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高一数学人教版必修三:1.3.3算法案例进位制(共15张PPT)_图文

1.3 算法案例

进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.
“满二进一”就是二进制, “满十进一”就是十进制, “满k进一”就是k进制(k叫做基 数). 一小时有六十分用的是六十进制 一个星期有七天用的是七进制 一年有十二个月用的是十二进制 电子计算机用的是二进制

半斤=八两?

十进制
十进制使用0~9十个数字,计数时,几个数字排成一行,从右起, 第一个是个位,个位上的数字是几,就表示几个一;第二位是十位, 十位上的数字是几,就表示几个十;接着依次是百位,千位,万 位…… 例如,十进制数3721表示有:1个1,2个10, 7个百即7个10 的平方,3个千即3个10的立方
0 3721 ? 3 ?103 ? 7 ?102 ? 2 ?101 ? 1?10 为了区分不同的进位制,

常在数的右下角标明基数. ,由 与十进制类似,其他的进位制也可以按照位置原则计数 十进制数一般不标注基数. 于每一种进位制的基数不同,所用的数字个数也不同 .如二进制 用0和1两个数字,七进制用0~6七个数字. 一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式:

an an?1 ? ? ? a1a0( k ) (0 ? an ? k ,0 ? an?1 ,? ? ?, a1 , a0 ? k ).
如:10212 (3) 193 2376 (8)

练习1:判断下列数表达是否正确?

(1) 12(2)

(2) 061(7)

(3) 291(8)

1、如何将k进制数转化为十进制数?
我们再回忆一下刚才的例子:

3721 ? 3 ?103 ? 7 ?102 ? 2 ?101 ? 1?100
其他进位制的数也可以表示成不同位上的数字与基数 的幂的乘积之和的形式,如: 110011(2)= 1×25+1 ×24+ 0×23+0 ×22 +1×21+1 ×20

7342(8)= 7×83+3×82+4×81+2×80
即:

anan?1 ? ? ? a1a0(k ) ? ank n ? an?1k n?1 ? ? ? ? ? a1k1 ? a0k 0

练习2:把下列数化为十进制数
(1) 1011010(2) =90
(2) 10212(3) =104 (3) 2376(8) =1278

练习3:
(1)110011(2)、324(5)、123(4)、55(6) 324(5) 四个数中最大的一个是_______ (2)已知k进制的数132(k)与十进制的数30相 4 等,那么k等于_______

2、如何将十进制数转化为二进制数? 例 把89化为二进制数
这种算法叫做除 2+ 取余法 , 还可以用下面的除法算式表示 解: 89=2×44 44 = 2×22+0 22= 2×11: +0 1 11= 2× 5+ 5= 2× 2+1 2= 2× 1+0 余数 21 89 1= 2× 0+2 1 44 1 所以89=2×(2×(2 ×(2 ×(2 × 2 22 0 2 +1)+1)+0)+0)+1 2+1)+1)+0)+0)+1 =2×(2×(2×( 2 ×( 2 2 11 0 3 =2×(2×(2×(2 +2+1)+0)+0)+1 52+0)+ 1 0)+1 2 22+ =2×(2×(24+ 1 1 =2×(25+23 +2 22+2 0+0)+ 1 20 0 2 0+ =26+24 + 23+0+ 3+0×22+0×21+1×20 1 89=1×26+0×25+1×240 +1×2 注意: 所以: 89=1011001 1. 最后一步商为 0 , ( 2)
2.将上式各步所得的余数从下到上排列,得到: 89=1011001(2)

3、十进制转化为其它进制
例:把89化为五进制数. 解:根据除k取余法 以5作为除数,相应的除法算式为:

5 5

89 17 5 3 0

余数
4 2 3

所以,89=324(5)

例1拓展提升:

53(8)=
八进制

101011

(2)

十进制

二进制

2 、已知10b1(2)=a02(3),求数字a, b的值. 解:10b1(2)=1×23+b×2+1=2b+9. a02(3)=a×32+2=9a+2.
所以2b+9=9a+2,即9a-2b=7. 故a=1,b=1.

小结
? 1.进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位

置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数, 基数为k,即可称k进位制,简称k进制。k进制需要使 用k个数字.
? 2.十进制与k进制之间转化的方法:

先把这个k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘 积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果.
? 3.十进制数转化为k进制数的方法:(除k取余法)

用k连续去除该十进制数或所得的商,直到商为零 为止,然后把每次所得的余数倒着排成一个数,就是 相应的k进制数.

设计一个程序,把k进制化为十进制.

开始

设计一个算法,把k 进制数a(共有n位)化为十进制数?
输出a,k,n

算法步骤如下:

INPUT“a,k,n=”;a,k,n b=0 b=0 算法分析: 第一步 ,输入a,k和n的值. i=1 i=1 a的右数第i位数 T=aMOD10 从前面的例题的计算过程可以看出,计算 k 进制数 第二步 ,将i-1 b的值初始化为0,i 的值 i-1 DO 字a i 与k 初始化为 1. 的乘积ai ·k ,再将其累加,这是一个重复操作的步骤.所 b=b+t*k^(i-1) 把a的右数第i位数字赋给t 以,可以用循环结构来构造算法 . a=a\10 第三步t=aMOD10 ,b=b+ ai · ki-1,i=i+1. 算法步骤如下 : i=i+1 b=b+t· ki-1 第四步 ,判断 i>n 是否成立 .若是 LOOP UNTIL i>n 第一步 ,输入 a,k 和n的值 . ,则 PRINT ; b 执行第五步 否则,返回第三步. 第二步,将b的值初始化为0,i的值初始化为1. i=i+1 END

第五步,输出b的值. 第三步,b=b+ ai · ki-1,i=i+1.
i>n?

否 是 输出b

第四步,判断i>n是否成立.若是,则执行第五步;否则,返回第三步.

第五步,输出b的值.

结束

设计一个程序,实现“除k取余法”.
算法步骤:
第一步,给定十进制正整数a和转化后的数的基数k; 第二步,求出a 除以k 所得的商q ,余数r; 第三步,把得到的余数依次从右到左排列. 第四步,若q≠0,则a=q,返回第二步;否则,输出全部余数r排 列得到的k进制数.

开始
输入a,k 求a除以k的商q 求a除以k的余数r 把得到的余数依次从右到左排列 a=q q=0? 是 输出全部余数r排列得到的k进制数 结束 否

程序:

INPUT “a,k=”;a,k b=0

i=0
DO q=a\k

r=a MOD k
b=b+r*10^i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END


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