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利用导数求函数最值(精华)_图文

复习 求函数f(x)的极值的步骤: (1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根(x为极值点.) (3)用函数的导数为0的点,顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间,并 列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的 值的符号,求出极大值和极小值.

8 练习:求函数 y ? 2 x ? 的极值 x

x=-2时,y有极大值-8, 当x=2时,y有极小值8

练习: 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在 x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0 , 试求a,b,c的值 . 4 2 提示:y' ? 5ax ? 3bx . ' ? 0.得 由y

x ( 5ax - 3b ) ? 0
2 2

? x ? ?1是极值点, 5a - 3b ? 0 ? 又? x ? 0
2

? x=0,x= ? 1可能是极值点。

练习: 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1 时有极值,极大值为4,极小值为0 ,试求a,b,c 的值 .
若a>0,y' ? 5ax 2 ( x 2 ? 1 ). 由x,y,y' 的变化得
(0,1) 1 0
极小

x (??,1) -1 (-1,0) 0 ?
f ?(x)

(1,+∞) +

+

0
极大

-

0
无极值

f (x)

??a ? b ? c ? 4 ?a ? 3 ? ? ? ?a ? b ? c ? 0 ? ?b ? 5 ?5a ? 3b ?c ? 2 ? ?

练习: 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1 时有极值,极大值为4,极小值为0 ,试求a,b,c 的值 .
若a<0,y' ? 5ax ( x ? 1 ). 由x,y,y' 的变化得
2 2

?a ? -3 ? ?b ? -5 ?c ? 2 ?

练习3:
求函数y ? x - 3ax ? 2(a ? 0)的极值,并问方程
3

x - 3ax ? 2 ? 0何时有三个不同的实根?
3

何时有连个根?有唯一的实根?
? a>0,y' ? 3x ? 3a由x,y,y' 的变化得 .
2

x
f ?(x)

(? ?, a) ? a ( ? a , a ) ?

a

( a , ?? )

+

0
极大

-

0
极小

+

f (x)

x
f ?(x)

(? ?, a) ? a ( ? a , a ) ?

a

( a , ?? )

+

0
极大

-

0
极小

+

f (x)

?当f( a) 2 ? 2 ? 0, ? 即a>1时, 方程有三个不同的根; 当a=1时,有两个根。 当0<a<1时,有唯一根
? a

3 2

y

a

x

作业:
1.已知函数f(x)=x? -3ax? +2bx在点x=1处有 极小值-1,试确定a,b的值,并求出f(x)的 单调区间。
2.三次函数f(x)=x3+ax2+x在区间[-1,1] 上有极大值和极小值,求常数a的取值 范围.

3.3.3 最大值与最小值

新课讲授
一.最值的概念(最大值与最小值) 如果在函数定义域I内存在x0,使 得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值. 最值是相对函数定义域整体而言的.

?a, b?
f (x)

注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;
2.最大值一定比最小值大.

观察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值? 极大: x = x1 极小: x = x2

x = x3 x = x4

x = x5

(2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么?

ymax ? f ( x3 )

ymin ? f ( x4 )
x1 x 2 x3

x4

x5

观察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值? 极大: x = x2 极小: x = x1

x = x3

(2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么? y y ? f (x)

ymax ? f (a)

ymin ? f ( x1 )
a O

x1 x2 x3 b

x

二.如何求函数的最值?
(1)利用函数的单调性;

如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.
(2)利用函数的图象; 如:求y=(x-2)2+3在区间[1,3]上的最值.

(3)利用函数的导数;

求函数 y = f (x) 在[a,b]上的最大值与 最小值的步骤如下:
(1) 求函数 y = f (x) 在 ( a, b ) 内的极值; (2) 将函数 y = f (x) 的各极值点与端 点处的函数值f (a), f (b) 比较, 其中最 大的一个是最大值, 最小的一个是最 小值.

例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1, 5]内的最大值和最小值
解:f ′(x)=2x- 4 令f′(x)=0,即2x–4=0,得x =2 x
f ?(x)

1

(1,2) -

2 0
2

(2,5) +

5

f (x)

3

11

故函数f (x) 在区间[1,5]内的最大值 为11,最小值为2

若函数f(x)在所给的区间I内有唯一的极值,则它是函数的 最值

1 3 例2 求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4在[0,3]上的最大值与最小值. 3 解: 令 f ?( x) ? x 2 ? 4 ? 0, x ?[0,3]
解得 x = 2 . 当0≤x<2时,f’(x)<0;当2<x≤3时,f’(x)>0

4 所以当 x = 2 时, 函数 f (x)有极小值 f (2) ? ? . 3 又由于 f (0) ? 4, f (3) ? 1, 1 3 所以, 函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最大值是4, 3 4 最小值是 ? . 3

练 习
1 4 1 3 1 2 函数 y ? x ? x ? x ,在 4 3 2
[-1,1]上的最小值为(
A.0 B.-2 C.-1

A

)

D.13/12

4x 2、函数 y ? 2 x ?1



C



A.有最大值2,无最小值 B.无最大值,有最小值-2 C.最大值为2,最小值-2 D.无最值

3、函数 f (x)? 2 x ? cos x在(-?,+?)上( )
A.是增函数 C.有最大值 B.是减函数 D.最小值

1 例3、求f ( x) ? x ? sin x在区间 2 [0,2π]上的最值.
解:

函数f(x)的最大值 是π , 最小值是0.

已知三次函数f(x)=ax? -6ax? +b.问是否存在实数a,b,使 f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29,若存在,求出 a,b的值;若不存在,请说明理由。

已知三次函数f(x)=ax? -6ax? +b.问是否存在实数a,b,使 f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29,若存在,求出 a,b的值;若不存在,请说明理由。


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