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【高数】同步课程_必修4_三角函数A级(共8讲)_第06讲_简单的三角恒等变换


简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换
含二倍角公式

知识点
一、倍角公式

二、三角函数的积化和差与和差化积

三、半角的正弦、余弦和正切

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简单的三角恒等变换

高考考纲

例题
一、 单选题 1、若 cos 2? ? cos? ? 0, 则 sin 2? ? sin ? 的值等于( A. 0 B. ? 3 C. 0 或 3 D. 0 或 ? 3 【答案】 D 【解析】
2cos2 ? ? 1 ? cos? ? 0, 由 cos 2? ? cos? ? 0, 所以 cos? ? ?1 或
1 . 2

).

当 cos? ? ?1 时,有 sin? ? 0; 当 cos? ?
3 1 时,有 sin?= ? . 2 2

于是 sin2? ? sin? ? sin? (2cos? ? 1) ? 0 或 3 或 ? 3 .
sin 2? 的值等于( cos 2 ?

2、若 tan ? ? 3, 则 A.2 B.3

)

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简单的三角恒等变换

C.4 D.6 【答案】 D 【解析】
sin 2? 2sin ? cos ? ? ? 2 tan ? ? 6 cos2 ? cos 2 ?

?? ? 1 3、设 sin ? ? ? ? = , 则 sin 2? ? ( 4 ? ? 3 7 A. ? 9

).

B. ? C. D.
1 9 7 9

1 9

【答案】 A 【解析】
7 ?1? ?? ? ?? ? sin 2? ? ?cos ? ? 2? ? ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 1 =2 ? ? ? ? 1= ? . 9 ? 3? ?2 ? ?4 ?
2

2 4、已知 sin ? ? , 则 cos(? ? 2? ) 等于( ) 3

5 3 1 B. ? 9

A. ?

C. D.

1 9

5 3

【答案】 B 【解析】
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简单的三角恒等变换

4 1 cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? ?(1 ? 2sin 2 ? ) ? 2sin 2 ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? . 9 9

5、已知 ? 是第二象限角,且 cos ? ? ? A. B.
4 3 3 4 4 3 3 4

7 ? ,则 tan ? ( 25 2



C. ? D. ?

【答案】 B 【解析】

? 是第二象限角,则
又 cos ? ? ?

? ? 为第一象限角或第三象限角,可得 tan ? 0 , 2 2

7 24 24 ,可得 sin ? ? ,则 tan ? ? ? , 25 25 7

由正切的二倍角公式 tan ? ?

2 ,解得 tan ? ? 3 或 ? 4 , ? 3 2 4 1 ? tan 2 2

2 tan

?

从而 tan

?
2

?

3 ,即选 B. 4

?? 1 ?? ? ? 6、已知 ? ? ? , ? ? , tan ? ? ? ? ? ,那么 sin ? ? cos ? 的值为( ) 2 4? 7 ? ? ? 1 A. ? 5

B.

7 5 7 5

C. ? D.
3 4

【答案】 A 【解析】
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简单的三角恒等变换

?? 1 tan ? ? 1 1 3 ? 由 tan ? ? ? ? ? ,可得 ? ,则 tan ? ? ? , 4 7 1 ? tan ? 7 4 ? ? 3 4 1 ?? ? 因为 ? ? ? , ? ? , sin ? ? , cos ? ? ? ,则 sin ? ? cos ? ? ? , 5 5 5 ?2 ?

即选 A.

7、 sin43?cos17? ? cos43?sin17? 的值为( ) A. ? B. C.
1 2 1 2

3 2 3 2

D. ?

【答案】 C 【解析】 原式 ? sin ? 43? ? 17? ? ? sin 60? ?
3 .即选 C 2 1 ? sin ? cos ? ,则( )

8、设

? ? ? (0, )
?
2

2 ,

? ? ? (0, )

2 ,且

tan ? ?

A. 3? ? ? ? B. 2? ? ? ? C. 3? ? ? ? D. 2? ? ? ?

?
2

?
2

?
2

【答案】 B 【解析】
tan ? ? sin ? 1 ? sin ? ? ,? sin ? cos ? ? cos ? ? cos ? sin ? cos ? cos ?
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简单的三角恒等变换

? ? ? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ,0 ? ? ? ? 2 2 2 2 2 ? ?
?? ?? ?

?
2

? ? ,即 2? ? ? ?

?
2

,选 B

二、 填空题 9、函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________.

【答案】 1 【解析】
f ( x) ? sin( x ? 2φ)-2sin φ cos( x ? φ) ? sin( x ? φ) ? cos φ ? cos( x ? φ) ? sin φ-2sin φ cos( x ? φ) ? sin( x ? φ) ? cos φ-cos( x ? φ) ? sin φ ? sin x ? 1,? 最大值为1.

三、 解答题
?? ? 10、已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? m cos 2 x ,且 3? ? ??? f ? ??0. ?6?

(1)求实数 m 的值; (2)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间.

【答案】
5? ? ? ? (1) ? 3 (2) T ? ? ; ? ? ? k ?, ? k ?? , k ? Ζ 12 ? 12 ?

【解析】
? ??? ? ? ?? (1)由 f ? ? ? 0 ,则 sin ? 2 ? ? ? ? m cos ? 0 ,解得 m ? ? 3 ; 3 ?6? ? 6 3? ?? ? (2) f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 3 cos 2 x 3? ?

1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 3 cos 2 x 2 2 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? , 3? ?

则最小正周期 T ? ? ,

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简单的三角恒等变换

? ?? ? 又 y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k ? ? , 2k ? ? ? , k ? Ζ , 2 2? ? ? ? ? ?? 5? ? ? ? 则 2 x ? ? ? 2k ? ? , 2k ? ? ? ,解得单调递增区间为 x ? ? ? ? k ?, ? k ?? , k ? Ζ . 3 ? 2 2? 12 ? 12 ?

11、证明: tan

?
2

=

1 - cos ? 成立. sin ?

【答案】 见解析

【解析】

tan

?
2

sin = cos

? ?
2 = 2

2sin

?
2

cos

?
2 =

2cos 2

?
2

sin ? , cos ? + 1

又 tan

?
2

sin = cos

? ?
2 = 2

2sin 2 2sin

?
2

?
2

cos

?
2

=

1 - cos ? ,所以原式成立. sin ?

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简单的三角恒等变换

随堂练习
1、函数 y ? 2sin x(sin x ? cos x) 的最大值为( ) A. 1 ? 2 B. 2 ? 1 C. 2 D. 2 【答案】 A 【解析】

?? ? y ? 2sin x(sin x ? cos x) ? 2sin 2 x ? 2sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 4? ?
? ymax ? 2 ? 1
1 的是( ) 4

2、下列各式的值为 A. 2cos 2

?
12

?1

B. 1-2sin 2 75? 2 tan 22.5? C. 1 ? tan 2 22.5? D. sin 15? cos 15? 【答案】 D 【解析】
2cos 2

?
12

? 1 ? cos

?
6

?

3 3 ; 1 ? 2sin 2 75? ? cos 150? ? ? 2 2

2 tan 22.5? 1 1 ? tan 45? ? 1 ; sin 15? cos 15? ? sin 30? ? . 1 ? tan 2 22.5? 2 4

3、已知 y ? sin ? π ? x ? ? cos 2 x ,则 y 的最小值和最大值分别为( )

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简单的三角恒等变换

9 A. ? ,2 8

B. ?2 ,

9 8

3 C. ? ,2 4

D. ?2 , ?

3 4

【答案】 A 【解析】
1? 9 ? y ? sin ? ? ? x ? ? cos 2 x ? ? sin x ? ?1 ? 2sin 2 x ? ? 2sin 2 x ? sin x ? 1 ? 2 ? sin x ? ? ? , 4? 8 ?
2

故当 sin x ?

1 9 时,函数取得最小值为 ? , 4 8

当 sin x ? ?1 时,函数取得最大值为 2. 故选 A.

? ? 4、 x ? R ,求函数 y ? sin( x ? ) ? sin( x ? ) 的最值 6 3
【答案】 函数的最大值为 2 ,最小值为 ? 2 【解析】
y ? 2sin( x ? ) cos(? ) ? 2 sin( x ? ) 12 4 12

?

?

?

∴函数的最大值为 2 ,最小值为 ? 2

?? B? 5、在 ?ABC 中, A , B , C 是其三个内角,设 4sin B cos2 ? ? ? ? cos 2 B ? 2 . ?4 2?
(1)求角 B ; (2)求 sin A ? sin C 的取值范围. 【答案】
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简单的三角恒等变换

(1)

?1 6 ? 2? ?1 6 ? 2? ? 5? 或 (2) ? ?或? ? ? 2, ? , 2 2 6 6 ? ? ?2 ?

【解析】
?? B? (1)∵ 4sin B cos2 ? ? ? ? cos 2 B ?4 2?

?? ? 1 ? cos ? ? B ? 2 ? ? ? cos 2 B ? 4sin B 2

? 2sin B ?1 ? sin B ? ? 2cos2 B ? 1
? 2sin B ? 1

∴ 2sin B ? 1 ? 2 , ∴ sin B ? ∴B?
1 , 2

? ?? 或B? . 6 6 ? , 6

(2)①若 B ? ∴ A?C ?

?? , 6 A?C A?C 5? A?C , cos ? 2sin cos 2 2 12 2

而 sin A ? sin C ? 2sin 又

A ? C ? 5? 5? ? ?? ? , ? , 2 ? 12 12 ? A?C ? 5? ? ? ? cos ,1? , 2 12 ? ?

∴ cos

5? 5? 5? ? ? ∴ sin A ? sin C ? ? 2sin cos , 2sin ? , 12 12 12 ? ?

?1 6 ? 2? ∴ sin A ? sin C ? ? ?. ? 2, 2 ? ?
②若 B ?
5? , 6 ? , 6 A?C A?C ? A?C , cos ? 2sin cos 2 2 12 2

∴ A?C ?

而 sin A ? sin C ? 2sin 又

A?C ? ? ? ? ?? ? , ? , 2 ? 12 12 ? A?C ? ? ? ? ? cos ,1? , 2 12 ? ?
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∴ cos

简单的三角恒等变换

? ? ?? ? ∴ sin A ? sin C ? ? 2sin cos , 2sin ? , 12 12 12 ? ?

?1 6 ? 2? ∴ sin A ? sin C ? ? ?. ? 2, 2 ? ?
骣 ? ?÷ 6、求证: 1 + sin ? = 2cos 2 ? - ÷. ? ? 桫 4 2÷

【答案】 见解析 【解析】
骣 ? ?鼢 2cos 2 珑 - 鼢 = 2? 珑 珑 桫 4 2鼢 骣 ? 1 + cos ? - ?÷ ÷ ? ÷ ? 骣 桫 ? 2 1 + cos - ? = 1 + sin ? . 桫 2 2

课后作业
?? ? 3 1、已知 sin ? ? x ? ? ,那么 sin 2 x 的值为( ) ?4 ? 5 3 A. 25

B. C. D.

7 25 9 25 18 25

【答案】 B 【解析】
2 3 ? ? cos x ? sin x ? ? , 2 5 1 9 18 2 所以 ? cos x ? sin x ? ? ,即 1 ? sin 2 x ? , 2 25 25

因为

所以 sin 2 x ?

7 ,故选 B. 25

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简单的三角恒等变换

π? 4 π? ? ? 2、已知 cos ? ? ? ? ? sin ? ? 3 ,则 sin ? ? ? ? 的值是( ) 6 5 6? ? ? ?

2 3 5 A. ?

2 3 B. 5
4 5 C. 4 D. 5 ?

【答案】 D 【解析】
π? 4 ? ∵ cos ? ? ? ? ? sin ? ? 3, 6? 5 ?



3 3 4 cos ? ? sin ? ? 3, 2 2 5

1 3 4 ∴ cos ? ? sin ? ? , 2 2 5 π 4 ? ? ∴ sin ? ? ? ? ? . 6? 5 ?

3、若 tan ? ?

?? 1 ? ,则 cos ? 2? ? ? ? _____. ?? 2 ?

【答案】
? 4 5

【解析】 依题意得知, sin 2? ? 2sin ? cos ? ?
?? 4 ? cos ? 2? ? ? ? ? sin 2? ? ? . 2? 5 ?
2sin ? cos ? 2 tan ? 4 ? ? , 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 5

4、函数 f ( x) ?

cos2 x ? 2sin x . sin x ? cos x

?π? (1)求 f ? ? 的值; ?4?

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简单的三角恒等变换

(2)求函数 f ? x ? 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.

【答案】
π ?π? (1) f ? ? ? 2 (2) T ? 2π ;对称轴 x ? kπ+ , k ? Z 4 ?4?

【解析】
π cos π π 0 ? ? 2 (1) f ? ? ? ? 2sin ? ? 2 ? 2 .……(3 分) 4 2 2 ? 4 ? sin π ? cos π ? 4 4 2 2

(2)由 sin x ? cos x ? 0 得 x ? kπ ?
f ? x? ? ? cos2 x ? 2sin x sin x ? cos x cos 2 x ? sin 2 x ? 2sin x sin x ? cos x

π , k ?Z . 4

? cosx ? sin x π? ? ? 2 sin ? x ? ? 4? ?

……(7 分) 所以 f ? x ? 的最小正周期 T ? 2π .……(9 分)
π 因为函数 y ? sin x 的对称轴为 x ? kπ+ , k ? Z ,……(11 分) 2

又由 x ?

π π π ? kπ+ , k ? Z ,得 x ? kπ+ , k ? Z , 4 2 4

π 所以 f ? x ? 的对称轴的方程为 x ? kπ+ , k ? Z .……(13 分) 4

5、求证:

1 1 1 cos1? ? ? ... ? ? . cos 0? ? cos1? cos1? ? cos 2? cos88? ? cos89? sin 2 1?

【答案】 令S ?
1 1 1 ,由于 ? ? ... ? cos 0? ? cos1? cos1? ? cos 2? cos88? ? cos89?

sin1? ? tan ? n ? 1? ? ? tan n?, 则 S ? cos n? ? cos ? n ?1? ?
1 1 1 ? ? ... ? ? cos 0? ? cos1? cos1? ? cos 2? cos88? ? cos89?
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简单的三角恒等变换

1 ?? tan1? ? tan 0?? ? ? tan 2? ? tan1?? ? ? tan 3? ? tan 2?? ? ... ? ? tan89? ? tan88??? sin1? ? 1 cot1? cos1? ? ? tan 89? ? tan 0?? ? sin1? sin1? sin 2 1?

【解析】 运用三角函数的和差化积积化和差公式化简,采用裂项相消法

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