?x? ? 2 和B ? x x ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,则 A ? B ? ___ .
2

?

?

?

?

7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是___ (结果要求写成既约分数). 8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为___.

9. 与圆 x ? y ? 4x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为____________或_________.
2 2

10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则

a2 ? b2 =______ . c2

10

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分)
11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x 2 ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1, 0 ? m ? n ,并且 x ? ?m, n?时, f ( x) 的取值范围 为? ,

?1 1 ? . 试求 m,n 的值. ?n m? ?

12.

A、B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA? OB ? 0 。 4 9
2

(Ⅰ)求证:

1 OA

?

1 OB
2

为定值;

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上.

11

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线

DC 在平面 N 内. 已知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ,且 ? , ? , ? 都是
锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示).

14. 能否将下列数组中的数填入 3×3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.

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2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上.)
1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= .

2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5,则 k = .

3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e=


A

3 +1 1 4.已知 x = - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x

x


R D B Q P C

5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC,CQ =2QD.R 为棱 AD 的中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 .

6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)≥0 的 x 的取值范围是



7 .右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高 分别长 20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存 水 cm3.

→ → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC · AO =



9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,?),a2009= 2,则此数列的前 2009 项的和为



10.设 a 是整数,0≤b<1.若 a2=2b(a+b),则 b=



13

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) http://www.mathedu.cn
x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,F 是椭圆的左焦点.求以 O, 9 4 F,A,B 为顶点的四边形的面积.

12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC =14,AD=7,AB=28,CE=12.求 BC.
A D

C

E

B

14

13.若不等式 x+ y≤k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围.

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请予以验证;

⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请证明你的结 论.

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2010 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上.)
x x 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为



2.函数 y ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的单调减区间是

.

3.在△ ABC 中,已知向量数量积 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则向量模 AB =

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

.

4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2? 上的最大值是
2

,最小值是



5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4,0? 、 B ? ? 6,8? 、 C ? ? 2, 4? ,则 R 的取值范围为 .

6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ?1? 都是关于 x 的奇函数,则函数

y ? f ? x ? 在区间 ?0,100? 上至少有

个零点.

(第 7 题)

7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 .

8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中
16

镀 2 金 2 银的概率是



9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC ? ? , 且 cos ? ?

10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10



10.设复数列 ?xn ? 满足 xn ? a ? 1, 0 ,且 xn ?1 ? 则 a 的值是

a xn .若对任意 n ? N* 都有 xn?3 ? xn , xn ? 1



二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分)
11.直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C :

???? ? 3 ??? ? 4 ??? ? x2 ? y 2 ? 1 上的三点.若 OM ? OA ? OB , 5 5 4

证明: AB 的中点在椭圆

x2 ? 2 y 2 ? 1 上. 2

17

12.已知整数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 成等比数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 .

13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H . 过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形.

14.求所有正整数 x , y ,使得 x ? 3 y 与 y ? 3x 都是完全平方数.
2 2

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2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上)
1. 计算复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 = . .

2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数 m ?

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 (结果用最简分数表示).

1 4. 已知 cos 4? ? ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? 5



5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 为邻边的平行四边形的面积为

π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3


6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 .

7. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是



8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * ,则 f [ f (2011)] ?



9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 .

10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值是



19

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)
11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围.

12.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1, 求 b2 ? c 2 的最大值和最小值.

20

13.如图,P 是 ? ABC 内一点.

1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2
1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC , 2 2
证明:P 是 ? ABC 的内心. B P

A

C

14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数.

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2012 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上.)
1、当 x ?[?3,3] 时,函数

f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为____________.

2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC 3、从集合

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? ____________.

?3,4,5,6,7,8?中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为____________.
2

4、已知 a 是实数,方程 x ____________.

? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位),则 | a ? bi | 的值为

x2 y 2 5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C : ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾斜角为锐角的 12 4
直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8

3 ,则直线的斜率为____________.

6、已知 a 是正实数, k

? alg a 的取值范围是____________.

7、在四面体 ____________.

ABCD

中,

A B ? A C? A D ? DB ? 5

,

BC ? 3 , CD ? 4

该四面体的体积为

8 、已知等差数列

?an? 和等比数列 ?bn? 满足: a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7, a3 ? b3 ?15, a4 ? b4 ? 35,则

an ? bn ? ____________.( n ? N * )

71, 75这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这样的排列有 9、将 27,37,47,48,55,
____________种.

22

10、三角形的周长为 31 ,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组 (a, b, c) 的个数为 ____________.

二、解答题(本题 80 分,每题 20 分)
11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明: (1) b cos C

? c cos B ? a

(2)

cos A ? cos B ? a?b

2sin 2 c

C 2

12、 已知 a, b 为实数,a ? 2 ,函数 (1)求实数 a, b ; (2)求函数

e a f ( x) ?| ln x ? | ?b( x ? 0) .若 f (1) ? e ? 1, f (2) ? ? ln 2 ? 1 . 2 x

f ( x) 的单调区间;

(3)若实数 c, d 满足 c ? d , cd

? 1,求证: f (c) ? f (d )

23

13 、 如 图 , 半 径 为 1 的 圆

O

上有一定点

M

,

A

为圆

O

上的动点.在射线

OM

上有一动点

B , AB ? 1, OB ? 1.线段 AB 交圆 O 于另一点 C , D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长的取值范围.

14、设是 a, b, c, d 正整数,a, b 是方程 x

2

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边长是整数且面积为

ab 的直角三角形.

24

2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上.)
1.设方程 x ? 2mx ? m ? 1 ? 0 的根大于 ?2 ,且小于 4 ,则实数 m 的范围是
2 2



2.从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只,至少配成一双的概率为



3.设实数 x , y 满足 x2 ? 4 x ? y 2 ? 3 ? 0 ,则 x ? y 的最大值与最小值之差是
2 2



4.若存在正实数 a , b 满足 (a ? bi)n ? (a ? bi)n ( i 是虚数单位, n ? N ),则 n 的最小值是
*



5.若三角形 ABC 的三边 AB , BC , AC 成等差数列,则 ? A 的取值范围是



6.若数列 ?an ? 满足 a4 ? 9 , (an?1 ? an ?1)(an?1 ? 3an ) ? 0 ( n ? N ),则满足条件的 a1 的所有可能值之积
*





7.已知 f ( x) ? x2 ? 94 x ? 2013 ,则

n ?30

? ? f ( n) ?

60

f ( n) ? ?



8.设 x , y ??0, 2? ? ,且满足 2sin x cos y ? sin x ? cos y ? ?

1 ,则 x ? y 的最大值为 2



9.已知正四面体 ABCD 的棱长为 9,点 P 是面 ABC 上的一个动点,满足 P 到面 DAB 、 DBC 、 DCA 的距 离成等差数列,则 P 到面 DCA 距离的最大值是 .

10. 将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数, 这个四位数为完全平方数, 再过 31 年,

25

将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全平方数,小王现在的年龄是 .

二.解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分.
( x ? k )2 x2 2 ? y ? 1 与椭圆 E2 : ? y 2 ? 1 交于点 A 和 C , E1 的左顶点 11.设 k 为实数, 0 ? k ? 6 ,椭圆 E1 : 9 9
为 B , E2 的右顶点为 D (如图),若四边形 ABCD 是正方形,求实数 k .

12.如图,梯形 ABCD 中, B 、 D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B ' 、 D ' , A 、 C 关于对角线 BD 对称 的点分别是 A ' 、 C ' .证明:四边形 A ' B ' C ' D ' 是梯形.

26

13.设实数 a , b 满足 0 ? a ?

1 ? b ? 1 .证明: 2(b ? a) ? cos ? a ? cos ? b . 2

14.正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一.证明:必存在四个同色点,恰为某等腰梯形的顶点.

27

2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上.)
1.若 x ≥ 2 ,则函数 f ( x ) ? x ?

1 的最小值是 x ?1



2.已知函数 f ( x) ? ex .若 f (a ? b) ? 2 ,则 f (3a) ? f (3b) 的值是



3.已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为前 n 项和,且满足 an 2 ? S2n?1 , n ? N ,则
*

数列 ?an ? 的通项 an

?



4.若函数 f ( x) ? ?

2 ? ?2 x ? 3x, x ≥ 0, 是奇函数,则实数 a 的值是 2 ? 2 x ? ax , x ? 0 ? ?



5.已知函数 f ( x) ? lg | x ? .

10 | .若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 5 f ( x) ? 6 ? 0 的实根之和为 m ,则 f ( m) 的值是 3

6.设 ? 、 ? 都是锐角,且 cos ? ?

3 5 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? 等于 5 5



o 7. 四面体 ABCD 中,AB ? 3 ,CD ? 5 , 异面直线 AB 和 CD 之间的距离为 4, 夹角为 60 , 则四面体 ABCD 的体积为 .

8.若满足 ?ABC ?

?
3

, AC ? 3 , BC ? m 的 △ ABC 恰有一解,则实数 m 的取值范围是



9.设集合 S ? ?1, 2,?,8? , A , B 是 S 的两个非空子集,且 A 中的最大数小于 B 中的最小数,则这样的集 合对 ( A, B) 的个数是 .

28

10.如果正整数 m 可以表示为 x 2 ? 4 y 2 ( x , y ? Z ),那么称 m 为“好数”.问 1,2,3,?,2014 中“好 数”的个数为 .

二.解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)
11.已知 a , b , c 为正实数, a ? b ? c ,
x y z

1 1 1 ? ? ? 0 ,求 abc 的值. x y z

12.已知 F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 B 的坐标为 (0, b) ,直线 F1 B 与 a 2 b2 1 F 2 ?F F1 2 , Q 两点, 双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P , 线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M . 若M 2
求双曲线 C 的离心率.

29

13.如图,已知 ?ABC 是锐角三角形,以 AB 为直径的圆交边 AC 于点 D ,交边 AB 上的高 CH 于点 E .以 AC 为直径的半圆交 BD 的延长线于点 G .求证: AG ? AE .

14.(1)正六边形被 3 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 4 个三角形.将每个三角形区域涂上红、 蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同.怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色 三角形个数的差最大? (2)凸 2016 边形被 2013 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 2014 个三角形.将每个三角形 区域涂上红、栏两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同.在上述分割并涂色的所有情形中, 红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少?证明你的结论.

30

2015 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上.)
1.已知点 P(4,1)在函数 f(x)=loga(x-b) (b>0)的图象上,则 ab 的最大值是 .

π 43π 2.函数 f(x)= 3sin(2x- )在 x= 处的值是 4 24



3.若不等式|ax+1|≤3 的解集为{x |-2≤x≤1},则实数 a 的值是



4.第一只口袋里有 3 个白球、7 个红球、15 个黄球,第二只口袋里有 10 个白球、6 个红球、9 个黑球,从两 个口袋里各取出一球,取出的球颜色相同的概率是 .

x2 y2 x2 y2 5.在平面直角坐标系 xOy 中,设焦距为 2c 的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与椭圆 2+ 2=1 有相同的离心率 e,则 a b b c e 的值是 .

6.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 B1D 与平面 A1BC1 交于 E 点.记四棱锥 E-ABCD 的体积为 V1 V1,长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 V2,则 的值是 V2 .
A1 E D A (第 6 题图) B C D1 C1 B1

7.若实数集合 A={31x,65y}与 B={5xy,403}仅有一个公共元素,则集合 A∪B 中所有元素之积的值是 .

31

8.设向量 a=(cosα,sinα),b=(-sinα,cosα).向量 x1,x2,?,x7 中有 3 个为 a,其余为 b;向量 y1,y2,?, y7 中有 2 个为 a,其余为 b.则 ? xiyi 的可能取值中最小的为
i=1

7



9.在 3×3 的幻方中填数,使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.如图,三个方格中的数分别 为 1,2,2015,则幻方中其余 6 个数之和为 .

1 2 2015 (第 9 题图)

10.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是满足 x≥0,y≥0,x+y+[x]+[y]≤19 的点(x,y)形成的区域(其中[x] 是不超过 x 的最大整数).则区域 D 中整点的个数为 .

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)
11.在等比数列{an}中,a2=2,q 是公比.记 Sn 为{an}的前 n 项和,Tn 为数列{a2 n}的前 n 项和.若 S2n=2Tn, 求 q 的值.

12.如图,△ABC 中,AB>AC,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,且 BD=CE.∠BAC 的外角平分线与△ADE 的外接圆交于 A、P 两点.
C

求证:A、P、B、C 四点共圆.
E

D A P (第 12 题图) B

32

13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O1、圆 O2 都与直线 l:y=kx 及 x 轴正半轴相切.若两圆的半径之 积为 2,两圆的一个交点为 P(2,2),求直线 l 的方程.
y l

P O2 O1 O (第 13 题图) x

14.将正十一边形的 k 个顶点染红色,其余顶点染蓝色. (1)当 k=2 时,求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数; (2)k 取何值时,三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少?并说明理由.

33

2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上.)
1、关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 x 2 ? x ? 4 ,则 ab 的值是

?

?



2、从 1, 2,3,4, 5, 6, 7,8,9 中任取两个不同的数,则取出的两数之和为偶数的概率是 3、已知 f ?x ? 是周期为 4 的奇函数且当 x ? ?0,2? 时 f ?x? ? x 2 ?16x ? 60 ,则 f 2 10 的值是 。



?

?


4、己知直线 l 是函数 f ?x? ? 2 ln x ? x 2 图象的切线,当 l 的斜率最小时, l 的方程是

5、在平面直角坐标系 xOy 中,如果直线 l 将圆 x 率的取值范围是 。

2

? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 平分,但不经过第四象限,那么 l 的斜

6、己知等边△ABC 的边长为 2,若 AP

?

1 1 AB ? AC , AQ ? AP ? BC 3 2

?

?

,则△APQ 面积是



7、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 在棱 BC 上,点 Q 为棱 CC1 的中点.若 过 点 A,P,Q 的 平 面 截 该 正 方 体 所 得 的 截 面 为 五 边 形 . 则 BP 的 取 值 范 围 是 。

8、己知数列 {an } 的奇数项依次构成公差为 d1 的等差数列,偶数项依次构成公差 为 d 2 的等差数列.且对任意 n ?N*,都有 an ? an?1 ,若 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且数列 {an } 的前 10 项和 S10 ? 75 , 则 a8 = 。

9、己知正实数 x , y 满足

?x ? 2?2 ? ? y ? 2?2
y x

? 16 则 x ? y ?



10、设 M 表示满足下列条件的正整数 n 的和: n 整除 2016 ,且 2016 整除 n .那么 M 的所有不同正因子
34

2

2

的个数是



二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)
11、已知

1 1 35 ? ?? ? ? ,? ? ? 0, ?, 求 tan ? 。 sin ? cos? 12 ? 2?

12、如图,点 P 在△ABC 的边 AB 上且 AB=4AP,过点 P 的直线 MN 与△ABC 外接圆交于点 M, N,且点 A 是弧 M N 的中点.求证: (1) △ABN∽△ANP。 (2)证明:BM+BN=2MN.

35

x2 y2 13、在平面直角坐标系 xOy 中.双曲线 C :与双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的右焦点为 F ,过点 F 的直线 l 交曲 a b
线 C 于 A , B 两点.若 OF ? AB ? FA ? FB ,求双曲线 C 的离心率 e .

14、 己知凸九边形的任意 5 个内角的正弦与其余 4 个内角的余弦之和都等于某个常数值 ? .若九个内角中有一 个角等于 120 ,试求常数 ? 的值.
0

36


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