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2017年福建省厦门市高考数学一模试卷(文科)(解析版)


2017 年福建省厦门市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x2﹣3x+2<0},B={x|y=lg(3﹣x)},则 A∩B=( A.{x|1<x<2} B.{x|1<x<3} C.{x|2<x<3} D.{x|x<3} 2.已知双曲线 离心率为( A. B.2 ﹣ ) C. D. =1(a>0,b>0)的一条渐近线为 ,则双曲线的 )

3.如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0) , (6,4) ,则 f(1)+f(3)=( )

A.3

B.0

C.1

D.2

4.中国将于今年 9 月 3 日至 5 日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会 晤.某志愿者队伍共有 5 人负责接待,其中 3 人担任英语翻译,另 2 人担任俄语 翻译.现从中随机选取 2 人,恰有 1 个英语翻译,1 个俄语翻译的概率是( A. B. C. D. , )

5. 已知角 α 的顶点在坐标原点, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边经过点 (﹣ 2) ,则 tan(α﹣ A.﹣3 B.﹣ )的值为( C.﹣ ) D.﹣

6.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题: “今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几 何日而长等?”(蒲常指一种多年生草本植物,莞指水葱一类的植物) 现欲知几日后, 莞高超过蒲高一倍. 为了解决这个新问题, 设计右面的程序框图,
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输入 A=3,a=1.那么在①处应填(



A.T>2S? B.S>2T? C.S<2T? D.T<2S? 7.实数 x,y 满足 A.3 B.4 ,则 z=4x+3y 的最大值为( )

C.18 D.24 = , = ,若 ? =12,

8.在平行四边形 ABCD 中,AB=3,AD=2, 则∠BAD=( A. B. ) C. D.

9.当 x>0 时,函数 f(x)=(aex+b) (x﹣2)单调递增,且函数 y=f(x﹣1)的 图象关于直线 x=1 对称,则使得 f(2﹣m)>0 成立的 m 的取值范围是( A.{m|m<﹣2 或 m>2} D.{m|0<m<4} 10.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图, 已知其俯视图是正三角形,则该四棱锥的外接球的表面积是( ) )

B.{m|﹣2<m<2} C . {m|m < 0 或 m > 4}

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A.

B.

C.19π D.22π

11.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是 C 上两动点, 且∠AFB=α(α 为常数) ,线段 AB 中点为 M,过点 M 作 l 的垂线,垂足为 N,若 的最小值为 1,则 α=( A. B. C. D. 与圆 x2+y2=2an+2 交于 An,Bn )

12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,直线 y=x﹣2 (n∈N*)两点,且

.若 a1+2a2+3a3+…+nan<λan2+2 对任意 n∈ )

N*恒成立,则实数 λ 的取值范围是( A. (0,+∞) B.

C.[0,+∞) D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.复数 z 满足 z(1+i)=2﹣i(i 为虚数单位) ,则 z 的模为 .

14.已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a1+a3+a5=15,a2+a4+a6=0,则 Sn 的 最大值为 .

15. BC=2, CC1=1, 直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∠BAC=90°, 直线 BC1 与平面 A1ABB1 所成角等于 60°,则三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧面积为为__ ___. .

16.? x0∈(2,+∞) ,k(x0﹣2)>x0(lnx0+1) ,则正整数 k 的最小值为 (参考数据:ln2≈0.6931,ln3≈1.0986,ln5≈1.6094)

三、解答题:本大题共 5 小题,每小题分数见旁注,共 70 分.解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=Msin(ωx+φ) (M>0,ω>0,|φ|<
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)的图象与 x 轴的

两个相邻交点是 A(0,0) ,B(6,0) ,C 是函数 f(x)图象的一个最高点.a, b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,满足(a+c) (sinC﹣sinA)=(a+b) sinB. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)将函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后,纵坐标不变,横坐标伸长为原 来的 倍,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)的单调递减区间.

18.为了响应厦门市政府“低碳生活,绿色出行”的号召,思明区委文明办率先全 市发起“少开一天车,呵护厦门蓝”绿色出行活动.“从今天开始,从我做起,力 争每周至少一天不开车,上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车, 鼓励拼车…”铿锵有力的话语,传递了绿色出行、低碳生活的理念. 某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数,统计如下: [0,10) [10, 20) 18 岁至 31 岁 32 岁至 44 岁 45 岁至 59 岁 60 岁及以上 8 12 25 25 12 28 50 10 [20, 30) 20 20 80 10 [30, 40) 60 140 100 18 [40, 50) 140 60 225 5 [50, 60] 150 150 450 2

联合国世界卫生组织于 2013 年确定新的年龄分段:44 岁及以下为青年人,45 岁至 59 岁为中年人,60 岁及以上为老年人.用样本估计总体的思想,解决如下 问题: (Ⅰ)估计本市一个 18 岁以上青年人每月骑车的平均次数; (Ⅱ)若月骑车次数不少于 30 次者称为“骑行爱好者”,根据这些数据,能否在 犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关? P(K2 ≥k) k K2= 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 . 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

19. AF∥BE, BE=2AF=2, 如图, 正方形 ABCD 的边长等于 2, 平面 ABCD⊥平面 ABEF, EF= .
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(Ⅰ)求证:AC∥平面 DEF; (Ⅱ)求三棱锥 C﹣DEF 的体积.

20.已知函数 f(x)=(x2﹣ax+a+1)ex. (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)函数 f(x)有两个极值点,x1,x2(x1<x2) ,其中 a>0.若 mx1﹣ >0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 21.已知椭圆 Γ: 且|AB|=2 +y2=1(a>1)与圆 E:x2+(y﹣ )2=4 相交于 A,B 两点,

,圆 E 交 y 轴负半轴于点 D.

(Ⅰ)求椭圆 Γ 的离心率; (Ⅱ)过点 D 的直线交椭圆 Γ 于 M,N 两点,点 N 与点 N'关于 y 轴对称,求证: 直线 MN'过定点,并求该定点坐标.

选修 4-4:坐标系与参数方程 22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: (α 为参数) .以 O 为极点,

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8cosθ,直线 l 的 极坐标方程为 .

(Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程与直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与 C1,C2 在第一象限分别交于 A,B 两点,P 为 C2 上的动点,求 △PAB 面积的最大值.
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选修 4-5:不等式选讲 23.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣m|(m>1) ,若 f(x)>4 的解集是{x|x<0 或 x>4}. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)<a2+a﹣4 有解,求实数 a 的取值范围.

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2017 年福建省厦门市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x2﹣3x+2<0},B={x|y=lg(3﹣x)},则 A∩B=( A.{x|1<x<2} B.{x|1<x<3} C.{x|2<x<3} D.{x|x<3} 【考点】交集及其运算. 【分析】解不等式求出集合 A,求定义域得出 B,再根据交集的定义写出 A∩B. 【解答】解:集合 A={x|x2﹣3x+2<0}={x|1<x<2}, B={x|y=lg(3﹣x)}={x|3﹣x>0}={x|x<3}, 则 A∩B={x|1<x<2}. 故选:A. )

2.已知双曲线 离心率为( A. B.2

﹣ ) C.

=1(a>0,b>0)的一条渐近线为

,则双曲线的

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线的渐近线方程得到 a,b 的关系,再根据离心率公式计算即 可. 【解答】解:∵双曲线 ∴ = , = ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线为 ,

∴双曲线的离心率为 e= = 故选:D.

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3.如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0) , (6,4) ,则 f(1)+f(3)=( )

A.3

B.0

C.1

D.2

【考点】函数的图象. 【分析】由已知中函数的图象,求出 f(1) ,f(3)的值,可得答案. 【解答】解:由已知中的函数 f(x)的图象可得: f(1)=2,f(3)=1, 故 f(1)+f(3)=3, 故选:A

4.中国将于今年 9 月 3 日至 5 日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会 晤.某志愿者队伍共有 5 人负责接待,其中 3 人担任英语翻译,另 2 人担任俄语 翻译.现从中随机选取 2 人,恰有 1 个英语翻译,1 个俄语翻译的概率是( A. B. C. D. )

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】利用古典概率计算公式计算即可.

【解答】解:P(恰有 1 个英语翻译,1 个俄语翻译)= 故选:C.

= ,

5. 已知角 α 的顶点在坐标原点, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边经过点 (﹣ 2) ,则 tan(α﹣ A.﹣3 B.﹣ )的值为( C.﹣ ) D.﹣



【考点】任意角的三角函数的定义.
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【分析】利用任意角的三角函数的定义求得 tanα 的值,再利用两角差的正切公 式求得 tan(α﹣ )的值.

【解答】解:∵角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过 点(﹣ ,2) , =﹣ ,则 tan(α﹣ )= =﹣

∴tanα= ,

=

3

故选:A.

6.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题: “今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几 何日而长等?”(蒲常指一种多年生草本植物,莞指水葱一类的植物) 现欲知几日后, 莞高超过蒲高一倍. 为了解决这个新问题, 设计右面的程序框图, 输入 A=3,a=1.那么在①处应填( )

A.T>2S? B.S>2T? C.S<2T? D.T<2S? 【考点】程序框图. 【分析】由题意,S 表示莞高,T 表示蒲高,现欲知几日后,莞高超过蒲高一倍, 即可得出结论.
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【解答】解:由题意,S 表示莞高,T 表示蒲高,现欲知几日后,莞高超过蒲高 一倍,故①处应填 S>2T?. 故选 B.

7.实数 x,y 满足 A.3 B.4

,则 z=4x+3y 的最大值为(



C.18 D.24

【考点】简单线性规划. 【分析】画出满足条件的平面区域,求出角点的坐标,结合函数的图象求出 z 的 最大值即可.

【解答】解:画出满足条件

的平面区域,如图示:





,解得 A(3,4) ,

由 z=4x+3y 得:y=﹣ x+ z, 结合图象得直线过 A(3,4)时,z 最大, z 的最大值是 24, 故选:D.

8.在平行四边形 ABCD 中,AB=3,AD=2,

=



=

,若

?

=12,

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则∠BAD=( A. B.

) C. D.

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据平行四边形的性质,利用平面向量的线性表示与数量积运算,即可 求出答案.

【解答】解:如图所示,

平行四边形 ABCD 中,AB=3,AD=2, = ∴ = 若 则 = ? ? + = + , + = =﹣ =﹣ =12, =(﹣ + ﹣ ? )?(﹣ ﹣ ) ﹣ , ﹣ ,

= ×32+ ×22+ ×3×2×cos∠BAD=12, cos∠BAD= , ∴∠BAD= 故选:B. .

9.当 x>0 时,函数 f(x)=(aex+b) (x﹣2)单调递增,且函数 y=f(x﹣1)的 图象关于直线 x=1 对称,则使得 f(2﹣m)>0 成立的 m 的取值范围是( A.{m|m<﹣2 或 m>2} D.{m|0<m<4} 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】根据函数的对称性得到函数 f(x)是偶函数,根据 f(2)=f(﹣2)=0,
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B.{m|﹣2<m<2} C . {m|m < 0 或 m > 4}

问题转化为|2﹣m|>2,求出 m 的范围即可. 【解答】解:函数 y=f(x﹣1)的图象关于直线 x=1 对称, 即函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称, 函数 f(x)是偶函数, 而 f(2)=0,故 x>2 时,f(x)>0,x<﹣2 时,f(x)>0, 故 f(2﹣m)>0,即|2﹣m|>2,解得:m>4 或 m<0, 故选:C.

10.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图, 已知其俯视图是正三角形,则该四棱锥的外接球的表面积是( )

A.

B.

C.19π D.22π

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据四棱锥的三视图知该四棱锥底面为矩形,高为 的四棱锥;

还原出长方体,设该四棱锥的外接球球心为 O,求出外接球的半径, 计算外接球的表面积. 【解答】解:根据四棱锥的三视图,知该四棱锥底面为矩形,高为 且侧面 PAB⊥底面 ABCD,如图所示; 的四棱锥;

还原出长方体是长为 2,宽为 1,高为 设该四棱锥的外接球球心为 O,则



过 O 作 OM⊥平面 PAB,M 为△PAB 的外心,
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作 ON⊥平面 ABCD,则 N 为矩形 ABCD 对角线的交点; ∴OM= ,ON= × ∴外接球的半径满足 R2=ON2+AN2= + = , = ;

∴外接球的表面积为 S=4πR2=4π× 故选:A. = .

11.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是 C 上两动点, 且∠AFB=α(α 为常数) ,线段 AB 中点为 M,过点 M 作 l 的垂线,垂足为 N,若 的最小值为 1,则 α=( A. B. C. D. )

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 先画出图象、做出辅助线,设 |AF|=a 、 |BF|=b ,由抛物线定义得 2|MN|=a+b,由题意和余弦定理可得|AB|2=a2+b2﹣2abcosα,再根据 值为 1,即可得到答案. 【解答】解:如右图:过 A、B 分别作准线的垂线 AQ、BP,垂足分别是 Q、P, 设|AF|=a,|BF|=b,连接 AF、BF, 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP| 在梯形 ABPQ 中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 由余弦定理得, |AB|2=a2+b2﹣2abcosα, ∵ 的最小值为 1, ,α= 时,不等式恒成立. 的最小

∴a2+b2﹣2abcosα≥ 故选:C.

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12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,直线 y=x﹣2 (n∈N*)两点,且

与圆 x2+y2=2an+2 交于 An,Bn

.若 a1+2a2+3a3+…+nan<λan2+2 对任意 n∈ )

N*恒成立,则实数 λ 的取值范围是( A. (0,+∞) B. 【考点】直线与圆的位置关系.

C.[0,+∞) D.

【分析】 由已知得到关于数列{an}的递推式, 进一步得到{Sn+2}是以 a1+2 为首项, 2 为公比的等比数列.求出数列{an}的前 n 项和为 Sn,进一步求得数列{an}的通 项, 然后利用错位相减法求得 a1+2a2+3a3+…+nan, 代入 a1+2a2+3a3+…+nan<λan2+2, 分离参数 λ,求出 得最大值得答案. , 即 x﹣y﹣2 =0 的距离 d=

0) 【解答】 解: 圆心 O (0, 到直线 y=x﹣2 =2, 由 d 2+ =r2,且



得 22+Sn=2an+2,∴4+Sn=2(Sn﹣Sn﹣1)+2, 即 Sn+2=2(Sn﹣1+2)且 n≥2; ∴{Sn+2}是以 a1+2 为首项,2 为公比的等比数列. 由 22+Sn=2an+2,取 n=1,解得 a1=2, ∴Sn+2=(a1+2)?2n﹣1,则 Sn=2n+1﹣2; ∴ a1=2 适合上式,
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(n≥2) .





令 Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=1?2+2?22+3?23+…+(n﹣1)?2n﹣1+n?2n, ∴ 两式作差可得: ﹣2, ∴ , , = = ?2n+1 (1﹣n)

由 a1+2a2+3a3+…+nan<λan2+2 对任意 n∈N*恒成立, 可得(n﹣1)?2n+1+2<λ?22n+2 对任意 n∈N*恒成立, 即 λ> 对任意 n∈N*恒成立, =0; ,知,n=2 时, 最大为 . =0,

当 n=1 时, 由 ∴当 n=2、3 时, ∴λ> .

∴λ 的取值范围为: 故选:B.



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.复数 z 满足 z(1+i)=2﹣i(i 为虚数单位) ,则 z 的模为 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 【解答】解:z(1+i)=2﹣i(i 为虚数单位) , ∴z(1+i) (1﹣i)=(2﹣i) (1﹣i) , ∴2z=1﹣3i, 则 z= ∴|z|= , = .
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故答案为:



14.已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a1+a3+a5=15,a2+a4+a6=0,则 Sn 的 最大值为 30 .

【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】设等差数列{an}的公差为 d,根据 a1+a3+a5=15,a2+a4+a6=0,可得 3d= ﹣15,3a1+6d=15,解得 d,a1.令 an≥0,解得 n,进而得出. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d,∵a1+a3+a5=15,a2+a4+a6=0, ∴3d=﹣15,3a1+6d=15, 解得 d=﹣5,a1=15. ∴an=15﹣5(n﹣1)=20﹣5n, 令 an=20﹣5n≥0,解得 n≤4. 则 Sn 的最大值为 S4=S3=3×15+ 故答案为:30. =30.

15. BC=2, CC1=1, 直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∠BAC=90°, 直线 BC1 与平面 A1ABB1 所成角等于 60°,则三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧面积为为__ 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【分析】由题意,BC1= 柱 ABC﹣A1B1C1 的侧面积. 【解答】解:由题意,BC1= ∴AB= , ∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧面积为(2+ + 故答案为 . )×1= , = ,∠A1BC1=60°,∴A1C1= ,A1B= , = ,∠A1BC1=60°,求出底面的边长,即可求出三棱 ___.

16.? x0∈(2,+∞) ,k(x0﹣2)>x0(lnx0+1) ,则正整数 k 的最小值为 (参考数据:ln2≈0.6931,ln3≈1.0986,ln5≈1.6094)
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5



【考点】特称命题. 【分析】根据题意得出 k> ,设 f(x)= ,其中 x>2;利

用导数求出 f(x)在 x>2 的最小值,即可求出正整数 k 的最小值. 【解答】解:? x0∈(2,+∞) ,∴x0﹣2>0, ∴k(x0﹣2)>x0(lnx0+1)可化为 k> 设 f(x)= 则 f′(x)= 令 f′(x)=0, 得 x﹣4﹣2lnx=0, 设 g(x)=x﹣4﹣2lnx,其中 x>2; 则 g′(x)=1﹣ = , , ,其中 x>2; = ;

当 x>2 时,g′(x)>0,g(x)是单调增函数, ∴g(x)≥g(2) ; 且 g(2)=2﹣4﹣2ln2=﹣2﹣2×0.6931<0, g(5)=5﹣4﹣2ln5=1﹣2×1.6094<0, g(8)=8﹣4﹣2ln8=4﹣6ln2=4﹣6×0.6931<0, g(9)=9﹣4﹣2ln9=5﹣4ln3=5﹣4×1.0986>0; ∴g(x)在(8,9)内有零点, 且在零点处 f(x)取得最小值 m; ∴f(8)= f(9)= ∴k≥4.1; 即正整数 k 的最小值为 5. 故答案为:5. = ×(3ln2+1)= ×(3×0.6931+1)≈4.1>m, = ×(2ln3+1)= ×(2×1.0986+1)≈4.1>m;

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三、解答题:本大题共 5 小题,每小题分数见旁注,共 70 分.解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=Msin(ωx+φ) (M>0,ω>0,|φ|< )的图象与 x 轴的

两个相邻交点是 A(0,0) ,B(6,0) ,C 是函数 f(x)图象的一个最高点.a, b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,满足(a+c) (sinC﹣sinA)=(a+b) sinB. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)将函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后,纵坐标不变,横坐标伸长为原 来的 倍,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)的单调递减区间.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定 其解析式. 【分析】 (Ⅰ)由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求出 ω,由 特殊点的坐标求出 φ 的值,解直角三角形求出 A,可得 f(x)的解析式. (Ⅱ)利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得 g(x)的解析式,再利用 正弦函数的单调性求得函数 g(x)的单调递减区间. 【解答】解: (Ⅰ)∵函数 f(x)=Msin(ωx+φ) (M>0,ω>0,|φ|< 图象与 x 轴的两个相邻交点是 A(0,0) ,B(6,0) , ∴sinφ=0,∴φ=0,且 = =6,∴ω= ,∴f(x)=Msin( x) . )的

∵C 是函数 f(x)图象的一个最高点,a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B, C 的对边, 满足(a+c) (sinC﹣sinA)=(a+b)sinB,∴(a+c) (c﹣a)=(a+b)b, 整理可得 即 cosC=﹣ ,∴C= =﹣ , . ,设 AB 的中点为 D,则 CD⊥AB,且点 D(3,0) ,

由题意可得 CA=CB,∴∠A= 点 C(3,M) , 根据 tan∠A=tan = =

= ,∴M=

,∴f(x)=

sin(

x) .

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(Ⅱ)将函数 f(x)= 可得 y= sin

sin(

x)的图象向左平移 1 个单位后,纵坐标不变, x+ )的图象;

(x+1)=

sin( 倍, ? x+

再把横坐标伸长为原来的 得到函数 g(x)= 令 2kπ+ ≤ + sin( ≤2kπ+

)=

sin( x+

)的图象. ,

,求得 4kπ+

≤x≤4kπ+ ,4kπ+

故函数 g(x)的单调递减区间为[4kπ+

],k∈Z.

18.为了响应厦门市政府“低碳生活,绿色出行”的号召,思明区委文明办率先全 市发起“少开一天车,呵护厦门蓝”绿色出行活动.“从今天开始,从我做起,力 争每周至少一天不开车,上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车, 鼓励拼车…”铿锵有力的话语,传递了绿色出行、低碳生活的理念. 某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数,统计如下: [0,10) [10, 20) 18 岁至 31 岁 32 岁至 44 岁 45 岁至 59 岁 60 岁及以上 8 12 25 25 12 28 50 10 [20, 30) 20 20 80 10 [30, 40) 60 140 100 18 [40, 50) 140 60 225 5 [50, 60] 150 150 450 2

联合国世界卫生组织于 2013 年确定新的年龄分段:44 岁及以下为青年人,45 岁至 59 岁为中年人,60 岁及以上为老年人.用样本估计总体的思想,解决如下 问题: (Ⅰ)估计本市一个 18 岁以上青年人每月骑车的平均次数; (Ⅱ)若月骑车次数不少于 30 次者称为“骑行爱好者”,根据这些数据,能否在 犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关? P(K2 ≥k) k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
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0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010 0.005

0.001

K2=



【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (Ⅰ)利用组中值,即可估计本市一个 18 岁以上青年人每月骑车的平均 次数; (Ⅱ)根据条件中所给的数据,列出列联表,把求得的数据代入求观测值的公式 求出观测值,把观测值同临界值进行比较得到结论. 【解答】解: (Ⅰ)估计本市一个 18 岁以上青年人每月骑车的平均次数为(20 ×5+40×15+40×25+200×35+200×45+300×55)÷(20+40+40+200+200+300) =42.75; (Ⅱ)列联表: 骑行爱好者 非骑行爱好 者 青年人 非青年人 总计 K2= 700 800 1500 100 200 300 =18>7.879, 800 1000 1800 总计

∴能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有 关.

19. AF∥BE, BE=2AF=2, 如图, 正方形 ABCD 的边长等于 2, 平面 ABCD⊥平面 ABEF, EF= .

(Ⅰ)求证:AC∥平面 DEF; (Ⅱ)求三棱锥 C﹣DEF 的体积.

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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)连结 BD,记 AC∩BD=O,取 DE 的中点 G,连结 OG、FG,推导出 四边形 AOGF 是平行四边形,从而 AC∥FG,由此能证明 AC∥平面 DEF. (Ⅱ)在面 ABEF 中,过 F 作 FH∥AB,交 BE 于点 H,推导出 FE⊥EB,从而 FE⊥ AF,三棱锥 C﹣DEF 的体积 VC﹣DEF=VA﹣DEF=VD﹣AEF,由此能求出三棱锥 C﹣DEF 的体 积. 【解答】证明: (Ⅰ)连结 BD,记 AC∩BD=O,取 DE 的中点 G,连结 OG、FG, ∵点 O、G 分别是 BD 和 ED 的中点,∴OG 又 AF ,∴OG BE,

AF,∴四边形 AOGF 是平行四边形,

∴AO∥FG,即 AC∥FG, 又 AC?面 DEF,FG? 平面 DEF, ∴AC∥平面 DEF. 解: (Ⅱ)在面 ABEF 中,过 F 作 FH∥AB,交 BE 于点 H, 由已知条件知,在梯形 ABEF 中,AB=FH=2,EF= ∴FH2=EF2+EH2,即 FE⊥EB,从而 FE⊥AF, ∵AC∥平面 DEF,∴点 C 到平面 DEF 的距离为 AF=BH=2﹣1=1,∠AFE=90°, ∴ . = = . ,EH=1,

∴三棱锥 C﹣DEF 的体积 VC﹣DEF=VA﹣DEF=VD﹣AEF=

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20.已知函数 f(x)=(x2﹣ax+a+1)ex. (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)函数 f(x)有两个极值点,x1,x2(x1<x2) ,其中 a>0.若 mx1﹣ >0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可; (Ⅱ)问题等价于 m> = 恒成立,即 m>﹣ +2x2+1 恒成

立,令 t=a﹣2(t>2) ,则 x2=

,令 g(t)=

,根据函数的

单调性求出 g(t)的最小值,从而求出 m 的范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)f′(x)=[x2+(2﹣a)x+1]ex, 令 x2+(2﹣a)x+1=0(*) , (1)△=(2﹣a)2﹣4>0,即 a<0 或 a>4 时, 方程(*)有 2 根, x1= ,x2= ,

函数 f(x)在(﹣∞,x1) , (x2,+∞)递增,在(x1,x2)递减; (2)△≤0 时,即 0≤a≤4 时,f′(x)≥0 在 R 上恒成立, 函数 f(x)在 R 递增, 综上,a<0 或 a>4 时,函数 f(x)在(﹣∞,x1) , (x2,+∞)递增,在(x1,
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x2)递减; 0≤a≤4 时,函数 f(x)在 R 递增; (Ⅱ)∵f′(x)=0 有 2 根 x1,x2 且 a>0, ∴a>4 且 ,

∴x1>0,mx1﹣ 即 m>﹣

>0 恒成立等价于 m>

=

恒成立,

+2x2+1 恒成立, ,

令 t=a﹣2(t>2) ,则 x2=

令 g(t)=



t>2 时,函数 g(t)= ∴x2>1,∴﹣ +2x2+1<2,

递增,g(t)>g(2)=1,

故 m 的范围是[2,+∞) .

21.已知椭圆 Γ: 且|AB|=2

+y2=1(a>1)与圆 E:x2+(y﹣ )2=4 相交于 A,B 两点,

,圆 E 交 y 轴负半轴于点 D.

(Ⅰ)求椭圆 Γ 的离心率; (Ⅱ)过点 D 的直线交椭圆 Γ 于 M,N 两点,点 N 与点 N'关于 y 轴对称,求证: 直线 MN'过定点,并求该定点坐标. 【考点】直线与椭圆的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)由题意的 A、B 两点关于 y 轴对称,圆心 E 到 AB 的距离为 1,求 出 B 坐标代入椭圆方程得 a 即可. (Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,N′(﹣x2,y2) .圆 E 交 y 轴负半轴于点 D(0, ﹣ ) ,当直线 MN 斜率存在时,设其方程为: y=kx ﹣ ,直线 MN′ 的方程
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,依据椭圆的对称性,若直线 MN'过定点,定点一定在 y

轴上,令 x=0 ,

=

=

. , ,

【解答】解: (Ⅰ)由题意的 A、B 两点关于 y 轴对称,∵ 圆心 E 到 AB 的距离为 1,∴ 解得 a2=4,∴ . ,∴

,代入椭圆方程得

(Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,N′(﹣x2,y2) . 圆 E 交 y 轴负半轴于点 D(0,﹣ ) , 当直线 MN 斜率存在时,设其方程为:y=kx﹣ ,

消去 y 得(1+4k2)x2﹣4kx﹣3=0.

∴x1+x2=

,x1x2=

, ,

直线 MN′的方程

依据椭圆的对称性,若直线 MN'过定点,定点一定在 y 轴上, 令 x=0 , =

=



当直线 MN 斜率不存在时,直线 MN′的方程为 x=0,显然过点(0,﹣2) . 直线 MN'过定点(0,﹣2)

选修 4-4:坐标系与参数方程

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22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:

(α 为参数) .以 O 为极点,

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8cosθ,直线 l 的 极坐标方程为 .

(Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程与直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与 C1,C2 在第一象限分别交于 A,B 两点,P 为 C2 上的动点,求 △PAB 面积的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)利用参数方程与普通方程转化,求得 C1 的普通方程,将 l 的极坐 标方程为 转化成曲线 C1 的极坐标方程;

(Ⅱ)由 C2 的直角坐标方程为(x﹣4)2+y2=16,求得 ρ12﹣2ρ1﹣3=0,代入求得 ρ1,ρ2,求得丨 AB 丨,AB 为底边的△PAB 的高的最大值为 4+2 的面积公式,即可求得△PAB 面积的最大值. 【解答】解: (Ⅰ)依题意得,曲线 C1 的普通方程为(x﹣2)2+y2=7, 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ﹣3=0, 直线 l 的直角坐标方程为 y= x. ) ,B(ρ2, .利用三角形

(Ⅱ)曲线 C2 的直角坐标方程为(x﹣4)2+y2=16,由题意设 A(ρ1, ) , 则 ρ12﹣4ρ1cosθ﹣3=0,即 ρ12﹣2ρ1﹣3=0,得 ρ1=3 或 ρ1=﹣1(舍) , ρ2=8cos =4,则丨 AB 丨=丨 ρ1﹣ρ2 丨=1, =2 . . )=2+ .

C2(4,0)到 l 的距离为 d=

以 AB 为底边的△PAB 的高的最大值为 4+2 则△PAB 的面积的最大值为 ×1×(4+2

选修 4-5:不等式选讲 23.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣m|(m>1) ,若 f(x)>4 的解集是{x|x<0 或 x>4}.
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(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)<a2+a﹣4 有解,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)作出 f(x)的图象,结合题意可得 值. (Ⅱ)求得 f(x)的最小值为 2,可得 2<a2+a﹣4,由此求得 a 的范围. 【解答】解: (Ⅰ)∵m>1,∴ 作出函数 f(x)的图象,如图所示: 由 f(x)>4 的解集为{x|x<0 或 x>4}及函数图象, 可得 ,得 m=3. , ,由此求得 m 的

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)=

,∴f(x)的最小值为 2.

关于 x 的不等式 f(x)<a2+a﹣4 有解,则 2<a2+a﹣4,即 a2+a﹣6>0, 即(a+3) (a﹣2)>0,∴a<﹣3,或 a>2, 实数 a 的取值范围{a|a<﹣3,或 a>2 }.

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2017 年 3 月 29 日

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