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2015年广东省韶关市高考模拟数学试卷(文科)解析


2015 年广东省韶关市高考模拟数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1. (5 分) (2014?韶关模拟)设集合 U={﹣2, ﹣1,0,1,2},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则 A∪ (?UB)等于( ) A.{1} B.{1,2} C.{2} D.{0,1,2} 2. (5 分) (2014?韶关模拟)已知 i 为虚数单位,复数 z=i(2﹣i)的模|z|=( ) A .1 B. C. D.3 3. (5 分) (2014?韶关模拟)下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( ) ﹣1 3 x A.y=x B.y=e C.y=x D.y=lnx 4. (5 分) (2014?韶关模拟)如图所示,该程序运行后输出的结果为( )

A .4 B.6 C.8 D.10 5. (5 分) (2015?青岛一模)如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一 个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )

A.5 和 1.6 B.85 和 1.6 C.85 和 0.4 D.5 和 0.4 6. (5 分) (2012?广东)在△ ABC 中,若∠ A=60°,∠ B=45°, ,则 AC=( ) A. B. C. D.

7. (5 分) (2014?韶关模拟)已知向量 A .1 B.

, C.4

,若

,则 D.2

等于(



8. (5 分) (2014?韶关模拟)已知 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x﹣3y 的最大值(



A .2 B.3 C.4 D.5 9. (5 分) (2014?韶关模拟)设 l 为直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l∥ α,l∥ β,则 α∥ β B. 若 α⊥ β,l∥ α,则 l⊥ β
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C. 若 l⊥ α,l∥ β,则 α∥ β D.若 l⊥ α,l⊥ β,则 α∥ β 10. (5 分) (2014?韶关模拟)下列命题中是假命题的个数是( ) ① ?α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+sinβ; 2 ② ?a>0,函数 f(x)=ln x+lnx﹣a 有零点 ③ 若 , 是两个非零向量,则“| + |=| ﹣ |”是“ ⊥ ”的充要条件; ④ 若函数 f(x)=|2 ﹣1|,则?x1,x2∈[0,1]且 x1<x2,使得 f(x1)>f(x2) . A .0 B.1 C.2 二.填空题(一)必做题(11~13 题) 11. (5 分) (2014?韶关模拟)函数 y=lg(x +2x﹣3)的定义域是 12. (5 分) (2014?韶关模拟)如图,已知抛物线 y =2px 的焦点 F 与双曲线 物线焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, |AF|=3, 则 p=
2 2 x

D.3

. (结果用区间表示) ﹣y =1 的右焦点重合,过抛 .
2

; 直线 AB 斜率等于

13. (5 分) (2014?韶关模拟)已知各项不为零的等差数列{an}满足 2a3﹣a7 +2a11=0,数列{bn}是等比数列, 且 b7=a7,则 b5b9= . (二)选做题(14~15 题,考生只能选做其中的一题,两题全答的,只计算前一题的得分) 【坐标系与参数 方程选做题】 14. (5 分) (2014?韶关模拟)在极坐标中,已知直线 l 方程为 ρ(cosθ+sinθ)=1,点 Q 的坐标为(2, ) ,

2

则点 Q 到 l 的距离 d 为 . 【几何证明选讲选做题】 2 15. (2014?韶关模拟)如图,平行四边形 ABCD 中,AE:EB=1:2,△ AEF 的面积为 1cm ,则平行四边形 2 ABCD 的面积为 cm .

第 2 页(共 10 页)

三.解答题(本大题共 6 题,满分 80 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 16. (12 分) (2014?韶关模拟)已知函数 f(x)= sinx+cosx (x∈R) (1)求 f( )的值; , ]上的最大值和最小值及相应的 x 值.

(2)求 f(x)在区间[﹣

17. (12 分) (2014?韶关模拟)2014 年春节期间,高速公路车辆剧增,高速公路管理测控中心在一特定位 置从七座以下小型汽车中按先后顺序,每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 辆进行电子测速调查, 将它们的车速(km/h)分成六段[80,85) ,[85,90) ,[90,95) ,[95,100) ,[100,105) ,[105,110)后 得到如图的频率分布直图. (1)测控中心在采样中,用到的是什么抽样方法?并估计这 40 辆车车速的平均数; (2)从车速在[80,90)的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中车速在[85,90)的车辆数的概率.参考 数据:82.5×0.01+87.5×0.02+92.5×0.04+97.5×0.06+102.5×0.05+107.5×0.02=19.4.

18. (14 分) (2014?韶关模拟)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是正方形,AB=1,AA1=2,线段 B1D1 上有两个点 E,F. (1)证明:AC⊥ B1D1; (2)证明:EF∥ 平面 ABCD; (3)若 E,F 是线段 B1D1 上的点,且 EF= ,求三棱锥 A﹣BEF 的体积.

第 3 页(共 10 页)

19. (14 分) (2014?韶关模拟)已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,中心在原点,离心率 e=

,直线 l:y=x+2

与以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 M 是椭圆上异于 Al,A2 的任意一点,设直线 MA1,MA2 的斜率分别为 ,证明 为定值.

20. (14 分) (2014?韶关模拟)已知数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,an+1=2Sn+1,n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log3an+1,求数列{ }的前 n 项和 Tn,并证明:1≤Tn< .

*

21. (14 分) (2014?韶关模拟)已知函数 f(x)=blnx,g(x)=ax ﹣x(a∈R) . (1)若曲线 f(x)与 g(x)在公共点 A(1,0)处有相同的切线,求实数 a,b 的值; (2)若 b=1,设函数 u(x)=g(x)﹣f(x) ,试讨论函数 u(x)的单调性; (3)若 a=1,b>2e,求方程 f(x)﹣g(x)=x 在区间(1,e )内实根的个数(其中 e 为自然对数的底数) .
b

2

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2015 年广东省韶关市高考模拟数学试卷(文科)
一、选择题 本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1. (5 分) (2014?韶关模拟)设集合 U={﹣2, ﹣1,0,1,2},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则 A∪ (?UB)等于(D ) A.{1} B.{1,2} C.{2} D.{0,1,2} 2. (5 分) (2014?韶关模拟)已知 i 为虚数单位,复数 z=i(2﹣i)的模|z|=(C ) A .1 B. C. D.3 3. (5 分) (2014?韶关模拟)下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)单调递增的函数是(A ) ﹣ 3 A.y=x B.y=ex C.y=x 1 D.y=lnx 4. (5 分) (2014?韶关模拟)如图所示,该程序运行后输出的结果为(B )

A .4 B.6 C.8 D.10 5. (5 分) (2015?青岛一模)如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一 个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为(B ) A.5 和 1.6 B.85 和 1.6 C.85 和 0.4 D.5 和 0.4 6. (5 分) (2012?广东)在△ ABC 中,若∠ A=60°,∠ B=45°, ,则 AC=(B ) A. B. C. D.

7. (5 分) (2014?韶关模拟)已知向量 A .1 B.

, C.4

,若

,则 D.2

等于(D)

8. (5 分) (2014?韶关模拟)已知 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x﹣3y 的最大值(A )

A .2 B.3 C.4 D.5 9. (5 分) (2014?韶关模拟)设 l 为直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是(D ) A.若 l∥ α,l∥ β,则 α∥ β B. 若 α⊥ β,l∥ α,则 l⊥ β C. 若 l⊥ α,l∥ β,则 α∥ β D.若 l⊥ α,l⊥ β,则 α∥ β 10. (5 分) (2014?韶关模拟)下列命题中是假命题的个数是(B ) ① ?α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+sinβ;
第 5 页(共 10 页)

② ?a>0,函数 f(x)=ln x+lnx﹣a 有零点 ③ 若 , 是两个非零向量,则“| + |=| ﹣ |”是“ ⊥ ”的充要条件; ④ 若函数 f(x)=|2 ﹣1|,则?x1,x2∈[0,1]且 x1<x2,使得 f(x1)>f(x2) . A .0 B.1 C.2
x

2

D.3

二.填空题(一)必做题(11~13 题) 2 11. (5 分) (2014?韶关模拟)函数 y=lg(x +2x﹣3)的定义域是 (﹣∞,﹣3)∪ (1,+∞) . (结果用 区间表示) 12. (5 分) (2014?韶关模拟)如图,已知抛物线 y =2px 的焦点 F 与双曲线
2

﹣y =1 的右焦点重合,过抛 .

2

物线焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,|AF|=3,则 p= 4 ;直线 AB 斜率等于 ﹣2

13. (5 分) (2014?韶关模拟)已知各项不为零的等差数列{an}满足 2a3﹣a7 +2a11=0,数列{bn}是等比数列, 且 b7=a7,则 b5b9= 16 . (二)选做题(14~15 题,考生只能选做其中的一题,两题全答的,只计算前一题的得分) 【坐标系与参数 方程选做题】 14. (5 分) (2014?韶关模拟)在极坐标中,已知直线 l 方程为 ρ(cosθ+sinθ)=1,点 Q 的坐标为(2, 则点 Q 到 l 的距离 d 为 【几何证明选讲选做题】 15. (2014?韶关模拟)如图,平行四边形 ABCD 中,AE:EB=1:2,△ AEF 的面积为 1cm ,则平行四边形 2 ABCD 的面积为 24 cm .
2

2

) ,



三.解答题(本大题共 6 题,满分 80 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 16. (12 分) (2014?韶关模拟)已知函数 f(x)= sinx+cosx (x∈R) (1)求 f( )的值; , ]上的最大值和最小值及相应的 x 值.
第 6 页(共 10 页)

(2)求 f(x)在区间[﹣

解答:

解(1)函数 f(x)= ∴ f( )= ,

sinx+cosx= =2sinπ=0.

=



(2)∵ x∈[﹣ 从而当 而当

],∴

,∴ 时,f(x)max=2. 时,f(x)min= .



时,即 x= ,即

17. (12 分) (2014?韶关模拟)2014 年春节期间,高速公路车辆剧增,高速公路管理测控中心在一特定位 置从七座以下小型汽车中按先后顺序,每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 辆进行电子测速调查, 将它们的车速(km/h)分成六段[80,85) ,[85,90) ,[90,95) ,[95,100) ,[100,105) ,[105,110)后 得到如图的频率分布直图. (1)测控中心在采样中,用到的是什么抽样方法?并估计这 40 辆车车速的平均数; (2)从车速在[80,90)的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中车速在[85,90)的车辆数的概率.参考 数据:82.5×0.01+87.5×0.02+92.5×0.04+97.5×0.06+102.5×0.05+107.5×0.02=19.4.

解答: 解: (1)根据“某段高速公路的车速分成六段”,符合系统抽样的原理,故此调查公司在采样中,用 到的是系统抽样方法. ( 注意每间隔 50 辆就抽取一辆这一条件) 平均数的估计值为: (82.5×0.01+87.5×0.02+92.5×0.04+97.5×0.06+102.5×0.05+107.5×0.02)×5=97. (2)从图中可知,车速在[80,85)的车辆数为 0.01×5×40=2(辆) ,分别记为 m,n; 车速在[85,90)车辆数为 0.02×5×40=4(辆) ,分别记为 A,B,C,D, 从这 6 辆车中随机抽取 2 辆共有 mn,mA,mB,mC,mD,nA,nB,nC,nD,AB,AC,AD,BC, BD,CD 共 15 种情况,抽出的 2 辆车中车速在[85,90)的车辆数 AB,AC,AD,BC,BD,CD 共 6 种,故所求的概率 P= .

18. (14 分) (2014?韶关模拟)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是正方形,AB=1,AA1=2,线段 B1D1 上有两个点 E,F. (1)证明:AC⊥ B1D1; (2)证明:EF∥ 平面 ABCD; (3)若 E,F 是线段 B1D1 上的点,且 EF= ,求三棱锥 A﹣BEF 的体积.

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解答: (1)在 ABCD﹣A1B1C1D1 中,连接 BD,因为底面 ABCD 是正方形

所以 AC⊥ BD…(1 分)

又 DD1⊥ 平面 ABCD,AC?平面 ABCD,所以 DD1⊥ AC…(3 分) 又 BD∩ DD1=D,所以 AC⊥ 平面 BDD1B1,又 B1D1?平面 BDD1B1,所以 AC⊥ B1D1;…(5 分) (2)证明:在 ABCD﹣A1B1C1D1 中,平面 ABCD∥ 平面 A1B1C1D1, 因为 EF?平面 A1B1C1D1,所以 EF∥ 平面 ABCD;…(10 分) (3)解:设 AC 与 BD 交于点 O,由(1)可知 AO⊥ 平面 BDD1B1,即 AO⊥ 平面 BEF 所以 AO 是三棱锥 A﹣BEF 的高,且 AO= AC= 所以 VA﹣BEF= = …(14 分) ,直线 l:y=x+2 …(12 分)

19. (14 分) (2014?韶关模拟)已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,中心在原点,离心率 e=

与以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 M 是椭圆上异于 Al,A2 的任意一点,设直线 MA1,MA2 的斜率分别为 解答: (I)解:设椭圆的方程为
2 2 2 2

,证明

为定值.

∵ 离心率

,∴ a =3c ,∴ b =2c

∵ 直线 l:y=x+2 与以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切 ∴ b= ∴ c =1∴ a =3∴ 椭圆的方程为
2 2



(Ⅱ )证明:由椭圆方程得 A1(﹣

,0) ,A2(

,0) ,设 M 点坐标(x0,y0) ,则





=

×

=

=

=﹣



是定值﹣ 是定值.
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20. (14 分) (2014?韶关模拟)已知数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,an+1=2Sn+1,n∈N . * 20. (14 分) (2014?韶关模拟)已知数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,an+1=2Sn+1,n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log3an+1,求数列{ }的前 n 项和 Tn,并证明:1≤Tn< .

*

解答: 解: (1)由题意得 an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1,n≥2, 两式相减得 an+1﹣an+1=2Sn﹣2Sn﹣1=an+1=2an, 则 an+1=3an,n≥2, 所以当 n≥2 时,{an}是以 3 为公比的等比数列. 因为 a2=2S1+1=2+1=3, ,

所以,

=3,对任意正整数成立
n﹣1

{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列.
n

(2)由(1 得知 an=3 = =n?( )

,bn=log3an+1=log33 =n,

n﹣1


n﹣1

Tn=1+2× +3?( ) +…+n?( )
2

2


n﹣1

Tn= +2?( ) +…+(n﹣1)?( )

+n?( )

n



① ﹣② 得 Tn=1+ +( ) +…+( )

2

n﹣1

﹣n?( ) =

n

﹣n?( ) ,

n

所以 Tn= ﹣( + 因为( +

)?( ) ,
n

n

)?( ) >0, )?( ) < , ,所以数列{Tn}单调递增,所以 Tn 的最小值为 T1=1,
n

所以 Tn= ﹣( + 又因为 Tn+1﹣Tn= 所以 1≤Tn< .

21. (14 分) (2014?韶关模拟)已知函数 f(x)=blnx,g(x)=ax ﹣x(a∈R) . (1)若曲线 f(x)与 g(x)在公共点 A(1,0)处有相同的切线,求实数 a,b 的值; (2)若 b=1,设函数 u(x)=g(x)﹣f(x) ,试讨论函数 u(x)的单调性; b (3)若 a=1,b>2e,求方程 f(x)﹣g(x)=x 在区间(1,e )内实根的个数(其中 e 为自然对数的底数) . 解答: 解: (1) ,g′ (x)=2ax﹣1.
第 9 页(共 10 页)

2



,即

,解得



(2)b=1 时,u(x)=g(x)﹣f(x)=ax ﹣x﹣lnx(x>0). ① 当 a=0 时, <0,∴ 函数 u(x)在(0,+∞)上单调递减;
2

2

=



② 当 a≠0 时,令 u′ (x)=0,即 2ax ﹣x﹣1=0…(*) ,△ =1+8a. 当△ ≤0,即 当△ >0,即 当 时,2ax ﹣x﹣1≤0,即 u′ (x)≤0,∴ 函数 u(x)在(0,+∞)上单调递减; 时,方程(*)的解为:x1= ,x2= .
2

时,x1<0,x2<0,则函数 u(x)在(0,+∞)上单调递减;

当 a>0 时,x1<0,x2>0,则函数 u(x)在(0,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增; 综上所述:当 a≤0 时,函数 u(x)在(0,+∞)上单调递减; 当 a>0 时,函数 u(x)在(0,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增. 2 b (3)当 a=1,b>2e,设 h(x)=f(x)﹣g(x)﹣x=blnx﹣x ,x∈(1,e ) . , 令 h′ (x) =0, 解得 x h′ (x)+ h(x) 单调递增 ∴ h 极大值= = 0 ﹣ 极大单调递减 >0. 上有一个根. , 当 x>1 时, , ∴ .

又∵ h(1)=﹣1 方程在
b b b

h(e )=(b﹣e ) (b+e ) , x x 设 t(x)=e ﹣x(x∈(2e,+∞) ,t′ (x)=e ﹣1>0,∴ t(x)在(2e,+∞)上单调递增, t(x)>t(2e)>0.e >x,∴ h(e )<0,方程在 方程 f(x)﹣g(x)=x 在区间(1,e )内有两个实根.
b x b

上有一个实数根.

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