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标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2:课时跟踪检测(九) 综合法和分析法

课时跟踪检测(九)
层级一

综合法和分析法
)

学业水平达标

1 1 1.若 a>b>1,x=a+ ,y=b+ ,则 x 与 y 的大小关系是( a b A.x>y C.x≥y B.x<y D.x≤y

1 解析:选 A 因为函数 y=x+x在[1,+∞)上是增函数,又因为 a>b>1,∴x>y. x y 1 1 2.已知 a,b,x,y 均为正实数,且 > ,x>y,则 与 的大小关系为( a b x+a y+b x y A. > x+a y+b x y C. < x+a y+b 解析:选 A ∵a,b 均为正数, 1 1 ∴由a>b得 0<a<b, 又∵x>y>0, ∴xb>ay. ∴xy+xb>xy+ay. 即 x(y+b)>y(x+a). 两边同除正数(y+b)(x+a), 得 x y > ,故选 A. x+a y+b x y B. ≥ x+a y+b x y D. ≤ x+a y+b )

3.在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边 a,b,c 应满 足什么条件( ) B.a2=b2+c2 D.a2≤b2+c2

A.a2<b2+c2 C.a2>b2+c2

b2+c2-a2 解析:选 C 由 cos A= <0,得 b2+c2<a2. 2bc 4.若 a= ln 2 ln 3 ln 5 ,b= ,c= ,则( 2 3 5 ) B.c<b<a D.b<a<c 1-ln x ln x ,则 f′(x)= ,∴0<x<e 时,f′(x) x x2 ln 4 ,∴b>a>c. 4

A.a<b<c C.c<a<b 解析:选 C 利用函数单调性.设 f(x)=

>0,f(x)单调递增;x>e 时,f′(x)<0,f(x)单调递减.又 a=

5.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 x1+x2>0,则 f(x1) +f(x2)的值( ) B.恒等于零 D.无法确定正负

A.恒为负值 C.恒为正值

解析:选 A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时,f(x)单调递减, 可知 f(x)是 R 上的单调递减函数, 由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则 f(x1)+f(x2)<0. 6.命题“函数 f(x)=x-xln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数 f(x)=x- xln x 取导得 f′(x)=-ln x,当 x∈(0,1)时,f′(x)=-ln x>0,故函数 f(x)在区间(0,1)上是 增函数”应用了________的证明方法. 解析:该证明过程符合综合法的特点. 答案:综合法 7.如果 a a+b b>a b+b a,则正数 a,b 应满足的条件是________. 解析:∵a a+b b-(a b+b a) =a( a- b)+b( b- a)=( a- b)(a-b) =( a- b)2( a+ b). ∴只要 a≠b,就有 a a+b b>a b+b a. 答案:a≠b ?-1?n 1 8.若不等式 (- 1) a< 2+ n 对任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是


n

________. 1 1 1 3 3 解析:当 n 为偶数时,a<2- ,而 2- ≥2- = ,所以 a< ,当 n 为奇数时,a> n n 2 2 2 1 1 3 -2-n,而-2-n<-2,所以 a≥-2.综上可得,-2≤a< . 2 3? 答案:? ?-2,2? 1 1 9.已知 a>0,b-a>1. (1)求证:0<b<1; (2)求证: 1+a> 1 . 1-b

1 1 1 1 证明:(1)由 a>0, - >1 可得 > +1>1, b a b a 所以 0<b<1.

(2)因为 a>0,0<b<1,要证 1+a> 只需证 1+a· 1-b>1, 即证 1+a-b-ab>1, a-b 即证 a-b-ab>0,即 ab >1,

1 , 1-b

1 1 又 - >1,这是已知条件,所以原不等式得证. b a 10.已知数列{an}的首项 a1=5,Sn+1=2Sn+n+5,(n∈N*). (1)证明数列{an+1}是等比数列. (2)求 an. 解:(1)证明:由条件得 Sn=2Sn-1+(n-1)+5(n≥2)① 又 Sn+1=2Sn+n+5,② ②-①得 an+1=2an+1(n≥2), 所以 an+1+1 ?2an+1?+1 2?an+1? = = =2. an+1 an+1 an+1

又 n=1 时,S2=2S1+1+5,且 a1=5, 所以 a2=11,所以 a2+1 11+1 = =2, a1+1 5+1

所以数列{an+1}是以 2 为公比的等比数列. (2)因为 a1+1=6,所以 an+1=6×2n 1=3×2n,


所以 an=3×2n-1. 层级二 1 1 1.使不等式a<b成立的条件是( A.a>b C.a>b 且 ab<0 ) B.a<b D.a>b 且 ab>0 应试能力达标

b- a 1 1 1 1 解析:选 D 要使a<b,须使a-b<0,即 ab <0. 若 a>b,则 b-a<0,ab>0;若 a<b,则 b-a>0,ab<0. 2.对任意的锐角 α,β,下列不等式中正确的是( A.sin(α+β)>sin α+sin β B.sin(α+β)>cos α+cos β C.cos(α+β)>sin α+sin β D.cos(α+β)<cos α+cos β 解析:选 D 因为 α,β 为锐角,所以 0<α<α+β<π,所以 cos α>cos(α+β).又 cos )

β>0,所以 cos α+cos β>cos(α+β). y 1 4 3.若两个正实数 x,y 满足x+y =1,且不等式 x+ <m2-3m 有解,则实数 m 的取值 4 范围是( ) B.(-∞,-1)∪(4,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞) y 4x · 4x y

A.(-1,4) C.(-4,1)

y 1 4 y y 4x 1 4 x+ ?? + ?=2+ + ≥2+2 解析: 选 B ∵x>0, y>0, ∴x+ =? x+y =1, 4 ? 4??x y? 4x y

y =4,等号在 y=4x,即 x=2,y=8 时成立,∴x+ 的最小值为 4,要使不等式 m2-3m>x 4 y + 有解,应有 m2-3m>4,∴m<-1 或 m>4,故选 B. 4 4.下列不等式不成立的是( A.a2+b2+c2≥ab+bc+ca B. a+ b> a+b(a>0,b>0) C. a- a-1< a-2- a-3(a≥3) D. 2+ 10>2 6 解析:选 D 对 A,∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,∴a2+b2+c2≥ab+bc +ca;对 B,∵( a+ b)2=a+b+2 ab,( a+b)2=a+b,∴ a+ b> a+b;对 C,要 证 a- a-1< a-2- a-3(a≥3)成立,只需证明 a+ a-3< a-2+ a-1,两边 )

平方得 2a-3+2 a?a-3?<2a-3+2 ?a-2??a-1?,即 a?a-3?< ?a-2??a-1?,两边平 方得 a2-3a<a2-3a+2,即 0<2.因为 0<2 显然成立,所以原不等式成立;对于 D,( 2+ 10)2-(2 6)2=12+4 5-24=4( 5-3)<0,∴ 2+ 10<2 6,故 D 错误. 2ab a+b? 5.已知函数 f(x)=2x,a,b 为正实数,A=f? ,B=f( ab),C=f?a+b?,则 A, ? ? ? 2 ? B,C 的大小关系是________. 解析:∵ 2ab a+b 2ab ≥ ab(a,b 为正实数), ≤ ab ,且 f(x)=2x 是增函数,∴f?a+b? 2 ? ? a+b

a+b? ≤f( ab)≤f? ? 2 ?,即 C≤B≤A. 答案:C≤B≤A 6.如图所示,四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 的侧棱垂直于底面,满足________时,BD⊥ A1C(写上一个条件即可).

解析:要证 BD⊥A1C,只需证 BD⊥平面 AA1C. 因为 AA1⊥BD,只要再添加条件 AC⊥BD, 即可证明 BD⊥平面 AA1C,从而有 BD⊥A1C. 答案:AC⊥BD(答案不唯一) 7.在锐角三角形 ABC 中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. π π 证明:在锐角三角形 ABC 中,∵A+B> ,∴A> -B. 2 2 π π ∴0< -B<A< , 2 2 π? 又∵在? ?0,2 ?内正弦函数 y=sin x 是单调递增函数, π ? ∴sin A>sin? ?2-B?=cos B, 即 sin A>cos B.① 同理 sin B>cos C,② sin C>cos A.③ 由①+②+③,得: sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.

8.设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d.证明: (1)若 ab>cd,则 a+ b> c+ d; (2) a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 证明:(1)因为( a+ b)2=a+b+2 ab,( c+ d)2=c+d+2 cd, 由题知 a+b=c+d,ab>cd,得( a+ b)2>( c+ d)2, 因此 a+ b> c+ d. (2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2, 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd, 所以由(1)得 a+ b> c+ d. ②若 a+ b> c+ d,则( a+ b)2>( c+ d)2, 即 a+b+2 ab>c+d+2 cd.

因为 a+b=c+d,所以 ab>cd, 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2, 因此|a-b|<|c-d|. 综上, a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件.