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2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标1)解析


2015 年全国统一高考数学试卷(理科) (新课标 1)
一.选择题(共 12 小题) 1.设复数 z 满足 =i,则|z|=( ) D.2 ) D.

A.1 B. C. 2. (2015 春?包头校级期末)sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( A. B. C.
2 n

3. (2015 春?仙桃校级期末)设命题 p:?n∈N,n >2 ,则¬p 为( ) 2 n 2 n 2 n 2 n A.?n∈N,n >2 B.?n∈N,n ≤2 C.?n∈N,n ≤2 D.?n∈N,n =2 4. (2015 春?文昌校级期末)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.己知某同学每次投 篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 5. (2015 春?仙桃校级期末)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 点,若 A. <0,则 y0 的取值范围是( B. ) C. D. =1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦

6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺, 高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米 堆底部的弧长为 8 尺, 米堆的高为 5 尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有( ) A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 7.设 D 为△ ABC 所在平面内一点, A. C. B. D. ,则( )

8. (2015 春?仙桃校级期末)函数 f(x)=cos(ωx+?)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为 ( ) A. C. (kπ﹣ ,kπ+ , ) ,k∈z (k﹣ ,k+ ) ,k∈z B. D. (2kπ﹣ ,2kπ+ ) ,k∈z ( ,2k+ ) ,k∈z

第 1 页(共 24 页)

9. (2015 春?宜春校级期末)执行如图的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=( ) A.5 C. 7
2 5

B. 6 D .8
5 2

10. (x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 11. (2015 春?仙桃校级期末)圆柱被一个平面截去一部分后与半 球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和 俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=( ) A.1 B. 2 C. 4 D .8 12. (2015 春?济南校级期末)设函数 f(x)=e (2x﹣1)﹣ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是( ) A. B. C. D. [ ) [ ) [ ) [ )
x

二.填空题(共 4 小题) 13. (2015 春?仙桃校级期末)若函数 f(x)=xln(x+ )为偶函数.则 a= .

14. (2015 春?仙桃校级期末)一个圆经过椭圆 标准方程为 .

=1 的三个顶点.且圆心在 x 轴的正半轴上.则该圆

15.若 x,y 满足约束条件

.则 的最大值为



16. (2015 春?仙桃校级期末)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则 AB 的取值范围 是 . 三.解答题(共 8 小题) 2 17.Sn 为数列{an}的前 n 项和,己知 an>0,an +2an=4Sn+3 (I)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和.

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18.如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE 丄平面 ABCD, DF 丄平面 ABCD,BE=2DF,AE 丄 EC. (Ⅰ)证明:平面 AEC 丄平面 AFC (Ⅱ)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.

19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单 位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据作 了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

(xi﹣ )

2

(wi﹣ )

2

(xi﹣ ) (yi﹣ )

(wi﹣ ) (yi

﹣ ) 46.6 563
1,

6.8 =

289.8

1.6

1469

108.8

表中 wi=

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(Ⅰ) 根据散点图判断, y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型? (给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1) , (u2 v2)…..(un vn) ,其回归线 v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为:

=



= ﹣



20.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y=

与直线 l:y=kx+a(a>0)交于 M,N 两点.

(Ⅰ)当 k=0 时,分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程. (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由)

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21.已知函数 f(x)=x +ax+ ,g(x)=﹣lnx (i)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (ii)用 min {m,n }表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min { f(x) ,g(x)}(x>0) ,讨论 h(x) 零点的个数.

3

选做题 22. (2015 春?从化市校级期末)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于点 E. (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 OA= CE,求∠ACB 的大小.

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23. (2015 春?新乐市校级月考)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=﹣2,圆 C2: (x﹣1) +(y﹣2) =1, 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R) ,设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△ C2MN 的面积.

2

2

24. (2015 春?从化市校级期末)已知函数 f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

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2015 年全国统一高考数学试卷(理科) (新课标 1)
参考答案与试题解析

一.选择题(共 12 小题) 1.设复数 z 满足 A.1 =i,则|z|=( B. ) C. D.2

考点: 复数求模. 专题: 计算题;数系的扩充和复数. 分析: 先化简复数,再求模即可. 解答: 解:∵复数 z 满足 =i,
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∴z=

=i,

∴|z|=1, 故选:A. 点评: 本题考查复数的运算,考查学生的计算能力,比较基础. 2. (2015 春?包头校级期末)sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( A. B. C. ) D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数,化简求解即可. 解答: 解:sin20°cos10°﹣cos160°sin10° =sin20°cos10°+cos20°sin10° =sin30°
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= . 故选:D. 点评: 本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用,基本知识的考查. 3. (2015 春?仙桃校级期末)设命题 p:?n∈N,n >2 ,则¬p 为( 2 n 2 n 2 n A.?n∈N,n >2 B.?n∈N,n ≤2 C.?n∈N,n ≤2 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 解答: 解:命题的否定是:?n∈N,n2≤2n, 故选:C. 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
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2

n

) D.?n∈N,n =2
2 n

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4. (2015 春?文昌校级期末)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.己知某同学每次投 篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 考点: n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 判断该同学投篮投中是独立重复试验,然后求解概率即可. 解答: 解:由题意可知:同学 3 次测试满足 X∽B(3,0.6) ,
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该同学通过测试的概率为 故选:A. 点评: 本题考查独立重复试验概率的求法,基本知识的考查.

=0.648.

5. (2015 春?仙桃校级期末)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 点,若 A. <0,则 y0 的取值范围是( B. ) C.

=1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用向量的数量积公式,结合双曲线方程,即可确定 y0 的取值范围. 2 2 2 解答: 解:由题意, =( ﹣x0,﹣y0)?(﹣ ﹣x0,﹣y0)=x0 ﹣3+y0 =3y0 ﹣1<0,
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所以﹣

<y0<



故选:A. 点评: 本题考查向量的数量积公式,考查双曲线方程,考查学生的计算能力,比较基础. 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺, 高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米 堆底部的弧长为 8 尺, 米堆的高为 5 尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有( )

A.14 斛

B.22 斛

C.36 斛
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D.66 斛

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可. 解答: 解:设圆锥的底面半径为 r,则 ×2×3r=8,
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解得 r=

, ) ×5=
2

故米堆的体积为 × ×3×(



∵1 斛米的体积约为 1.62 立方, ∴ ÷1.62≈22,

故选:B. 点评: 本题主要考查椎体的体积的计算,比较基础.

7.设 D 为△ ABC 所在平面内一点, A. C.

,则( B. D.



考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 将向量 利用向量的三角形法则首先表示为
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,然后结合已知表示为

的形式.

解答: 解:由已知得到如图 由 故选:A. = = = ;

点评:

本题考查了向量的三角形法则的运用;关键是想法将向量

表示为



8. (2015 春?仙桃校级期末)函数 f(x)=cos(ωx+?)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为 ( )

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A. C.

(kπ﹣ ,kπ+ , ) ,k∈z (k﹣ ,k+ ) ,k∈z

B. D.

(2kπ﹣ ,2kπ+ ) ,k∈z ( ,2k+ ) ,k∈z

考点: 余弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ,可得 f(x)的解析式,再根据余弦函数的单调性,求得 f(x) 的减区间. 解答: 解:由函数 f(x)=cos(ωx+?)的部分图象,可得函数的周期为 =2( ﹣ )=2,∴ω=π,f
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(x)=cos(πx+?) . 再根据函数的图象以及五点法作图,可得 由 2kπ≤πx+ +?= ,k∈z,即 ?= ,f(x)=cos(πx+ ) .

≤2kπ+π,求得 2k﹣ ≤x≤2k+ ,故 f(x)的单调递减区间为(

,2k+ ) ,k∈z,

故选:D. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值;还考查了余弦函数的单调性,属于基础题. 9. (2015 春?宜春校级期末)执行如图的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=( )

A.5

B.6

C .7
第 10 页(共 24 页)

D.8

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由题意可得,算法的功能是求 S=1﹣
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≤t 时 n 的最小值,由此可得结论. ﹣ = ≤t 时 n 的最小值, >0.01, 而当 n=7 时, S=1﹣ ﹣ = ≤0.01,

解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=1﹣ 再根据 t=0.01, 可得当 n=6 时, S=1﹣ ﹣

故输出的 n 值为 7, 故选:C. 点评: 本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键,属于基础 题. 10. (x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为( A.10 B.20 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 利用展开式的通项,即可得出结论. 解答: 2 5 解: (x +x+y) 的展开式的通项为 Tr+1=
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2

5

5 2

) C.30

D.60

, = ,

令 r=2,则(x +x) 的通项为 令 6﹣k=5,则 k=1, ∴(x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为
2 5 5 2

2

3

=30.

故选:C. 点评: 本题考查二项式定理的运用,考查学生的计算能力,确定通项是关键. 11. (2015 春?仙桃校级期末)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何 体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=( )

A.1

B.2

C .4
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D.8

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 立体几何. 分析: 通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱,计算即可. 解答: 解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知, 截圆柱的平面过圆柱的轴线, 该几何体是一个半球拼接半个圆柱,
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∴其表面积为: ×4πr + ×πr
2 2

2

2

2r×2πr+2r×2r+ ×πr =5πr +4r ,

2

2

2

又∵该几何体的表面积为 16+20π, ∴5πr +4r =16+20π,解得 r=2, 故选:B.

点评: 本题考查由三视图求表面积问题,考查空间想象能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 12. (2015 春?济南校级期末)设函数 f(x)=e (2x﹣1)﹣ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是( ) A. B. C. D. [ ) [ ) [ ) [ )
x

考点: 利用导数研究函数的极值;函数的零点. 专题: 创新题型;导数的综合应用. x 分析: 设 g(x)=e (2x﹣1) ,y=ax﹣a,问题转化为存在唯一的整数 x0 使得 g(x0)在直线 y=ax﹣a 的下
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方,求导数可得函数的极值,数形结合可得﹣a>g(0)=﹣1 且 g(﹣1)=﹣3e ≥﹣a﹣a,解关于 a 的不等式组可得. 解答: 解:设 g(x)=e (2x﹣1) ,y=ax﹣a, 由题意知存在唯一的整数 x0 使得 g(x0)在直线 y=ax﹣a 的下方, x x x ∵g′(x)=e (2x﹣1)+2e =e (2x+1) , ∴当 x<﹣ 时,g′(x)<0,当 x>﹣ 时,g′(x)>0,
x

﹣1

∴当 x=﹣ 时,g(x)取最小值﹣2



当 x=0 时,g(0)=﹣1,当 x=1 时,g(1)=e>0, 直线 y=ax﹣a 恒过定点(1,0)且斜率为 a, 故﹣a>g(0)=﹣1 且 g(﹣1)=﹣3e ≥﹣a﹣a,解得 故选:D
﹣1

≤a<1

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点评: 本题考查导数和极值,涉及数形结合和转化的思想,属中档题. 二.填空题(共 4 小题) 13. (2015 春?仙桃校级期末)若函数 f(x)=xln(x+ )为偶函数.则 a= 1 .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,f(﹣x)=f(x) ,代入根据对数的运算性质即可求解 解答: 解:∵f(x)=xln(x+ )为偶函数,
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∴f(﹣x)=f(x) , ∴(﹣x)ln(﹣x+ ∴﹣ln(﹣x+ ∴ln(﹣x+ ∴ )=xln(x+ )=ln(x+ )+ln(x+ ) , )=0, , ) ,

∴lna=0, ∴a=1. 故答案为:1. 点评: 本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用,属于基础试题.

14. (2015 春?仙桃校级期末)一个圆经过椭圆 标准方程为 (x﹣ ) +y =
2 2

=1 的三个顶点.且圆心在 x 轴的正半轴上.则该圆



考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆的方程求出顶点坐标,然后求出圆心坐标,求出半径即可得到圆的方程.
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解答: 解:一个圆经过椭圆 =1 的三个顶点.且圆心在 x 轴的正半轴上.

可知椭圆的右顶点坐标(4,0) ,上下顶点坐标(0,±2) , 设圆的圆心(a,0) ,则 圆的半径为: , 所求圆的方程为: (x﹣ ) +y = 故答案为: (x﹣ ) +y =
2 2 2 2

,解得 a= ,





点评: 本题考查椭圆的简单性质的应用,圆的方程的求法,考查计算能力.

15.若 x,y 满足约束条件

.则 的最大值为 3 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 的最大值.
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解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 设 k= ,则 k 的几何意义为区域内的点到原点的斜率, 由图象知 OA 的斜率最大, 由 ,解得 ,即 A(1,3) ,

则 kOA= =3, 即 的最大值为 3. 故答案为:3.

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点评: 本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义以及直线的斜率,利用数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 16. (2015 春?仙桃校级期末)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则 AB 的取值范围是 ( ﹣ , + ) . 考点: 三角形中的几何计算. 专题: 综合题;创新题型;解三角形. 分析: 如图所示,延长 BA,CD 交于点 E,设 AD= x,AE=
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x,DE=

x,CD=m,求出

x+m=

+

,即可求出 AB 的取值范围.

解答: 解:如图所示,延长 BA,CD 交于点 E,则 在△ ADE 中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,∠E=30°, ∴设 AD= x,AE= ∵BC=2, ∴( ∴ x+m)sin15°=1, x+m= + , x,DE= x,CD=m,

∴0<x<4, 而 AB= x+m﹣ x= + ﹣ x, ) .

∴AB 的取值范围是( ﹣ 故答案为: ( ﹣ , +

, + ) .

点评: 本题考查求 AB 的取值范围,考查三角形中的几何计算,考查学生的计算能力,属于中档题. 三.解答题(共 8 小题) 2 17.Sn 为数列{an}的前 n 项和,己知 an>0,an +2an=4Sn+3 (I)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.

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第 15 页(共 24 页)

分析: (I)根据数列的递推关系,利用作差法即可求{an}的通项公式: (Ⅱ)求出 bn= ,利用裂项法即可求数列{bn}的前 n 项和.

2 2 解答: 解: (I)由 an +2an=4Sn+3,可知 an+1 +2an+1=4Sn+1+3 2 2 两式相减得 an+1 ﹣an +2(an+1﹣an)=4an+1, 2 2 即 2(an+1+an)=an+1 ﹣an =(an+1+an) (an+1﹣an) , ∵an>0,∴an+1﹣an=2, 2 ∵a1 +2a1=4a1+3, ∴a1=﹣1(舍)或 a1=3, 则{an}是首项为 3,公差 d=2 的等差数列, ∴{an}的通项公式 an=3+2(n﹣1)=2n+1: (Ⅱ)∵an=2n+1,

∴bn=

=

= (

﹣ +…+

) , ﹣ )= ( ﹣ )= .

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn= ( ﹣

点评: 本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算,利用裂项法是解决本题的关键. 18.如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE 丄平面 ABCD, DF 丄平面 ABCD,BE=2DF,AE 丄 EC. (Ⅰ)证明:平面 AEC 丄平面 AFC (Ⅱ)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.

考点: 异面直线及其所成的角;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用. 分析: (Ⅰ) 连接 BD, 设 BD∩AC=G, 连接 EG、 EF、 FG, 运用线面垂直的判定定理得到 EG⊥平面 AFC, 再由面面垂直的判定定理,即可得到; (Ⅱ)以 G 为坐标原点,分别以 GB,GC 为 x 轴,y 轴,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系 G ﹣xyz,求得 A,E,F,C 的坐标,运用向量的数量积的定义,计算即可得到所求角的余弦值. 解答: 解: (Ⅰ)连接 BD, 设 BD∩AC=G, 连接 EG、EF、FG, 在菱形 ABCD 中, 不妨设 BG=1, 由∠ABC=120°, 可得 AG=GC= ,
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BE⊥平面 ABCD,AB=BC=2, 可知 AE=EC,又 AE⊥EC, 所以 EG= ,且 EG⊥AC, 在直角△ EBG 中,可得 BE= ,故 DF= , ,FD= ,可得 EF= , ,

在直角三角形 FDG 中,可得 FG=

在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE=
2 2 2

从而 EG +FG =EF ,则 EG⊥FG, AC∩FG=G,可得 EG⊥平面 AFC, 由 EG?平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 AFC; (Ⅱ)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB,GC 为 x 轴,y 轴,|GB|为单位长度, 建立空间直角坐标系 G﹣xyz,由(Ⅰ)可得 A(0,﹣ ,0) ,E(1,0, ) , F(﹣1,0, 即有 =(1, , ) ,C(0, , >= ) , ,0) , =(﹣1,﹣ = , ) , =﹣ .

故 cos<

则有直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为



点评: 本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法, 主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所 成的角的求法:向量法,考查运算能力,属于中档题. 19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单 位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据作 了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

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(xi﹣ )

2

(wi﹣ )

2

(xi﹣ ) (yi﹣ )

(wi﹣ ) (yi

﹣ ) 46.6 563
1,

6.8 =

289.8

1.6

1469

108.8

表中 wi=

(Ⅰ) 根据散点图判断, y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型? (给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1) , (u2 v2)…..(un vn) ,其回归线 v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为:

=



= ﹣



考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据散点图,即可判断出, (Ⅱ)先建立中间量 w= ,建立 y 关于 w 的线性回归方程,根据公式求出 w,问题得以解决; (Ⅲ) (i)年宣传费 x=49 时,代入到回归方程,计算即可, (ii)求出预报值得方程,根据函数的性质,即可求出. 解答: 解: (Ⅰ)由散点图可以判断,y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型;
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(Ⅱ)令 w= = ﹣

,先建立 y 关于 w 的线性回归方程,由于 =

=68,

=563﹣68×6.8=100.6,

所以 y 关于 w 的线性回归方程为 =100.6+68w,
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因此 y 关于 x 的回归方程为 =100.6+68

, =576.6,

(Ⅲ) (i)由(Ⅱ)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值 =100.6+68 年利润 z 的预报值 =576.6×0.2﹣49=66.32, (ii)根据(Ⅱ)的结果可知,年利润 z 的预报值 =0.2(100.6+68 当 = =6.8 时,年利润的预报值最大.

)﹣x=﹣x+13.6

+20.12,

点评: 本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题,准确的计算是本题的关键,属于中档题.

20.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y=

与直线 l:y=kx+a(a>0)交于 M,N 两点.

(Ⅰ)当 k=0 时,分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程. (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由) 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 创新题型;导数的综合应用. 分析: (I)联立

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,可得交点 M,N 的坐标,由曲线 C:y=

,利用导数的运算法则可得:y′= ,

利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程. (II)存在符合条件的点(0,﹣a) ,设 P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 2 直线 PM,PN 的斜率分别为:k1,k2.直线方程与抛物线方程联立化为 x ﹣4kx﹣4a=0,利用根与 系数的关系、斜率计算公式可得 k1+k2=﹣ ?∠OPM=∠OPN.即可证明. 解答: 解: (I)联立 ,不妨取 M ,N , .k1+k2=0?直线 PM,PN 的倾斜角互补

由曲线 C:y=

可得:y′= , = ,其切线方程为:y﹣a= ,化为

∴曲线 C 在 M 点处的切线斜率为

. 同理可得曲线 C 在点 N 处的切线方程为: . (II)存在符合条件的点(0,﹣a) ,下面给出证明: 设 P(0,b)满足∠OPM=∠OPN.M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,直线 PM,PN 的斜率分别为:k1, k2.

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联立

,化为 x ﹣4kx﹣4a=0,

2

∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4a. ∴k1+k2= + = =﹣ .

当 b=﹣a 时,k1+k2=0,直线 PM,PN 的倾斜角互补, ∴∠OPM=∠OPN. ∴点 P(0,﹣a)符合条件. 点评: 本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方 程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
3

21.已知函数 f(x)=x +ax+ ,g(x)=﹣lnx (i)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (ii)用 min {m,n }表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min { f(x) ,g(x)}(x>0) ,讨论 h(x) 零点的个数. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 创新题型;导数的综合应用. 2 分析: (i)f′(x)=3x +a.设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 P(x0,0) ,则 f(x0)=0,f′(x0)=0 解出 即可. (ii)对 x 分类讨论:当 x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0,可得函数 h(x)=min { f(x) ,g(x)}≤g (x)<0,即可得出零点的个数.
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当 x=1 时,对 a 分类讨论:a≥﹣ ,a<﹣ ,即可得出零点的个数; 当 x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑 f(x)在(0,1)内的零点个数即可.对 a 分类 讨论:①当 a≤﹣3 或 a≥0 时,②当﹣3<a<0 时,利用导数研究其单调性极值即可得出.
2 解答: 解: (i)f′(x)=3x +a. 设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 P(x0,0) ,则 f(x0)=0,f′(x0)=0,



,解得

,a=



因此当 a=﹣ 时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (ii)当 x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0, ∴函数 h(x)=min { f(x) ,g(x)}≤g(x)<0, 故 h(x)在 x∈(1,+∞)时无零点. 当 x=1 时,若 a≥﹣ ,则 f(1)=a+ ≥0, ∴h(x)=min { f(1) ,g(1)}=g(1)=0,故 x=1 是函数 h(x)的一个零点;

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若 a<﹣ ,则 f(1)=a+ <0,∴h(x)=min { f(1) ,g(1)}=f(1)<0,故 x=1 不是函数 h(x) 的零点; 当 x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑 f(x)在(0,1)内的零点个数即可. ①当 a≤﹣3 或 a≥0 时,f′(x)=3x +a 在(0,1)内无零点,因此 f(x)在区间(0,1)内单调, 而 f(0)= ,f(1)=a+ ,∴当 a≤﹣3 时,函数 f(x)在区间(0,1)内有一个零点, 当 a≥0 时,函数 f(x)在区间(0,1)内没有零点. ②当﹣3<a<0 时,函数 f(x)在 当 x= 若 若 若 ∴当 内有一个零点. 综上可得:当 当 a= 当 或 或 a< 时,h(x)有一个零点; 时,f(x)取得最小值 >0,即 = 内单调递减,在 . 内单调递增,故
2

,则 f(x)在(0,1)内无零点.

=0,即 a=﹣ ,则 f(x)在(0,1)内有唯一零点. <0,即 ,由 f(0)= ,f(1)=a+ , 时,f(x)在(0,1)

时,f(x)在(0,1)内有两个零点.当﹣3<a

时,h(x)有两个零点; 时,函数 h(x)有三个零点.

点评: 本题考查了导数的运算法则、 利用导数的几何意义研究切线方程、 利用导数研究函数的单调性极值, 考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题. 22. (2015 春?从化市校级期末)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于点 E. (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 OA= CE,求∠ACB 的大小.

考点: 圆的切线的判定定理的证明. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)连接 AE 和 OE,由三角形和圆的知识易得∠OED=90°,可得 DE 是⊙O 的切线;
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(Ⅱ)设 CE=1,AE=x,由射影定理可得关于 x 的方程 x = 求角度. 解答: 解: (Ⅰ)连接 AE,由已知得 AE⊥BC,AC⊥AB, 在 RT△ ABC 中,由已知可得 DE=DC,∴∠DEC=∠DCE, 连接 OE,则∠OBE=∠OEB, 又∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°, ∴∠OED=90°,∴DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)设 CE=1,AE=x, 由已知得 AB=2 ,BE=
2

2

,解方程可得 x 值,可得所



由射影定理可得 AE =CE?BE, ∴x = 解方程可得 x= ∴∠ACB=60°
2

,即 x +x ﹣12=0,

4

2

点评: 本题考查圆的切线的判定,涉及射影定理和三角形的知识,属基础题. 23. (2015 春?新乐市校级月考)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=﹣2,圆 C2: (x﹣1) +(y﹣2) =1, 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R) ,设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△ C2MN 的面积.
2 2

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)由条件根据 x=ρcosθ,y=ρsinθ 求得 C1,C2 的极坐标方程. 2 (Ⅱ)把直线 C3 的极坐标方程代入 ρ ﹣3 ρ+4=0,求得 ρ1 和 ρ2 的值,结合圆的半径可得
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C2M⊥C2N,从而求得△ C2MN 的面积 ?C2M?C2N 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由于 x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ=﹣2, 2 2 故 C2: (x﹣1) +(y﹣2) =1 的极坐标方程为: 2 2 (ρcosθ﹣1) +(ρsinθ﹣2) =1, 2 化简可得 ρ ﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0. (Ⅱ)把直线 C3 的极坐标方程 θ= (ρ∈R)代入
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ρ ﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0,求得 ρ1=2 ,ρ2= , ∴|MN|=ρ1﹣ρ2= ,由于圆 C2 的半径为 1,∴C2M⊥C2N, △ C2MN 的面积为 ?C2M?C2N= .

2

点评: 本题主要考查简单曲线的极坐标方程,点的极坐标的定义,属于基础题. 24. (2015 春?从化市校级期末)已知函数 f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 a=1 时,把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式 组的解集,再取并集,即得所求. (Ⅱ)化简函数 f(x)的解析式,求得它的图象与 x 轴围成的三 角形的三个顶点的坐标,从而求得 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积;再根据 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,从而求得 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时,不等式 f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,
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①,或

②,



③.

解①求得 x∈?,解②求得 <x<1,解③求得 1≤x<2. 综上可得,原不等式的解集为( ,2) .

(Ⅱ)函数 f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=



由此求得 f(x)的图象与 x 轴的交点 A (

,0) ,

B(2a+1,0) , 故 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的第三个顶点 C(a,a+1) ,
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由△ ABC 的面积大于 6, 可得 [2a+1﹣ ]?(a+1)>6,求得 a>2.

故要求的 a 的范围为(2,+∞) .

点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.

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