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《金识源专版》高中新人教A版必修2数学课件2.3.1直线与平面垂直的判定1_图文

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

第二章
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定

1

优效预习

2

高效课堂

3

当堂检测

4

课后强化作业

优效预习

●知识衔接
? 1①.等在腰初三中角平形面底几边何上中的能中够线转_垂_化_直_为平_分_垂__直__关底系边的;有②:菱 形对角线互相____垂_直__平_分__;③正方形对角线互相 ___垂_直_平_分____;④圆的直径所对圆角等于__________.
? 2.90在° 上一节,我们已经学习了直线与平面平行的 判定定理和平面与平面平行的判定定理及其应用, 线面平行、面面平行的判定最终归结为线线平行的 判定,并且研究了线面平行和面面平行的三种判定 方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3)反证法.

●自主预习

? 1.直线与平面垂直

定义

如果直线l与平面α内的__任_意__一_条____直线都垂直,我 们就说直线l与平面α互相垂直

记法

l⊥α

有关 直线l叫做平面α 的__垂_线_____,平面α 叫做直线l的 概念 _垂_面_____.它们唯一的公共点P叫做_垂__足_____.

图示

画法

画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直

? [破疑点] (1)定义中的“任意一条直线”这 一词语与“所有直线”是同义语,与“无数 条直线”不是同义语.
? (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种 特殊形式.
? (3)由直线与平面垂直的定义,得如果一条直 线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于该 平面内的任意一条直线.

? 2.判定定理
文字 一条直线与一个平面内的两条___相_交____直线都垂 语言 直,则该直线与此平面垂直

图形 语言

符号 语言

l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,_____a_∩_b=__P_?l⊥α

作用 判断直线与平面____垂_直_____

? [破疑点] 直线与平面垂直的判定定理告诉我 们:可以通过直线间的垂直来证明直线与平 面垂直.通常我们将其记为“线线垂直,则 线面垂直”.因此,处理线面垂直转化为处 理线线垂直来解决.也就是说,以后证明一 条直线和一个平面垂直,只要在这个平面内 找到两条相交直线和已知直线垂直即可.

? 3.直线和平面所成的角
? (1)定义:一条直线和一个平面_____相__交_,但不和这 个平面______垂_直_,这条直线叫做这个平面的斜线, 斜线和平面的______叫交点做斜足.过斜线上斜足以外 的一点向平面引______垂,线过________垂和足________的 直线叫做斜足斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜 线和它在平面上的射影所成的________,叫做锐这角 条 直线和这个平面所成的角.

(2)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于 ___9_0_°_____;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们 所成的角等于___0_°______.因此,直线与平面所成的角的范围是
_???_0_,__π2_??? ____.

●预习自测
? 1.直线l⊥平面α,直线m?α,则l与m不可能( ) ? A.平行 B.相交 ? C.异面 D.垂直 ? [答案] A ? [解析] ∵直线l⊥平面α,∴l与α相交, ? 又∵m?α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直
的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.

? 2.直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关 系是( )
? A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂直
? C.l在平面α内 D.不能确定
? [答案] D
? [解析] 如下图所示,直线l和平面α相互平行,或直线l和平 面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.故选D.

? 3.如右图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍, 则AB与平面α所成的角是( )
? A.60° B.45° ? C.30° D.120° ? [答案] A
[解析] ∠ABO 即是斜线 AB 与平面 α 所成的角,在 Rt△ AOB 中,AB=2BO,所以 cos∠ABO=12,即∠ABO=60°.
? [点评] 垂线段、斜线段及其射影构成直角三角形.

? 4.如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求证:AC⊥平面BDD1B1.
? [分析] 转化为证明AC⊥BD,AC⊥BB1.

? [证明] ∵BB1⊥AB,BB1⊥BC,
? ∴BB1⊥平面AC,
? 又AC?平面AC,∴BB1⊥AC. ? 又四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC.又BD?
平面BDD1B1,BB1?平面BDD1B1,BB1∩BD=B,
? ∴AC⊥平面BDD1B1.

高效课堂

●互动探究

线面垂直的判定

?

如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥

平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.

求证:

? (1)BC⊥平面PAB;

? (2)AE⊥平面PBC;

? (3)PC⊥平面AEF.

? [探究] 本题是证线面垂直问题,要多观察题目中的一些“垂直”关系, 看是否可利用.如看到PA⊥平面ABC,可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC, 这些垂直关系我们需要哪个呢?我们需要的是PA⊥BC,联系已知,问题 得证.
? [证明] (1)∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
? ∴PA⊥BC.
? ∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC.
? 又AB∩PA=A,∴BC⊥平面PAB.

? (2)∵BC⊥平面PAB,AE?平面PAB,∴BC⊥AE. ? ∵PB⊥AE,BC∩PB=B,
? ∴AE⊥平面PBC.
? (3)∵AE⊥平面PBC,PC?平面PBC,
? ∴AE⊥PC.∵AF⊥PC,AE∩AF=A,
? ∴PC⊥平面AEF.

?

规律总结:线面垂直的判定定理的应



? (1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线 与平面垂直的步骤:

? ①在这个平面内找两条直线,使它和这条直 线垂直;

? ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线;

? ③根据判定定理得出结论.

? (2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线 与平面垂直的技巧:
? 证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找 隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进 而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、 梯形底边的中线、高;菱形、正方形的对角 线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直 的方法.

? 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC
所在平面外一点,且SA=SB=SC.
? (1)求证:SD⊥平面ABC;
? (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
? [探究] 题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等,AB⊥BC,D 是AC的中点,要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂 直,故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系,要证 (2),需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直,而(1)的 结论可利用.

? [证明] (1)因为SA=SC,D是AC的中点,
? 所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,
? 由已知SA=SB,所以△ADS≌△BDS, ? 所以SD⊥BD,又AC∩BD=D,
? 所以SD⊥平面ABC.
? (2)因为AB=BC,D为AC的中点, ? 所以BD⊥AC,由(1)知SD⊥BD,
? 又因为SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.

?

规律总结:利用直线与平面垂直的判

定定理证明直线与平面垂直的步骤:

? (1)在这个平面内找两条直线,使它和这条直 线垂直;

? (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线;

? (3)根据判定定理得出结论.

线面角

?

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

? (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值; ? (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.

? [探究] 求线面角的关键是找出直线在平面内的射影,为此 须找出过直线上一点的平面的垂线.(2)中过A1作平面BDD1B1 的垂线,该垂线必与B1D1、BB1垂直,由正方体的特性知, 直线A1C1满足要求.

[解析] (1)∵直线 A1A⊥平面 ABCD,∴∠A1CA 为直线 A1C

与平面 ABCD 所成的角,设 A1A=1,则 AC= 2,

∴tan∠A1CA=

2 2.

(2)连接 A1C1 交 B1D1 于 O,在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥ B1D1,∵BB1⊥平面 A1B1C1D1,A1C1?平面 A1B1C1D1,∴BB1 ⊥A1C1,
又 BB1∩B1D1=B1,∴A1C1⊥平面 BDD1B1,垂足为 O. ∴∠A1BO 为直线 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角, 在 Rt△A1BO 中,A1O=12A1C1=12A1B,∴∠A1BO=30°. 即 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角为 30°.

?

规律总结:求线面角的方法:

? (1)求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面 垂直的直线;②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影, 斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归 结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.

? (2)求线面角的技巧:在上述步骤中,其中作角是关键,而确 定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找 射影的依据,射影一般都是一些特殊的点,比如中心、垂心、 重心等.

(2015·枣庄高一检测)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=BC=2,AA1=1,则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值 为( )

A.2 3 2

B.23

C.

2 4

D.13

? [答案] D

[解析] ∵AA1⊥平面 A1B1C1D1, ∴∠AC1A1 为直线 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角, ∵AA1=1,AB=BC=2,∴AC1=3, ∴sin∠AC1A1=AACA11=13.

●探索延拓

线面垂直的综合应用

?

如图,四棱锥P-ABCD

中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面

ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB

的中点.

? (1)求证:EF⊥平面PAB;

(2)设 AB= 2BC,求 AC 与平面 AEF 所成角的正弦值.

? [探究] (1)要证线面垂直,需证平面内有两
条相交直线与已知直线垂直,而根据条件易 得EF⊥PB,EF⊥AF,所以本题得证;(2)要求
线面角,得先找出或作出这个角.根据条件
易得BP⊥平面EFA.故在△BEF中,只需过AC
与BE的交点G作BF的平行线GH,则GH⊥平面 EFA,∠GAH为所求角.

? [解析] (1)证明:连结BE,EP. ? ∵ED=CE,PD=AD=BC, ? ∴Rt△PDE≌Rt△BCE,∴PE=BE.
? ∵F为PB中点,∴EF⊥PB. ? ∵PD⊥底面ABCD,DA⊥AB,∴PA⊥AB.
? 在Rt△PAB中,∵PF=BF,∴PF=AF. ? 又∵PE=BE=EA,∴△EFP≌△EFA,
∴EF⊥FA. ? ∵PB∩AF=F,∴EF⊥平面PAB.

(2)不妨设 BC=1,则 AD=PD=1,AB= 2,PA= 2,AC = 3.
∴△PAB 为等腰直角三角形,且 PB=2.
∵F 是 PB 的中点,∴BF=1,AF⊥PB.
∵AF∩EF=F,∴PB⊥平面 AEF. 设 BE 交 AC 于点 G,过点 G 作 GH∥PB 交 EF 于点 H,则 GH⊥平面 AEF.故∠GAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角.

由△EGC∽△BGA 可知,EG=12GB,AG=2CG,

∴EG=13EB,AG=23AC=2

3

3 .

由△EGH∽△EBF,可知 GH=13BF=13.

∴sin∠GAH=GAGH= 63,

∴AC

与平面

AEF

所成角的正弦值为

3 6.

?

规律总结:(1)中还可取AB中点Q,连结

EQ,FQ,证明AB⊥平面EFQ,则AB⊥EF,加

上EF⊥PB,则EF⊥平面PAB.(2)中在求线面角

时,首先得找出或作出这个角,再解三角形

求角.

? 如图,AB为⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在 的平面,M为圆周上任意一点,AN⊥PM,N 为垂足.
? (1)求证:AN⊥平面PBM.
? (2)若AQ⊥PB,垂足为Q,求证:NQ⊥PB.
[探究] 根据PA⊥平面ABM,证得BM⊥平面PAM,再利用线面垂直的判定定 理证明AN⊥平面PBM.而证线线垂直,可先证线面垂直.

? [证明] (1)∵AB为⊙O的直径, ? ∴AM⊥BM. ? 又PA⊥平面ABM,∴PA⊥BM. ? 又∵PA∩AM=A,∴BM⊥平面PAM. ? 又AN?平面PAM,∴BM⊥AN. ? 又AN⊥PM,且BM∩PM=M, ? 又AN⊥平面PBM.

? (2)由(1)知AN⊥平面PBM,
? PB?平面PBM,∴AN⊥PB.
? 又∵AQ⊥PB,AN∩AQ=A, ? ∴PB⊥平面ANQ. ? 又NQ?平面ANQ,∴PB⊥NQ.
规律总结:证明线面垂直时,在平面内找两条相交直线是关键,同时 注意判定定理的条件.

●误区警示 易错点一 在几何题的证明中,只考虑平面情形,而忽略空间情形

?

已知四边形ABCD中,四个角∠ABC,∠BCD,

∠CDA,∠DAB都是直角,求证:四边形ABCD是矩形.

? [错解] ∵四边形ABCD中,四个角∠ABC,∠BCD,∠CDA, ∠DAB都是直角,∴四边形ABCD是矩形.

? [错因分析] 把ABCD当作平面四边形(未加共面证明)就得出 结论.

? [思路分析] 四边形ABCD有两种存在形式: 平面四边形ABCD和空间四边形ABCD,需分类 证明.
? [正解] 当四边形ABCD是平面图形时,它显 然是矩形.
若四边形ABCD是空间四边形时,可设点C在平面 ABD之外.如图,过点C作CC1⊥平面ABD,则AB⊥面 BCC1,∴∠ABC1=90°.同理,∠ADC1=90°.

又∵∠BAD=90°,∴∠BC1D=90°, ∴BD2=BC21+DC21. 又∵∠BCD=90°,∴BD2=BC21+DC21=BC2+DC2. 而事实上,BC2+DC2>BC21+DC21,矛盾. ∴点 C 在平面 ABD 内,即四边形 ABCD 是矩形.

? 如图所示,a∥b,点P在a,b所确定的平面外,
PA⊥a于点A,AB⊥b于点B.求证PB⊥b.
? [错解] ∵PA⊥a,a∥b,∴PA⊥b,
? ∴PA⊥平面α,∴PB⊥b.
? [错因分析] 上述证法的错误在于没有正确使 用线面垂直的判定定理,由PA⊥a,PA⊥b, 得PA⊥α,忽略了a与b不相交.

? [正解] ∵PA⊥a,a∥b,∴PA⊥b.
? 又∵AB⊥b,且PA∩AB=A,∴b⊥平面PAB.
? 又∵PB?平面PAB,∴PB⊥b.

当堂检测

? 1.若直线a与平面α内的两条直线垂直,则直 线a与平面α的位置关系是( )
? A.垂直 B.平行
? C.斜交或在平面内 D.以上均有可能
? [答案] D
? [解析] ∵a与α内的两条直线垂直,而这两 条直线的位置关系不确定,∴a与α可能平行、 垂直、斜交或a在α内.

? 2.如果一条直线垂直于一个平面内的:
? ①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径; ④正六边形的两条边.
? 则能保证该直线与平面垂直( ) ? A.①③ B.①② ? C.②④ D.①④ ? [答案] A ? [解析] 三角形的两边,圆的两条直径一定是相交
直线,而梯形的两边,正六边形的两条边不一定相 交,所以保证直线与平面垂直的是①③.

? 3.下列命题中正确的个数是( )

? ①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;

? ②如果直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;

? ③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;

? ④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂 直.

? A.0

B.1

? C.2

D.3

? [答案] B

? [解析] 只有④正确.

? 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与 平面ABCD所成的角等于________.
? [答案] 45°
[解析] 如图所示,因为正方体ABCD-A1B1C1D1 中,B1B⊥平面ABCD,所以AB即为AB1在平面ABCD中 的射影,∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角.由 题意知,∠B1AB=45°,故所求角为45°.
规律总结:求直线与平面所成的角的关键是找出平面的垂线,从而找 出直线在平面内的射影.

5.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长 为 1 的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD= 2.
(1)求证:PA⊥平面 ABCD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.

[分析]

利用线面垂直的判定 分别求出四棱锥 定理证明线面垂直 → 的底面面积和高

计算出该四 → 棱锥的体积

[解析] (1)证明:因为四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA=1,PD= 2,
所以 PD2=PA2+AD2,所以 PA⊥AD,
又 PA⊥CD,AD∩CD=D,所以 PA⊥平面 ABCD.
(2)四棱锥 P-ABCD 的底面积为 1, 因为 PA⊥平面 ABCD, 所以四棱锥 P-ABCD 的高为 PA=1, 所以四棱锥 P-ABCD 的体积为13.


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