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双曲线定义(带动画)_图文

北京摩天大楼 巴西利亚大教堂 法拉利主题公园 花瓶 反比例函数的图像 冷却塔 罗兰导航系统原理 画双曲线 演示实验:用拉链画双曲线 画双曲线 演示实验:用拉链画双曲线 ①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线 根据实验及椭圆定义,你能给双曲线下定义吗? 一、 双曲线定义(类比椭圆) 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. y | |MF1| - |MF2| | = 2a ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 说明: F o F M 0<2a<2c ; 1 2 x 思考: (1)若2a=2c,则轨迹是什么? (1)两条射线 (2)若2a>2c,则轨迹是什么? (2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是什么? (3)线段F1F2的垂直平分线 3.双曲线的标准方程 1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴,线 如何求这优美的曲线的方程? 段F1F2的中点为原点建立直角坐标 系 设M(x , y),双曲线的焦 2.设点. 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式. |MF1| F1 y M o F2 x - |MF2|= ? 2a _ 2a (x-c)2 + y2 = + 即 (x+c)2 + y2 - 4.化简. (x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2 ? ?2a ( (x ? c)2 ? y2 )2 ? ( (x ? c)2 ? y2 ? 2a)2 y M F1 o cx ? a2 ? ?a (x ? c)2 ? y2 (c ? a ) x ? a y ? a (c ? a ) 2 2 2 2 2 2 2 2 令c2-a2=b2 x y ? 2 ?1 2 a b 2 2 双曲线的标准方程 y M y M F2 x F O 1 F 2 x O F1 x y ? 2 ?1 2 a b 2 2 y x ? 2 ?1 2 a b 2 2 (a ? 0,b ? 0) 思考:如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上? x2 y2 y2 x2 ? ? 1与 判断: ? ? 1 的焦点位置? 16 9 9 16 结论: 看 x , y 前的系数,哪一个为正,则 2 2 焦点在哪一个轴上。 双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系? 双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭 定 义 圆 双曲线 ||MF1|-|MF2||=2a x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b |MF1|+|MF2|=2a x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 方 程 焦 点 F(±c,0) F(±c,0) F(0,±c) a.b.c的关 系 F(0,±c) a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2 a>b>0,a2=b2+c2 课堂巩固 已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差 的绝对值等于6,则 (1) a=_______ , b =_______ 3 , c =_______ 5 4 (2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点P, |PF1|=10, 4或16 则|PF2|=_________ 讨论: 当 曲线,圆 。 m、n 取何值时,方程 mx2 ? ny 2 ? 1 表示椭圆,双 解:由各种方程的标准方程知, 当 m ? 0, n ? 0, m 当m ? n 时方程表示的曲线是椭圆 ? n ? 0 时方程表示的曲线是圆 当 m ? n ? 0 时方程表示的曲线是双曲线 随堂练习 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程 ①a=4,b=3,焦点在 x轴上; 2 y x2 16 9 ②焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5) y2 x2 20 16 ? ?1 ? ?1 ? 2.已知方程 x 2? m 2 y2 m?1 ?1 表示焦点在y轴的 m<-2 双曲线,则实数m的取值范围是______________ 变式: 上述方程表示双曲线,则m的取值范围是 __________________ m<-2或m>-1 三、例题选讲 例1 已知两定点 F1 ?? 5, 0?, F2 ?5, 0? ,动点 P 满足 P ,求动点 PF1 ?的轨迹方程 PF2 ? 6 解:∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6 ∴由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0) x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16 设法一: 设法二: 设法三: 变式 已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为 ( ? 2 ,? 3),( 标准方程。 15 3 , 2),求双曲线的 小结 ----双曲线定义及标准方程 定义 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|) y M M F2 y 图象 F1 o F2 x F1 x 方程 焦点 a.b.c 的关 系