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专题二第2讲三角恒等变换与解三角形


专题二

三角函数与平面向量

第2讲

三角恒等变换与 解三角形
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3 1.(2016· 全国卷Ⅲ)若 tan α= ,则 cos2α+2sin 2α 4 =( ) 48 16 B. C.1 D. 25 25 2 cos α+2sin 2α 3 2 解析: tanα= , 则 cos α+2sin 2α= = 2 2 4 cos α+sin α
1+4tanα 64 = . 2 1+tan α 25 答案:A

64 A. 25

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2.(2016· 山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 分别是 a, b, c.已知 b=c, a2=2b2(1-sin A), 则 A=( 3π A. 4 π π π B. C. D. 3 4 6 )

解析:因为 b=c,a2=2b2(1-sin A), b2+c2-a2 2b2-2b2(1-sin A) 所以 cos A= = , 2bc 2b2 则 cos A=sin A.

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π 在△ABC 中,A= . 4 答案:C

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3.(2017· 全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边 分别为 a, b, c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0, a=2, c= 2,则 C=( π A. 12 )

π π π B. C. D. 6 4 3

解析:由题意得 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, 则 sin C(sin A+cos A)= 2sin
? π? Csin?A+4 ?=0, ? ?

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因为 sin C≠0,所以

? π? sin?A+4 ?=0, ? ?

π 又因为 A∈(0,π),所以 A+ =π, 4 3π 所以 A= . 4 a c 由正弦定理 = , sin A sin C

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2 得 = , 3π sin C sin 4 1 π 则 sin C= ,得 C= . 2 6 答案:B

2

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π 4.(2016· 全国卷Ⅲ)在△ABC 中,B= ,BC 边上的 4 1 高等于 BC,则 cos A=( 3 3 10 A. 10 10 C.- 10 )(导学号 54850031) 10 B. 10 3 10 D.- 10

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解析: 设△ABC 中角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 1 1 1 2 则由题意得 S△ABC= a· a= acsin B.所以 c= a. 2 3 2 3 2 2 由余弦定理得 b =a +c -2accos B=a + a -2?a 9
2 2 2 2

2 2 5 2 5 ? a? = a .所以 b= a. 3 2 9 3

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5 2 2 2 2 a + a - a b +c -a 9 9 10 所以 cos A= = =- . 2bc 10 5 2 2? a? a 3 3
2 2 2

答案:C

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【命题透视】

三角函数的化简与求值是命题的热

点,其中两角和与差、二倍角的正(余)弦、正切公式,同 角三角函数的关系是恒等变换的依据. 正弦定理、 余弦定 理是高考的重点内容,主要考查边和角、面积的计算、三 角形形状的判定.高考命题中,选择、填空及解答题均可 能呈现,不超过中等难度.

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热点 1

三角恒等变换及求值

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)=sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β. (3)tan(α± β)= . 1?tan αtan β tan α±tan β

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2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2tan α (3)tan 2α= 2 . 1-tan α
3.辅助角公式 b asin x+bcos x= a +b sin(x+φ),其中 tan φ= . a
2 2

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[例 1]

(1)(2016· 全国卷Ⅰ)已知 θ 是第四象限角,且
? π? tan?θ-4 ?=________. ? ?

? π? 3 sin?θ+4 ?= ,则 ? ? 5

(2)如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A,点 C,B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标为
?12 5? ? ,- ?, ∠AOC=α.若|BC|=1, 则 13 13 ? ?

α 3cos -sin ? cos 2 2



α 3 - 的值为________. 2 2

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解析:(1)由题意,得

? π? 4 cos?θ+4?= . ? ? 5

所以

? π π? sin?θ+4-2? ? ? ? ? π π π ? ? ? ? ? ? tan θ-4 =tan θ+4-2 = ? = π π? ? ? ? ? cos?θ+4-2? ? ?

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? π? -cos?θ+4 ? 4 ? ? =- . ? 3 π? ? ? sin θ+4 ? ?

(2)由题意得|OC|=|OB|=|BC|=1,从而△OBC 为等 边三角形, 所以 sin
?π ? 5 ? ? ∠AOB=sin 3-α = , ? ? 13

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1+cos α α α 3 又因为 3cos - sin cos - = 3 · - 2 2 2 2 2


?π ? sin α 3 1 3 5 ? ? - =- sin α+ cos α=sin 3-α = . 2 2 2 2 ? ? 13

4 答案:(1)- 3

5 (2) 13

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[规律方法] 1.三角恒等变换的基本思路:找差异,化同角(名), 化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点: (1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知 角来表示未知角.

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(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已 知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知 求这个角的某种三角函数值, 然后结合角的取值范围, 求 出角的大小.

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[ 变式训练 ]

(1)(2017· 北京卷 ) 在平面直角坐标系

xOy 中,角 α 与角 β 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 1 轴对称.若 sin α= ,则 cos(α-β)=________. 3 11 (2)(2017· 石家庄质检)若 cos(2α-β)=- , sin(α-2β) 14 4 3 π π = ,0<β< <α< ,则 α+β 的值为________. 7 4 2

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解析:(1)α 与 β 的终边关于 y 轴对称,则 α+β=π+ 2kπ,k∈Z,所以 β=π-α+2kπ. 所以 cos(α-β)=cos(α-π+α-2kπ)=-cos 2α=- (1-2sin
2

? 1? 7 ? ? α)=- 1-2?9 =-9. ? ?

11 π (2)因为 cos(2α-β)=- 且 <2α-β<π, 14 4

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5 3 所以 sin(2α-β)= . 14 4 3 π π 因为 sin(α-2β)= 且- <α-2β< , 7 4 2 1 所以 cos(α-2β)= . 7

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所以 cos(α + β) = cos[(2α - β) - (α - 2β)] = cos(2α - 11 1 5 3 β)· cos(α - 2β) + sin(2α - β)· sin(α - 2β) =- ? + ? 14 7 14 4 3 1 = . 7 2 π 3π π 因为 <α+β< ,所以 α+β= . 4 4 3 7 答案:(1)- 9 π (2) 3

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热点 2

正弦定理与余弦定理(多维探究)

1.正弦定理及其变形 a b c 在△ABC 中, = = =2R(其中 R 是外 sin A sin B sin C a 接圆的半径).变形:a=2Rsin A,sin A= ,a∶b∶c 2R =sin A∶sin B∶sin C 等.

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2.余弦定理及其变形 在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A;
2 2 2 b + c - a 变形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A= . 2bc

3.三角形的面积公式 1 1 1 S= absin C= acsin B= bcsin A. 2 2 2

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命题视角 1 [例 2-1]

三角形中边、角与面积计算(典例迁移) (2017· 广州模拟)在△ABC 中,a,b,c 分

别是角 A,B,C 的对边且 2cos Acos C(tan Atan C-1)= 1.(导学号 54850032) (1)求 B 的大小; 3 3 (2)若 a+c= ,b= 3,求△ABC 的面积. 2

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解:(1)由 2cos Acos C(tan Atan C-1)=1, 得 2cos Acos
? sin C?cos ? ? Asin C -1?=1, Acos C ?

所以 2(sin Asin C-cos Acos C)=1, 1 即 cos(A+C)=- , 2 1 所以 cos B=-cos(A+C)= , 2

π 又 0<B<π,所以 B= . 3

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a2+c2-b2 1 (2)由余弦定理得 cos B= = , 2ac 2 (a+c)2-2ac-b2 1 所以 = , 2ac 2 3 3 又 a+c= ,b= 3, 2 27 5 所以 -2ac-3=ac,即 ac= , 4 4
1 1 5 3 5 3 所以 S△ABC= acsin B= ? ? = . 2 2 4 2 16

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[互动迁移 1]

若本题第(2)问条件变为“若 b= 3,

3 3 S△ABC= ” ,试求 a+c 的值. 2 1 3 3 解:由已知 S△ABC= acsin B= , 2 2 1 3 3 3 所以 ac? = ,则 ac=6. 2 2 2

由余弦定理,得 b2 = a2 + c2 - 2accos B = (a + c)2 - 3ac,
所以(a+c)2=b2+3ac=21,所以 a+c= 21.

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[互动迁移 2] 面积的最大值.

在本例条件下,若 b= 3,求△ABC

解:由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2 -ac, 则 3=a2+c2-ac≥2ac-ac, 所以 ac≤3(当且仅当 a=c= 3时取等号).

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1 1 π 3 3 所以 S△ABC= acsin B≤ ?3?sin = . 2 2 3 4 3 3 故△ABC 面积的最大值为 . 4

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[规律方法] 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的 边长、角、面积等基本计算,或将两个定理与三角恒等变 换相结合综合解三角形.

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2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和 定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变 换方法和原则都适用, 同时要注意“三统一”, 即“统一 角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破 口.

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[变式训练]

(2017· 全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,
2B

C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin(A+C)=8sin . 2 (1)求 cos B; (2)若 a+c=6,△ABC 面积为 2,求 b. 解:(1)由题设及 A+B+C=π,得 sin B=8sin , 2 故 sin B=4(1-cos B).
2B

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上式两边平方,整理得 17cos2B-32cos B+15=0, 15 解得 cos B=1(舍去),cos B= . 17 15 8 (2)由 cos B= 得 sin B= , 17 17 1 4 故 S△ABC= acsin B= ac. 2 17 17 又 S△ABC=2,则 ac= . 2

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由余弦定理及 a+c=6 得 b2=a2+c2-2accos B=(a 17 ? 15? +c) -2ac(1+cos B)=36-2? ??1+17?=4. 2 ? ?
2

所以 b=2.

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命题视角 2 应用正、余弦定理解决实际问题 [例 2-2] 某气象仪器研究所按以下方案测试一种

“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在 C 处(点 C 在水平地面下方, O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点)进行 该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点 A,B 两地相 距 100 米,∠BAC=60°,其中 A 到 C 的距离比 B 到 C 的距离远 40 米.

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A 地测得该仪器在 C 处的俯角为∠OAC=15°,A 地测得最高点 H 的仰角为∠HAO=30°,则该仪器的垂 直弹射高度 CH 为( )

A.210( 6+ 2)米 C.210 2米

B.140 6米 D.20( 6- 2)米

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解析:由题意,设 AC=x,则 BC=x-40,在△ABC 内,由余弦定理,可得 |BC|2=|BA|2+|CA|2-2|BA|· |CA|· cos ∠BAC, 即(x-40)2=x2+10 000-100x, 解得 x=420. 在△ACH 中,|AC|=420,∠CAH=30°+15°=45°,

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∠CHA=90°-30°=60°, 由正弦定理, |CH| |AC| 可得 = . sin ∠CAH sin ∠AHC sin ∠CAH 即|CH|=|AC|· =140 6(米). sin ∠AHC

答案:B

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[规律方法] 1.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集 中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
2.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两 个或两个以上的三角形, 这时需作出这些三角形, 先解够 条件的三角形, 然后逐步求解其他三角形, 有时需设出未 知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所 要求的解.

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[变式训练]

(2017· 西安质检)如图,一辆汽车在一条

水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山 顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75°的方向上,仰角为 30°,则此 山的高度 CD=________m.

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解析:由题意,在△ABC 中,∠BAC=30°,∠ABC= 180°-75°=105°,故∠ACB=45°. 又 AB=600 m, 600 BC 由正弦定理,得 = .解得 BC=300 2. sin 45° sin 30°

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3 在 Rt△BCD 中,CD=BC· tan 30°=300 2? = 3 100 6(m). 答案:100 6

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热点 3

解三角形与三角函数的综合问题

解三角形与三角函数的交汇是高考的热点,主要借 助三角变换研究三角形边角关系及面积计算,常以解答 题的形式出现,中档程度.

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[例 3]

(2017· 长沙质检)已知函数 f(x)=2 3sin xcos

x-2cos2x-1,x∈R.(导学号 54850033) (1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值; (2)在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 c= 3,f(C)=0,sin B=2sin A,求 a,b 的值.

解: (1)f(x)= 3sin 2x-2cos2x-1= 3sin 2x-(cos 2x +1)-1= 3sin 2x-cos
? π? 2x-2=2sin?2x-6 ?-2, ? ?

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2π 所以函数 f(x)的最小正周期 T= =π,最小值为- 2 4. (2)因为 所以
? π? f(C)=2sin?2C-6 ?-2=0, ? ?

? π? sin?2C-6 ?=1, ? ?

π π 11 由 C∈(0,π),知- <2C- < π, 6 6 6

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π π π 所以 2C- = ,得 C= . 6 2 3 因为 sin B=2sin A,由正弦定理得 b=2a, 由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=a2+4a2-2a2 =3a2, 又 c= 3,

所以 a=1,b=2.

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[规律方法] 1.解三角形与三角函数的综合题,其中,解决与三 角恒等变换有关的问题, 优先考虑角与角之间的关系; 解 决与三角形有关的问题,优先考虑正弦、余弦定理. 2.求解该类问题,易忽视 C 为三角形内角,未注明 C 的限制条件导致产生错解.

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[变式训练]

设 f(x)=sin xcos x-cos

2

? π? ?x+ ?. 4? ?

(1)求 f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c.若
?A? f? 2 ?=0,a=1,求△ABC ? ?

面积的最大值.

解:(1)由题意知 f(x)= sin 2x - 2
? π? 1+cos?2x+2 ? ? ?

2



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sin 2x 1-sin 2x 1 - =sin 2x- . 2 2 2 π π 由- +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z, 2 2 π π 可得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 4 4 π 3π 由 +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z, 2 2 π 3π 可得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 4 4

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所 以 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 是

? π ? π ?- +kπ, +kπ? 4 ? 4 ?

?π ? 3π (k∈Z),单调递减区间是?4+kπ, 4 +kπ?(k∈Z). ? ?

(2)由

?A? f? 2 ?=sin ? ?

1 A- =0, 2

1 得 sin A= , 2 3 由题意知 A 为锐角,所以 cos A= . 2

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由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 可得 1+ 3bc=b2+c2≥2bc, 即 bc≤2+ 3,且当 b=c 时等号成立. 2+ 3 1 因此 bcsin A≤ . 2 4 2+ 3 所以△ABC 面积的最大值为 . 4

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