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湖南省衡阳市衡阳一中高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2016-2017 学年湖南省衡阳市衡阳一中高一(上)期中数学试卷

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,5},则 M∩N=( ) A.{0,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{3,5} 2.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( )

A.y=3﹣x B.y=﹣2x C.y=log0.1x D.y=x

3.函数 f(x)=log2x+x﹣2 的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

4.已知 a=2 ,b=3 ,c=2.5 ,则( )

A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b 5.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )

A.y=

B.y=x+ C.y=2x+ D.y=x+ex

6.函数

的定义域为( )

A.( ,1] B.(﹣∞,1]

C.(﹣∞, ) D.( ,1)

7.已知函数 f(x)=2x2﹣mx+5,m∈R,它在(﹣∞,﹣2]上单调递减,则 f(1) 的取值范围是( ) A.f(1)=15 B.f(1)>15 C.f(1)≤15 D.f(1)≥15 8.已知定义在 R 上的函数 (f x)=2|x﹣m|﹣1(m 为实数)为偶函数,记 a=(f log0.53), b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 9.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x∈R 都有 f(x)=f(x+4), 当,x∈(0,2)时,f(x)=2x,则 f

A.﹣2 B.﹣1 C. D.

10.给出定义:若 m﹣ <x≤m+ (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近 的整数,记作{x},即{x}=m.在此基础上给出下列关于函数 f(x)=x﹣{x}的三

个判断: ①y=f(x)的定义域是 R,值域是(﹣ , ]; ②点(k,0)是 y=f(x)的图象的对称中心,其中 k∈Z; ③函数 y=f(x)在( , ]上是增函数. 则上述判断中所有正确的序号是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

二、填空题:本大题有 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请将答案填在答题卷中的 横线上.

11.已知幂函数 f(x)=xa 的图象过点

,则 loga8= .

12.已知全集 U=R,集合 A={0,1,2},B={x∈Z|x2≤3},如图阴影部分所表示 的集合为 .

13.已知函数 f(x)=x2+2x,x∈[﹣2,1]时的值域为 . 14.已知 y=f(x)在定义域(﹣1,1)上是减函数,且 f(1﹣a)<f(2a﹣1), 则 a 的取值范围是 .

15.已知函数 f(x)=

,其中 m>0,若存在实数 b,使得关

于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.

16.计算:

(1)0.027

﹣(﹣ )﹣2+256 ﹣3﹣1+( ﹣1)0;

(2)



17.已知全集为实数集 R,集合 A={x|y=

+

},B={x|log2x>1}.

(Ⅰ)分别求 A∩B,(?RB)∪A; (Ⅱ)已知集合 C={x|1<x<a},若 C? A,求实数 a 的取值集合. 18.设 f(x)的定义域为[﹣3,3],且 f(x)是奇函数,当 x∈[0,3]时,f(x) =x(1﹣3x). (1)求当 x∈[﹣3,0)时,f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x)<﹣8x.
19.已知函数 f(x)=
(1)求函数 F(x)=f(2x)﹣f(x),x∈[0,2]的值域; (2)试判断 H(x)=f(﹣2x)+g(x)在(﹣1,+∞)的单调性并加以证明. 20.在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某 种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的 小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低 生活费的开支 3600 元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中有:① 这种消费品的进价为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元) 的关系如图所示;③每月需要各种开支 2000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大? 并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?

2016-2017 学年湖南省衡阳市衡阳一中高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,5},则 M∩N=( ) A.{0,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{3,5} 【考点】交集及其运算. 【分析】根据集合的基本运算即可得到结论. 【解答】解:∵M={2,3,4},N={0,2,3,5}, ∴M∩N={2,3}, 故选:B
2.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( ) A.y=3﹣x B.y=﹣2x C.y=log0.1x D.y=x 【考点】函数单调性的判断与证明. 【分析】根据常见函数的性质判断函数的单调性即可. 【解答】解:对于 A,函数在(0,+∞)递减,不合题意; 对于 B,函数在(0,+∞)递减,不合题意; 对于 C,函数在(0,+∞)递减,不合题意; 对于 D,函数在(0,+∞)递增,符合题意; 故选:D.
3.函数 f(x)=log2x+x﹣2 的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【考点】二分法求方程的近似解.

【分析】由题意知函数 f(x)=log2x+x﹣2 在(0,+∞)上连续,再由函数的零 点的判定定理求解. 【解答】解:函数 f(x)=log2x+x﹣2 在(0,+∞)上连续, f(1)=0+1﹣2<0; f(2)=1+2﹣2>0; 故函数 f(x)=log2x+x﹣2 的零点所在的区间是(1,2); 故选 B.

4.已知 a=2 ,b=3 ,c=2.5 ,则( ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b 【考点】对数值大小的比较. 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解. 【解答】解:∵a=2 =16 ,
b=3 =9 ,c=2.5 ,
y=x 在(0,+∞)是增函数, ∴c<b<a. 故选:B.

5.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )

A.y=

B.y=x+ C.y=2x+ D.y=x+ex

【考点】函数奇偶性的判断. 【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可.

【解答】解:对于 A,y=

是偶函数,所以 A 不正确;

对于 B,y=x+ 函数是奇函数,所以 B 不正确;

对于 C,y=2x+ 是偶函数,所以 C 不正确; 对于 D,不满足 f(﹣x)=f(x)也不满足 f(﹣x)=﹣f(x),所以函数既不是奇 函数,也不是偶函数,所以 D 正确.

故选:D.

6.函数

的定义域为( )

A.( ,1] B.(﹣∞,1]

C.(﹣∞, ) D.( ,1)

【考点】函数的定义域及其求法;对数函数的单调性与特殊点.

【分析】根据题意,要开偶次方,被开方数不小于 0,就是

≥0,同时

对数的真数 4x﹣3>0,然后求解即可.

【解答】解:要使函数有意义,必须

≥0

即:
所以 0<4x﹣3≤1 解得 x∈( ,1] 故选 A.

7.已知函数 f(x)=2x2﹣mx+5,m∈R,它在(﹣∞,﹣2]上单调递减,则 f(1) 的取值范围是( ) A.f(1)=15 B.f(1)>15 C.f(1)≤15 D.f(1)≥15 【考点】函数单调性的性质. 【分析】由函数 f(x)的解析式,结合二次函数的图象和性质,我们可以判断出 函数图象的形状及单调区间,再由函数 f(x)在(﹣∞,﹣2]上单调递减,我们 易构造一个关于 m 的不等式,解不等式得出 m 的范围,最后求(1)的取值范围 即可得到结论. 【解答】解:∵函数 f(x)=2x2﹣mx+5 的图象是开口方向朝上, 以直线 x= 为对称轴的抛物线, 若函数 f(x)在(﹣∞,﹣2]上单调递减, 则﹣2≤

即 m≥﹣8 ∴f(1)=7﹣m≤15 故选 C.
8.已知定义在 R 上的函数 (f x)=2|x﹣m|﹣1(m 为实数)为偶函数,记 a=(f log0.53), b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 【考点】函数单调性的性质. 【分析】根据 f(x)为偶函数便可求出 m=0,从而 f(x)=2|x|﹣1,这样便知道 f (x)在[0,+∞)上单调递增,根据 f(x)为偶函数,便可将自变量的值变到区 间[0,+∞)上:a=f(|log0.53|),b=f(log25),c=f(0),然后再比较自变量的值, 根据 f(x)在[0,+∞)上的单调性即可比较出 a,b,c 的大小. 【解答】解:∵f(x)为偶函数; ∴f(﹣x)=f(x); ∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1; ∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|; (﹣x﹣m)2=(x﹣m)2; ∴mx=0; ∴m=0; ∴f(x)=2|x|﹣1; ∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且 a=f(|log0.53|)=f(log23),b=f(log25), c=f(0); ∵0<log23<log25; ∴c<a<b. 故选:C.
9.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x∈R 都有 f(x)=f(x+4), 当,x∈(0,2)时,f(x)=2x,则 f A.﹣2 B.﹣1 C. D.

【考点】抽象函数及其应用;函数的值. 【分析】由于对任意 x∈R 都有 f(x)=f(x+4),则 4 为 f(x)的周期,从而 f=f (﹣1)=﹣f(1),再由已知解析式代入计算即可得到. 【解答】解:由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,得 f(﹣x)=﹣f(x), 又 x∈(0,2)时,f(x)=2x, 所以 f(1)=2, 因为对任意 x∈R 都有 f(x)=f(x+4), 所以 4 为 f(x)的周期, 所以 f =f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2. 故选:A.
10.给出定义:若 m﹣ <x≤m+ (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近 的整数,记作{x},即{x}=m.在此基础上给出下列关于函数 f(x)=x﹣{x}的三 个判断: ①y=f(x)的定义域是 R,值域是(﹣ , ]; ②点(k,0)是 y=f(x)的图象的对称中心,其中 k∈Z; ③函数 y=f(x)在( , ]上是增函数. 则上述判断中所有正确的序号是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【考点】函数的值. 【分析】依据函数定义,得到 f(x)=x﹣{x}∈(﹣ , ],再对三个命题逐个 验证后,即可得到正确结论. 【解答】解:在①中,由题意知,{x}﹣ <x≤{x}+ ,
则得到 f(x)=x﹣{x}∈(﹣ , ],则命题①为真命题; 在②中,由于 k∈Z 时,f(k)=k﹣{k}=k﹣k=0, 但由于 f(x)∈(﹣ , ],故函数不是中心对称图形,故命题②为假命题;

在③中,由于{x}﹣ <x≤{x}+ ,则得到 f(x)=x﹣{x}为分段函数, 且在(﹣ , ],( , ]上为增函数,故命题③为真命题. 故答案为 ①③. 故选:B.

二、填空题:本大题有 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请将答案填在答题卷中的 横线上.

11.已知幂函数 f(x)=xa 的图象过点

,则 loga8= 3 .

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.

【分析】由题意可得

= ,解得 a 的值,可得 loga8 的值.

【解答】解:∵已知幂函数 f(x)=xa 的图象过点





= ,解得 a=2,

∴loga8=log28=3, 故答案为:3.

12.已知全集 U=R,集合 A={0,1,2},B={x∈Z|x2≤3},如图阴影部分所表示 的集合为 {2} .

【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【分析】根据 Venn 图和集合之间的关系进行判断. 【解答】解:由 Venn 图可知,阴影部分的元素为属于 A 当不属于 B 的元素构成, 所以用集合表示为 A∩(?UB). B={x∈Z|x2≤3}={﹣1,0,1}, 则?UB={x∈Z|x≠0 且 x≠±1}, 则 A∩(?UB)={2}, 故答案为:{2}.

13.已知函数 f(x)=x2+2x,x∈[﹣2,1]时的值域为 [﹣1,3] . 【考点】二次函数的性质. 【分析】求出函数 f(x)的对称轴,得到函数 f(x)的最大值和最小值,从而求 出函数的值域即可. 【解答】解:f(x)=x2+2x=(x+1)2﹣1,对称轴 x=﹣1, 故函数在[﹣2,﹣1)递减,在(﹣1,1]递增, 故 f(x)min=f(﹣1)=﹣1,f(x)max=f(1)=3, 故函数的值域是[﹣1,3], 故答案为:[﹣1,3].

14.已知 y=f(x)在定义域(﹣1,1)上是减函数,且 f(1﹣a)<f(2a﹣1),

则 a 的取值范围是



【考点】函数单调性的性质. 【分析】根据 f(1﹣a)<f(2a﹣1),严格应用函数的单调性.要注意定义域. 【解答】解:∵f(x)在定义域(﹣1,1)上是减函数,且 f(1﹣a)<f(2a﹣1)



,∴

故答案为:

15.已知函数 f(x)=

,其中 m>0,若存在实数 b,使得关

于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是 (3,+∞) . 【考点】根的存在性及根的个数判断.

【分析】作出函数 f(x)=

的图象,依题意,可得 4m﹣m2

<m(m>0),解之即可.

【解答】解:当 m>0 时,函数 f(x)=

的图象如下:

∵x>m 时,f(x)=x2﹣2mx+4m=(x﹣m)2+4m﹣m2>4m﹣m2, ∴y 要使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根, 必须 4m﹣m2<m(m>0), 即 m2>3m(m>0), 解得 m>3, ∴m 的取值范围是(3,+∞), 故答案为:(3,+∞).

三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.

16.计算:

(1)0.027

﹣(﹣ )﹣2+256 ﹣3﹣1+( ﹣1)0;

(2)



【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【分析】(1)有理数指数幂的性质、运算法则求解. (2)利用对数性质、运算法则求解.

【解答】解:(1)0.027

﹣(﹣ )﹣2+256 ﹣3﹣1+( ﹣1)0

=( ) ﹣(﹣7)2+

= =19. (2)
=

= =﹣4.

17.已知全集为实数集 R,集合 A={x|y=

+

},B={x|log2x>1}.

(Ⅰ)分别求 A∩B,(?RB)∪A;

(Ⅱ)已知集合 C={x|1<x<a},若 C? A,求实数 a 的取值集合.

【考点】交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用.

【分析】(Ⅰ)由 A={x|y=

+

}={x|1≤x≤3},B={x|log2x>1}={x|x>

2},能求出 A∩B 和(CRB)∪A. (Ⅱ)当 a≤1 时,C≠?,此时 C? A;当 a>1 时,C? A,则 1<a≤3,由此能

求出 a 的取值范围.

【解答】解:(Ⅰ)∵A={x|y=

+

}={x|1≤x≤3},

B={x|log2x>1}={x|x>2},

∴A∩B={x|2<x≤3},

∵CRB={x|x≤2}, ∴(CRB)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}.… (Ⅱ)①当 a≤1 时,C≠?,此时 C? A;…

②当 a>1 时,C? A,则 1<a≤3.…

综合①②,可得 a 的取值范围是(﹣∞,3].…

18.设 f(x)的定义域为[﹣3,3],且 f(x)是奇函数,当 x∈[0,3]时,f(x) =x(1﹣3x).

(1)求当 x∈[﹣3,0)时,f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x)<﹣8x. 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】(1)根据函数奇偶性的性质进行求解即可. (2)根据函数的解析式,利用分类讨论的思想解不等式即可. 【解答】解:(1)若 x∈[﹣3,0),则﹣x∈(0,3], 即 f(﹣x)=﹣x(1﹣3﹣x). ∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣x(1﹣3﹣x)=﹣f(x), 即 f(x)=x(1﹣3﹣x).x∈[﹣3,0). (2)若 x∈[0,3]时,由 f(x)=x(1﹣3x)<﹣8x. 得 1﹣3x<﹣8,即 3x>9,即 2<x≤3, 若 x∈[﹣3,0)时,由 f(x)=x(1﹣3﹣x)<﹣8x. 得 1﹣3﹣x>﹣8,即 3﹣x<9,即﹣2<x<0, 综上不等式的解集为(﹣2,0)∪(2,3].

19.已知函数 f(x)= (1)求函数 F(x)=f(2x)﹣f(x),x∈[0,2]的值域; (2)试判断 H(x)=f(﹣2x)+g(x)在(﹣1,+∞)的单调性并加以证明. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数的值域. 【分析】(1)求出 F(X)的解析式,通过换元,转化为二次函数,通过配方求 出二次函数的对称轴,求出函数的最值. (2)求出 H(x)的解析式,求出其导函数,判断出导函数的符号,根据导函数 的符号与函数单调性的关系判断出函数的单调性.
【解答】解:(1)F(x)=



(t∈[ ,1])则

y=

当 ,y 最小为

当 t=1 时,y 有最大值为 0, 故 F(x)的值域为[﹣ ,0]

(2)H(x)=



>0

∴H(x)在(﹣1,+∞)单调递增

20.在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某 种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的 小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低 生活费的开支 3600 元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中有:① 这种消费品的进价为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件)与销售价格 P(元) 的关系如图所示;③每月需要各种开支 2000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大? 并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?

【考点】分段函数的应用. 【分析】(1)根据条件关系建立函数关系,根据二次函数的图象和性质即可求出 函数的最值; (2)根据函数的表达式,解不等式即可得到结论. 【解答】解:设该店月利润余额为 L,则由题设得 L=Q(P﹣14)×100﹣3600﹣ 2000,①
由销量图易得 Q=

代入①式得 L=
(1)当 14≤P≤20 时,Lmax=450 元,此时 P=19.5 元,当 20<P≤26 时,Lmax= 元, 此时 P= 元.故当 P=19.5 元时,月利润余额最大,为 450 元, (2)设可在 n 年内脱贫,依题意有 12n×450﹣50000﹣58000≥0, 解得 n≥20, 即最早可望在 20 年后脱贫.

2017 年 2 月 25 日
比知识你 海纳百 川,比 能力你 无人能 及,比 心理你 处变不 惊,比 信心你 自信满 满,比 体力你 精力充 沛,综 上所述 ,高考 这场比 赛你想 不赢都 难,祝 高考好 运,考 试顺利 。


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