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《空间两点间的距离公式》课件_图文

4.3.2 空间两点间的距离公式

问题提出

1. 在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么? 2. 在空间直角坐标系中,若已 知两个点的坐标,则这两点之间的 距离是惟一确定的,我们希望有一 个求两点间距离的计算公式,对此, 我们从理论上进行探究.

知识探究(一):与坐标原点的距离公式

思考1:在空间直角坐标系中,点A (x,0,0),B(0,y,0),C(0, 0,z),与坐标原点O的距离分别是 什么?
z

|OA|=|x|

B

|OB|=|y|
|OC|=|z|

O
A

y

C
4

x

思考2:在空间直角坐标系中,坐标 平面上的点A(x,y,0),B(0,y, z),C(x,0,z),与坐标原点O 的距离分别是什么?
z B

| OA |=

x +y
2

2

2

C

O

y

x
2

A

| OB |=

y + z , | OC |=

x +z
5

2

2

思考3:在空间直角坐标系中,设点 P(x,y,z)在xOy平面上的射影为 M,则点M的坐标是什么?|PM|,|OM| 的值分别是什么?
M(x,y,0)
z O P y x M

|PM|=|z|

| OM |=

x +y

2

2
6

在空间直角坐标系中,若 已知两个点的坐标,则这两点 之间的距离是惟一确定的,我 们希望有一个求两点间距离的

y
y2

P2(x2, y2)

y1
O

计算公式,对此,我们从理论
上进行探究.

P1(x1,y1) Q(x2,y1)

x1

x2

x

长a,宽b,高c的长方体的对角线,怎么求?

d

c
b

a

d ? a 2 ? b2 ? c 2

一、探究:空间两点间的距离公式

在空间直角坐标系中,点P(x,y,z)到xOy平面的距 离,怎么求?

z

垂线段 的长

d xOy ? z
y

O y x

z P x

d yOz ? x d xOz ? y

在空间直角坐标系中,点P(x0,y0,z0)到坐标轴 的距离,怎么求?

z d y0 P z0 x0

垂线段 的长
2 0 2 0 2 0

dx ?
y

y ?z
2 0 2 0

O x

dy ? x ? z
2 0

dz ? x ? y

1.空间点到原点的距离

z
P( x, y, z)

|BP|=|z|
2 2 |OB|= x + y y

o

C
B

|OP|= x2 + y2 + z2

x A

2.如果是空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2 (x2,y2,z2)之间的距离公式会是怎样呢? 如图,设P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2) 是空间中任意两点,且点P1(x1,y1,z1)、 P2(x2,y2,z2) 在xOy平面上的射影分别为M,N, 那么M,N的坐标为M(x1,y1, 0), N(x2,y2,0).
x z

P2 P1

O
M1 N1 M M2

H N2 y N

2 2 MN = (x x ) +(y y ) . 在xOy平面上, 2 1 2 1

过点P1作P2N的垂线,垂足为H,
则 MP1 = z1 ,NP2 = z2 , 所以 HP2 = z2 - z1 .
在RtΔP1HP2中,
P1H = MN = (x 2 - x1 ) +(y 2 - y 1 ) ,
2 2

z

P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N

根据勾股定理
P1P2 = P1H + HP2 = (x 2 - x1 )2 +(y 2 - y 1 )2 +(z2 - z1 )2 ,
2 2

因此,空间中任意两点P1(x1,y1,z1)、 P2(x2,y2,z2) 之间的距离

P1P2 = (x2 - x1 )2 +(y 2 - y 1 )2 +(z2 - z1 )2 .

二、空间中点坐标公式

在空间直角坐标系中,点P(x1,y1,z1)和点
Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):

x1 ? x2 ? , ?x ? 2 ? y1 ? y2 ? , ?y? 2 ? z1 ? z 2 ? . ?z? 2 ?

名师导引:(1)如何建坐标系?(以长方体的一个顶 点为坐标原点,相邻的三条棱所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴) (2)空间点 P(x1,y1,z1)与点 Q(x2,y2,z2)的中点 M 的 坐标是什么?

((

x1 ? x2 2

,

y1 ? y2 2

,

z1 ? z2 2

))

应用举例:
例1 在空间中,已知点A(1, 0, -1), B (4, 3, -1),求A、B两点之间的距离.

例2 已知两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2),点P在z轴上,若 |PA|=|PB|,求点P的坐标.

空间两点间的距离
【例 3】 如图所示,在长方体 ABCD A1B1C1D1
中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点 M 在 A1C1 上, |MC1|=2|A1M|,N 在 D1C 上且为 D1C 中点,求 M、N 两点间的距离.

解:如图所示,分别以 AB,AD,AA1 所在的直线 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知 C(3,3,0),D(0,3,0), ∵|DD1|=|CC1|=|AA1|=2, ∴C1(3,3,2),D1(0,3,2), ∵N 为 CD1 的中点,
?3 ? ∴N ? ,3,1? . ?2 ?

M 是 A1C1 的三分之一分点且靠近 A1 点, ∴M(1,1,2).由两点间距离公式,得
3 ? 2 2 ? |MN|= ? ? 1? ? ?3 ? 1? ? ?1 ? 2? ?2 ?
21 = . 2
2

求解距离问题的关键是什么? (解决本类题目的关键是准确确定点的坐标, 正确使用空间两点间的距离公式.若是在具 体的立体几何问题中,则需建立适当的坐标 系,结合具体的图形特征,利用空间两点间的 距离公式求解)

跟踪训练 3 1:已知点 A(0,1,0)、B(-1,0,-1)、 C(2,1,1),若 点 P(x,0,z)满足 PA⊥AB,PA⊥AC, 试求点 P 的坐标. 解:∵PA⊥AB, ∴△PAB 为直角三角形, 2 2 2 ∴|PB| =|PA| +|AB| ,即 2 2 2 2 (x+1) +(z+1) =x +1+z +1+1+1, 即 x+z=1,①

又∵PA⊥AC, ∴△PAC 为直角三角形, 2 2 2 ∴|PC| =|PA| +|AC| ,即 2 2 2 2 (x-2) +1+(z-1) =x +1+z +4+0+1, 即 2x+z=0,②
? x ? ?1, 由①②得 ? ? z ? 2.

∴点 P 的坐标为(-1,0,2).

如图,在正方体ABCDA`B`C`D`中,点P、Q分别在棱长为1的正方 体的对角线BD`和棱CC`上运动,求P、Q两 点间的距离的最小值,并指出此时P、Q两点 的位置. z
D`
A`
| PQ |= = (1 - z 1 ) + z + (z 1 - z 2 ) 12 1 ) + 2 2
2 2 1 2

P139.B3例4

C`
B` Q(0,1,z2)

O

P(x,y,z1)
C

(z 1 - z 2 )2 + 2(z 1 -

A
x

B H(x,x,0)

y

练习
4、如图,正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a, |AN|=2|CN|,|BM|=2|MC`|,求MN的长.
z
D` A` C` B` M

O
A x

C

N
B

y

25

一、两点间距离公式

平面: |P1P2 |= (x1 - x 2 )2 +(y1 - y 2 )2,
类比
2

猜想
2 2

空间: |P1P2 |= (x1 - x 2 ) +(y1 - y 2 ) +(z1 - z2 ) .

二、空间中点坐标公式 在空间直角坐标系中,点P(x1,y1,z1)和点 Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):
x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? y1 ? y2 ? ?y? 2 ? z1 ? z2 ? ?z? 2 ?

作业: P138练习:1,2,3。