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山东省2016届高三数学一轮复习 专题突破训练 立体几何 文

山东省 2016 届高三数学文一轮复习专题突破训练 立体几何
一、选择、填空题 1、(2015 年高考)已知等腰直角三角形的直角边的长为?,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转 一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( (?) ????(?) )

????( )? 2 2? ????( )? 4 2? ???

13.2、(2014 年高考)一个六棱锥的体积为 2 3 ,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等, 则该六棱锥的侧面积为 。

3、(2013 年高考)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图 1-1 所示,则 该四棱锥侧面积和体积分别是( )

图 1-1 A.4 5,8 B.4 8 5, 3

8 C.4( 5+1), 3

D.8,8

4、(滨州市 2015 届高三一模)一个四棱锥的底面是正方形,其正视图和侧视图均 为如图所示的等腰三角形,则该四棱锥的侧面积为 5、(德州市 2015 届高三一模)棱长为 2 的正方体被一平面截得的几何体的三视图 如图所示,那么被截去的几何体的体积是 A、

14 3

B、

10 3

C、4

D、3

6、(菏泽市 2015 届高三一模)已知平面 ? , ? ,直线 l , m ,且有 l ? ? , m ? ? ,给出下列命题: ①若 ? // ? ,则 l ? m ;②若 l // m ,则 ? ? ? ;③若 ? ? ? ,则 l // m ;④若 l ? m ,则 ? // ? ,

1

其中正确命题个数有( A.1 B.2

) C.3 D.4

7、(济宁市 2015 届高三一模)已知 m, n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是 A.若 m / /? , n / /? , 则m / / n C. 若 m ? ? , m ? n, 则n / /? B. 若 m ? ? , n ? ? , 则m ? n D.若 m / /? , m ? n,则n ? ?

8、(莱州市 2015 届高三一模)某几何体的三视图如图所示,且该 几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是 A.2 C. B.

9 2

3 2

D.3

9、 (青岛市 2015 届高三二模)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱 锥的体积是 32 ;

10、(日照市 2015 届高三一模)已知某几何体的三视图如右上图,则该几何体的表面积是 A.24 C.36 B. 36 ? 6 2 D. 36 ? 12 2

11、(山东省实验中学 2015 届高三一模)某个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.30 B.40 C.24 D.72 12、 (泰安市 2015 届高三二模)已知某锥体的正视图和侧视图如图, 其体积为 ,则该椎体的俯视图可以是()

2

A.

B.

C.

D.

13、(潍坊市 2015 届高三二模)设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 m // ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? ; C.若 m // ? , n ? ? , m ? n ,则 ? // ? ; B.若 m // ? , n ? ? , m // n ,则 ? ? ? ; D.若 m // ? , n ? ? , m // n ,则 ? // ? ;

14、(潍坊市 2015 届高三二模)已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,底面△ABC 是 边长为 1 的正三角形,棱 SC 是球 O 的直径且 SC=2,则此三棱锥的体积为 A.

2 6 2 3

B.

3 6 2 2

C.

D.

15、已知 m , n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则下列命 题中正确的是 A.若 l ? m , l ? n ,且 m, n ? ? ,则 l ? ? B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D.若,则 m ? ?

3

二、解答题 1、(2015 年高考)如图,三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2 DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (I)求证: BD / / 平面 FGH ; (II)若 CF ? BC,AB ? BC, 求证:平面 BCD ? 平面 EGH .

2、 (2014 年高考) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, AP ? 平面PCD, AD // BC, AB ? BC ? 分别为线段 AD, PC 的中点。 (Ⅰ)求证: AP // 平面BEF (Ⅱ)求证: BE ? 平面PAC

1 AD , E , F 2

3、 (2013 年高考)如图,四棱锥 P—ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA, AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点. (1)求证:CE∥平面 PAD; (2)求证:平面 EFG⊥平面 EMN.

4、(滨州市 2015 届高三一模) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正 三角形,AC 与 BD 的交点 M 是 AC 的中点,?CAD ? 30 , AB ? 2 , 点N
?

在线段 PB 上,且

PN 1 ? 。 NB 3

(1)求证: BD ? PC ; (2)求证: MN // 平面 PDC 。

4

5、(德州市 2015 届高三一模)在如图所示的几何体中,四边形 CDEF 为正方形,ABCD 为等腰梯形, AB∥CD,BD=2 3 ,AB=2AD=4,AE⊥BD。 (I)求证:BD⊥平面 ADE; (II)点 M 为 BD 的中点,证明:BF∥平面 ECM。

6、(菏泽市 2015 届高三一模) 如图,将边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 翻折,连接 AC、FD,形成如图所示的多面体, 且 AC ? 6 (1)证明:平面 ABEF ? 平面 BCDE; (2)求三棱锥 E ? ABC 的体积

7、(济宁市 2015 届高三一模) 如图,已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形,

AD / / BC , CE / / BG,且?BCD ? ?BCE ?

?
2



平面 ABCD ? 平面BCEG, BC ? CD ? CE ? 2 AD ? 2BG ? 2. (I)求证: EC ? CD ; (II)求证:AG//平面 BDE; (III)求几何体 EGBDC 的体积.

8、 (莱州市 2015 届高三一模) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD中,PA ? 平面 ABCD, ?ABC ? ?ACD ? 90 , ?BAC ? ?CAD ? 60 ,E 为 PD
? ?

的中点,F 在 AD 上且 ?FCD ? 30 .[
?

(1)求证:CE//平面 PAB; (2)若 PA=2AB=2,求四面体 PACE 的体积.

5

9、 (青岛市 2015 届高三二模)如图,在正四棱台 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1B1=a,AB=2a,

,E、

F 分别是 AD、AB 的中点. (Ⅰ)求证:平面 EFB1D1∥平面 BDC1; (Ⅱ)求证:A1C⊥平面 BDC1. 注:底面为正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心,这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个 平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥,底面与截面之间的部分叫做正四棱台.

10、(日照市 2015 届高三一模) 如图,已知四边形 ABCD 是正方形, PD ? 平面 ABCD,CD=PD=2EA,PD//EA,F,G,H 分别为 PB,BE, PC 的中点. (I)求证:GH//平面 PDAE; (II)求证:平面 FGH ? 平面 PCD.

11、(山东省实验中学 2015 届高三一模) 如图在四棱锥 P — ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD ⊥底面 ABCD ,且 ,设 E、F 分别为 PC,BD 的中点。 (1)求证:EF//平面 PAD; (2)求证:面 PAB⊥平面 PDC。

6

12、 (泰安市 2015 届高三二模)如图,三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥底面 ABC,D 是 AB 的中点,AB=2DC, E 是 PA 的中点,F 是△ACD 的重心. (I)求证:BC⊥平面 PAC; (II)求证:EF∥平面 PBC.

13、(潍坊市 2015 届高三二模) 如图,边长为 DC=BC=

2 的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,其中 AB ∥ CD , AB ⊥ BC ,

1 AB=1,点 M 在线段 EC 上。 2

(Ⅰ)证明:平面 BDM⊥平面 ADEF; (Ⅱ)判断点 M 的位置,使得三棱锥 B—CDM 的体积为

2 。 18

14、如图,四边形 ABCD 中, AB ? AD ,AD∥BC,AD =6,BC =4,AB =2,点 E、F 分别在 BC、AD 上, EF∥AB. 现将四边形 ABEF 沿 EF 折起, 使平面 ABCD ? 平面 EFDC, 设 AD 中点为 P. ( I )当 E 为 BC 中点时,求证:CP//平面 ABEF (Ⅱ)设 BE=x,问当 x 为何值时,三棱锥 A-CDF 的体积有 最大值?并求出这个最大值。 15、如图,已知 AB ? 平面 ACD,DE//AB,△ACD 是正三角形,

AD ? DE ? 2 AB, 且 F 是 CD 的中点.
(I)求证:AF//平面 BCE; (II)求证:平面 BCE ? .

7

参考答案 一、选择、填空题 1、【答案】B

考点:1.旋转体的几何特征;2.几何体的体积. 2、【解析】:设六棱锥的高为 h ,斜高为 h ? , 则由体积 V ?

1 ?1 ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin 60? ? 6 ? ? h ? 2 3 得: h ? 1 , h? ? 3 ?2 ?

? 3?

2

? h2 ? 2

1 ? 侧面积为 ? 2 ? h? ? 6 ? 12 . 2
答案:12 1 2 3、B [解析] 由正视图知该几何体的高为 2,底面边长为 2,斜高为 2 +1= 5,∴侧面积=4× 2 1 8 ×2× 5=4 5,体积为 ×2×2×2= . 3 3 4、16 5 5、C 6、B 7、B 8、D 9、解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底面边长为 8,该边上的高为 6 的三棱锥, 且三棱锥的高为 4; ∴该三棱锥的体积为 V 三棱锥= × 8×6×4=32.

故答案为:32. 10、答案 B.解析:由题意知该几何体为四棱锥,底面是长为 4 、宽为 3 的长方形,一条侧棱和底面

? 5+4 2 ?) 3 =24+6 ,2 垂 直 . 又 故 侧 面 积 为 (4 ? 4+3? 4+4 底 面 积 12 , 所 以 表 面 积 为

1 2

36+6 2.故选 B.
11、B 12、解答: 解:∵锥体的正视图和侧视图均为边长为 2 的等边三角形, 故锥体的高为 ,

8

又∵锥体的体积为



故锥体的底面面积为 2, A 中图形的面积为 4,不满足要求; B 中图形的面积为 π ,不满足要求; C 中图形的面积为 2,满足要求; D 中图形的面积为 ,不满足要求; 故选:C 13、B 14、A 15、D 二、解答题 1、【答案】证明见解析

思路二: 在三棱台 DEF ? ABC 中,由 BC ? 2 EF , H 为 BC 的中点, 可得 HBEF 为平行四边形, BE / / HF . 在 ?ABC 中, G,H 分别为 AC,BC 的中点, 得到 GH / / AB, 又 GH ? HF ? H , 得到平面 FGH / / 平面 ABED . (II)证明:连接 HE .根据 G,H 分别为 AC,BC 的中点,得到 GH / / AB, 由 AB ? BC , 得

GH ? BC ,又 H 为 BC 的中点,得到四边形 EFCH 是平行四边形,从而 CF / / HE.
又 CF ? BC ,得到 HE ? BC . 试题解析:(I)证法一:连接 DG , CD. 设 CD ? GF ? M ,连接 MH ,在三棱台 DEF ? ABC 中,

AB ? 2 DE,G 分别为 AC 的中点, 可得 DF / / GC , DF ? GC , 所以四边形 DFCG 是平行四边形,
则 M 为 CD 的中点,又 H 是 BC 的中点,所以 HM / / BD , 又 HM ? 平面 FGH , BD ? 平面 FGH ,所以 BD / / 平面 FGH .

9

证法二:在三棱台 DEF ? ABC 中,由 BC ? 2 EF , H 为 BC 的中点, 可得 BH / / EF , BH ? EF , 所以 HBEF 为平行四边形,可得 BE / / HF . 在 ?ABC 中, G,H 分别为 AC,BC 的中点, 所以 GH / / AB, 又 GH ? HF ? H , 所以平面 FGH / / 平面 ABED , 因为 BD ? 平面 ABED , 所以 BD / / 平面 FGH .

(II)证明:连接 HE .因为 G,H 分别为 AC,BC 的中点,所以 GH / / AB, 由 AB ? BC , 得

GH ? BC ,又 H 为 BC 的中点,所以 EF / / HC , EF ? HC , 因此四边形 EFCH 是平行四边形,所
以 CF / / HE. 又 CF ? BC ,所以 HE ? BC . 又 HE , GH ? 平面 EGH , HE ? GH ? H ,所以 BC ? 平面 EGH , 又 BC ? 平面 BCD ,所以平面 BCD ? 平面 EGH . 考点:1.平行关系;2.垂直关系. 2、【解析】:(Ⅰ)连接 AC 交 BE 于点 O,连接 OF,不妨设 AB=BC=1,则 AD=2

? AB ? BC, AD // BC, ? 四边形 ABCE 为菱形

10

?O, F分别为AC, PC中点, ?OF // AP
又? OF ? 平面BEF,AP ? 平面BEF ? AP / /平面BEF (Ⅱ)? AP ? 平面PCD,CD ? 平面PCD,? AP ? CD

? BC // ED, BC ? ED,? BCDE为平行四边形, ? BE // CD
,? BE ? PA

又? ABCE为菱形, ? BE ? AC

又? PA ? AC ? A, PA、AC ? 平面PAC ,? BE ? 平面PAC
3、证明:(1)证法一:取 PA 的中点 H,联结 EH,DH. 因为 E 为 PB 的中点, 1 所以 EH∥AB,EH= AB. 2 1 又 AB∥CD,CD= AB, 2 所以 EH∥CD,EH=CD. 因此四边形 DCEH 是平行四边形. 所以 CE∥DH. 又 DH ?平面 PAD,CE ?平面 PAD, 因此 CE∥平面 PAD.

证法二:联结 CF. 因为 F 为 AB 的中点, 1 所以 AF= AB. 2 1 又 CD= AB, 2 所以 AF=CD. 又 AF∥CD, 所以四边形 AFCD 为平行四边形. 因此 CF∥AD. 又 CF ?平面 PAD, 所以 CF∥平面 PAD. 因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点, 所以 EF∥PA. 又 EF ?平面 PAD, 所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF=F,
11

故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE ?平面 CEF, 所以 CE∥平面 PAD. (2)因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点, 所以 EF∥PA. 又 AB⊥PA, 所以 AB⊥EF. 同理可证 AB⊥FG. 又 EF∩FG=F,EF ?平面 EFG,FG ?平面 EFG, 因此 AB⊥平面 EFG. 又 M,N 分别为 PD,PC 的中点, 所以 MN∥CD. 又 AB∥CD, 所以 MN∥AB, 因此 MN⊥平面 EFG. 又 MN ?平面 EMN, 所以平面 EFG⊥平面 EMN. 4、

5、

12

6、(1)证明:正六边形 ABCDEF 中,连接 AC、BE,交点为 G, 易知 AC ? BE ,且 AG ? CG ? 3 , 在多面体中,由 AC= 6 ,知 AG 2 ? CG 2 ? AC 2 , 故 AG ? GC , ………………………………2 分 又 GC ? BE ? G , GC , BE ? 平面 BCDE, 故 AG ? 平面 BCDE,……………………….5 分 又 AG ? 平面 ABEF,所以平面 ABEF ? 平面 BCDE;…6 分 (2)连接 AE、CE,则 AG 为三棱锥 A ? BCE 的高,GC 为 ?BCE 的高.在正六边形 ABCDEF 中, BE ? 2AF ? 4 , 故 S?BCE ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 3 ,…………..9 分 2
1 所以 VE ? ABC ? VA? BCE ? ? 2 3 ? 3 ? 2 .……12 分 3

7、

13

8、

14

9、解答: 18. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连接 A1C1,AC,分别交 B1D1,EF,BD 于 M,N,P,连接 MN,C1P 由题意,BD∥B1D1 因为 BD?平面 EFB1D1,B1D1? 平面 EFB1D1,所以 BD∥平面 EFB1D1…(3 分)又因为 A1B1=a,AB=2a,所 以 又因为 E、F 分别是 AD、AB 的中点,所以 所以 MC1=NP 又因为 AC∥A1C1,所以 MC1∥NP 所以四边形 MC1PN 为平行四边形 所以 PC1∥MN 因为 PC1?平面 EFB1D1,MN? 平面 EFB1D1,所以 PC1∥平面 EFB1D1 因为 PC1∩BD=P,所以平面 EFB1D1∥平面 BDC1…(6 分) (Ⅱ)连接 A1P,因为 A1C1∥PC,A1C1= ,

所以四边形 A1C1CP 为平行四边形 因为 所以 A1C⊥PC1…(9 分) ,所以四边形 A1C1CP 为菱形

15

因为 MP⊥平面 ABCD,MP? 平面 A1C1CA 所以平面 A1C1CA⊥平面 ABCD, 因为 BD⊥AC,所以 BD⊥平面 A1C1CA 因为 A1C? 平面 A1C1CA,所以 BD⊥A1C 因为 PC1∩BD=P,所以 A1C⊥平面 BDC1.…(12 分)

10、解:(Ⅰ)分别取 PD 的中点 M ,EA 的中点 N . 连结 MH ,NG,MN .

1 MH ? CD =2 , 因为 G,H 分别为 BE,PC 的中点,所以

1 NG ? AB =2

.

因为 AB 与 CD 平行且相等,所以 MH 平行且等于 NG , 故四边形 GHMN 是平行四边形.所以 GH ? MN . …………4 分 又因为 GH ? 平面 PDAE , MN ? 平面 PDAE , 所以 GH ? 平面 PDAE . ………………6 分

(若通过面面平行来证明也可,酌情给分) (Ⅱ)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BC . 因为 BC ? CD, PD ? CD ? D, 所以 BC ? 平面 PCD . 因为 F ,H 分别为 PB、PC 的中点,所以 FH ? BC. 所以 FH ? 平面 PCD. 因为 FH ? 平面 FGH ,所以平面 FGH ? 平面 PCD . ……………12 分

11、.(Ⅰ)证明: ABCD 为平行四边形,连结 AC ? BD ? F , F 为 AC 中点, . . . . . . . . . . . . . . . ...2 分 E 为 PC 中点∴在 ?CPA 中 EF // PA . 且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 ∴ EF // 平面PAD . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 平面 PAD ? 面 ABCD ? AD

(Ⅱ)证明:因为面 PAD ? 面 ABCD

ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD ,所以 CD ? 平面 PAD

16

∴ CD ? PA 又

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分

,所以 ?PAD 是等腰直角三角形, 2 PA ? PD ? AD 2



?PAD ?

? 即 PA ? PD
2

. . . . . . . . . . . . . . .9 分

CD ? PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 ABCD
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分. PA ? 面 PDC , . 又 PA ? 面 PAB 所以面 PAB ? 面 PDC . . . . . . .12 分

12、解答: 证明: (I)在△ABC 中,D 为 AB 边上的中点,且 AB=2CD, ∴AD=DC=DB,故∠DCA=∠DAC,∠DCB=∠DBC, ∴∠ACB=90°, ∴BC⊥AC,又 PA⊥底面 ABC,BC? 平面 ABC, ∴PA⊥BC, ∴BC⊥平面 PAC; (II)连接 DF,并延长交 AC 于 G,连接 ED, ∵F 为△ACD 的重心, ∴G 为 AC 的中点,连接 EG, ∵E 为 PA 中点, ∴在△PAC 中,EG∥PC, 同理可得 ED∥PB, 又 EG∩ED=E,PC∩PB=P, ∴平面 EGD∥平面 PBC, 又 EF? 平面 EDG ∴EF∥平面 PBC.

13、

17

14、解:(Ⅰ)取 AF 的中点 Q ,连 QE 、 QP , 则 QP

1 DF ,又 DF = 4, EC = 2, 且DF ∥ EC , 2

所 以 QP

EC , 即 四 边 形 PQEC 为 平 行 四 边

形,……………………………………… 3 分 所以 CP ∥ EQ ,又 EQ ? 平面 ABEF , CP ? 平面ABEF , 故 CP ∥平面 ABEF . ……………………………………………………………5 分

15、解:(Ⅰ)取 CE 中点 P ,连结 FP、BP , ∵ F 为 CD 的中点,
18

1 DE. 2 1 E 又 AB ∥ DE ,且 AB ? DE. 2 B ∴ AB ∥ FP ,且 AB = FP , ∴四边形 ABPF 为平行四边形,∴ AF / / BP . …………4 分 P 又∵ AF ? 平面 BCE , BP ? 平面 BCE , ∴ AF ∥平面 BCE . …………6 分 A (Ⅱ)∵ ?ACD 为正三角形,∴ AF ⊥ CD , ∵ AB ⊥平面 ACD , DE // AB , C D F ∴ DE ⊥平面 ACD , 又 AF ? 平面 ACD ,∴ DE ⊥ AF . 又 AF ⊥ CD , CD ? DE ? D , ∴ AF ⊥平面 DCE . …………10 分 又 BP ∥ AF ∴ BP ⊥平面 DCE . 又∵ BP ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ⊥平面 CDE . …………12 分
∴ FP ∥ DE ,且 FP =

19


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