当前位置:首页 >> 数学 >>

北师大版高中数学必修4《三角函数》全部教案


三角函数》 北师大版高中数学必修 4《三角函数》全部教案

第一课时 一、教学目标

§1.1 §1.1 周期现象与周期函数

1、知识与技能: (1)了解周期现象在现实中广泛存在; (2)感受周期现象对实际工作的意义; (3) 理解周期函数的概念; (4)能熟练地判断简单的实际问题的周期; (5)能利用周期函数定义进行 简单运用。 2、过程与方法:通过创设情境:单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等,让学生 感知周期现象;从数学的角度分析这种现象,就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义, 再在实践中加以应用。 3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处 处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事 物。 二、教学重、难点 教学重、 重点: 感受周期现象的存在,会判断是否为周期现象。难点: 周期函数概念的理解,以及简单的 应用。 三、学法与教法 学法:数学来源于生活,又指导于生活。在大千世界有很多的现象,通过具体现象让学生通过观 察、类比、思考、交流、讨论,感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义,再应用 于实践。 四、教学过程 、创设情境, (一) 创设情境,揭示课题 、创设情境 同学们: 你们有没有见过大海,观看过潮涨落,相信大家见过的不多,那今天就来看看著名的钱 塘江潮。 (课件展示) 众所周知,海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜的时间里,潮水会涨落两次,这种现象就 是我们今天要学到的周期现象。再比如,[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针 和秒针每经过一周就会重复,这也是一种周期现象。所以,我们这节课要研究的主要内容就是周 期现象与周期函数。(板书课题) (二) 、探究新知 1. 我们已经知道, 潮汐、 钟表都是一种周期现象, 请同学们观察钱塘江潮的图片 (投影图片) 注 , 意波浪是怎样变化的?可见,波浪每隔一段时间会重复出现,这也是一种周期现象。请你举出生

1

活中存在周期现象的例子。 (单摆运动、四季变化等) (板书:一、我们生活中的周期现象) 2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本 P3——P4 的相关内 容,并思考回答下列问题:①如何理解“散点图”? ②图 1-1 中横坐标和纵坐标分别表示什么? ③如何理解图 1-1 中的“H/m”和“t/h”?④对于周期函数的定义,你的理解是怎样? 以上问题都由学生来回答,教师加以点拨并总结:周期函数定义的理解要掌握三个条件,即 存在不为 0 的常数 T; 必须是定义域内的任意值; x f(x+T)=f(x)。 (板书: 二、 周期函数的概念) 3.[展示投影]练习: (1)已知函数 f(x)满足对定义域内的任意 x,均存在非零常数 T,使得 f(x+T)=f(x)。 求 f(x+2T) ,f(x+3T) 略解: f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x), f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x) 本题小结,由学生完成,总结出“周期函数的周期有无数个” ,教师指出一般情况下,为避免 引起混淆,特指最小正周期。 (2)已知函数 f(x)是 R 上的周期为 5 的周期函数,且 f(1)=2005,求 f(11) 略解:f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2005 (3)已知奇函数 f(x)是 R 上的函数,且 f(1)=2,f(x+3)=f(x),求 f(8) 略解:f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2 、巩固深化, (三) 巩固深化,发展思维 、巩固深化 1.请同学们先自主学习课本 P4 倒数第五行——P5 倒数第四行,然后各个学习小组之间展开合作 交流。 2.例题讲评 例 1.地球围绕着太阳转,地球到太阳的距离 y 是时间 t 的函数吗?如果是,这个函数 y=f(t)是 不是周期函数? 解析:在任何确定的时间,地球与太阳距离 y 是唯一确定的,每经过一年地球围绕着太阳转一周。 无论从哪个时间 t 算起,经过一年时间(T=365 天) ,地球又回到原来的位置,所以地球与太阳的 距离是周期变化的。y=f(t+365)=f(t)。 例 2.图 1-4(见课本)是钟摆的示意图,摆心 A 到铅垂线 MN 的距离 y 是时间 t 的函数,y=g(t)。 根据钟摆的知识,容易说明 g(t+T)=g(t),其中 T 为钟摆摆动一周(往返一次)所需的时间,函 数 y=g(t)是周期函数。若以钟摆偏离铅垂线 MN 的角θ的度数为变量,根据物理知识,摆心 A 到 铅垂线 MN 的距离 y 也是θ的周期函数。 例 3.图 1-5(见课本)是水车的示意图,水车上 A 点到水面的距离 y 是时间 t 的函数。假设水车 5min 转一圈,那么 y 的值每经过 5min 就会重复出现,因此,该函数是周期函数。 【T=5

2

y=f(t+5)=f(t)】 3.小组课堂作业:(1) 课本 P6 的思考与交流 (2) (回答)今天是星期三那么 7k(k∈Z)天后的那一天是星期几?7k(k∈Z)天前的那一天是星期 几?100 天后的那一天是星期几?【7k(k∈Z)天后的那一天是星期三;星期二;100 天后的那一天是 星期二。 】 、归纳整理,整体认识: (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主 (四) 归纳整理,整体认识: 、归纳整理 要数学思想方法有那些? (2) 在本节课的学习过程中, 还有那些不太明白的地方, 请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 、布置作业: (五) 布置作业:1.作业:习题 1.1 第 1,2,3 题. 2.多观察一些日常生活中的周期现象的例子,进一步理解它的特点. 五、教后反思: 教后反思:

3

第二课时 一、教学目标

§1.2 角的概念的推广 1.2

1、知识与技能: (1)推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义; (2)理解象限角、坐 标轴上的角的概念; (3)理解任意角的概念,掌握所有与 α 角终边相同的角(包括 α 角)的表示 方法; (4)能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合; (5)能进行简单的角的集合之间运算。 2、过程与方法:类比初中所学的角的概念,以前所学角的概念是从静止的观点阐述,现在是从运 动的观点阐述,进行角的概念推广,引入正角、负角和零角的概念;由于角本身是一个平面图形, 因此,在角的概念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系,引出象限角、非象限角的概念,以 及象限角的判定方法;通过几个特殊的角,画出终边所在的位置,归纳总结出它们的关系,探索 具有相同终边的角的表示;讲解例题,总结方法,巩固练习。 3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识;树立运动变化 观点,学会运用运动变化的观点认识事物;揭示知识背景,引发学生学习兴趣;创设问题情景, 激发学生分析、探求的学习态度;让学生感受图形的对称美、运动美,培养学生对美的追求。 二、教学重、难点 教学重、 重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义,掌握终边相同角的表示法及判断。 难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。 三、学法与教法 在初中,我们知道最大的角是周角,最小的角是零角;通过回忆和类比初中所学角的概念, 把角的概念进行了推广; 角是一个平面图形, 把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念; 通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法; 我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示 符号,以及正负角的表示,另外还有相同终边角的集合的表示等。教法: 类比探究交流法。 四、教学过程 、创设情境, (一) 创设情境,揭示课题 、 同学们,我们在拧螺丝时,按逆时针方向旋转会越拧越松,按顺时针方向旋转会越拧越紧。 但不知同学们有没有注意到,在这两个过程中,扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢? 请几个同学畅谈一下,教师控制好时间,2-3 分钟为宜。 这里面到底是怎么回事?这就是我们这节课所要学习的内容。 初中我们已给角下了定义,先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的? 我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角” ,这是从静止的观点阐述的。 、探究新知 (二) 探究新知 、 如果我们从运动的观点来看,角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个
4

位置所成的图形。 (先后用教具圆规和多媒体给学生演示: 逆时针转动形成角, 顺时针转动而成角, 转几圈也形成角,为推广角的概念做好准备) 1、正角、负角、零角的概念(打开课件第一版,演示正角、负角、零角的形成过程). 我们规定:(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,如图(见课件) 。一条射线由原来的 位置 OA ,绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB ,就形成角 α .旋转开始时的射线

OA 叫做角的始边, OB 叫终边,射线的端点 O 叫做叫 α 的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫
做负角;如果一条射线没有作任何旋转,我们认为这时它也形成了一个角,并把这个角叫做零角, 如果α是零角,那么α=0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角.为了简便起见, 在不引起混淆的前提下, “角α”或“∠α”可以记成“α” 。 过去我们研究了 0°~360°范围的角.如图(见课件)中的角α就是一个 0°~360°范围内 的角(α=30°). 如果我们将角α的终边 OB 继续按逆时针方向旋转一周、 两周……而形成的角是 多少度?是不是仍为 30°的角?(用多媒体演示这一旋转过程,让学生思考;为终边相同角概念做 准备).将终边 OB 旋转一周、两周……,分别得到 390°,750°……的角.如果将 OB 继续旋转 下去,便可得到任意大小的正角。同样地,如果将 OB 按顺时针方向旋转,也可得到任意大小的负 角(通过课件,动态演示这一无限旋转过程).这就是说,角度并不局限于 0°~360°的范围,它 可以为任意大小的角(与数轴进行比较).(打开课件第三版).如图(1)中的角为正角,它等于 750°;(2)中,正角α=210°,负角β=—150°,γ=-660°.在生活中,我们也经常会遇到 不在 0°~360°范围的角,如在体操中,有“转体 720°”(即“转体 2 周”), “转体 1080°”(即 “转体 3 周”)这样的动作名称;紧固螺丝时,扳手旋转而形成的角. 角的概念经过这样的推广以后,就包括正角、负角和零角. 2.象限角、坐标轴上的角的概念. 由于角是一个平面图形,所以今后我们常在直角坐标系内讨论角,(板书)我们使角的顶点与 原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴(包括原点)重合,那么角的终边(除端点外)在第几象限, 我们就说这个角是第几象限角.(打开课件第四版)例如图(1)中的 30°、390°、-330°角都是 第一象限角,图(2)中的 300°、-60°角都是第四象限角;585°角是第三象限角. (板书)如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任一象限. 3.终边相同的表示方法. (返回课件第二版,在图(1)1(2)中分别以 O 为原点,直线 0A 为 x 轴建立直角坐标系,重新演 示前面的旋转过程)在图(1)中, 如果将终边 OB 按逆时针方向旋转一圈、 两圈……, 分别得到 390°,
5

750°……的角,这些角的终边与 30°角的终边相同,只是转过的圈数不同,它们可以用 30°角 来表示,如 390°=30°十 360°,750°=30°十 2×360°,……在图(2)中,如果将终边 OB 按 顺时针方向旋转一圈、两圈……分别得到-330°,-690°……的角,这些角的终边与 30°角终 边也相同, 也只是转过的圈数不同, 它们也都可以用 30°的角来表示, 如-330°=30°-360°, -690°=30°—2×360°,…… 由此可以发现, 上面旋转所得到的所有的角(记为β), 都可以表示成一个 0°到 360°的角与 k(k∈Z)个周角的和,即:β=30°十 k·360°(k∈Z).如果我们把β的集合记为 S,那么 S={β |β=30°十 k·360°, k∈Z}.容易看出:所有与 30°角终边相同的角,连同 30°角(k=0)在 内,都是集合 S 的元素;反过来,集合 S 的任一元素显然与 30°角终边相同。 、巩固深化, (三) 巩固深化,发展思维 、巩固深化 1、例题讲评 例 1.判断下列各角是第几象限角. (1)—60°; (2)585°; (3)—950°12’ .

解:(1)∵—60°角终边在第四象限,∴它是第四象限角;(2)∵585°=360°十 225°,∴585° 与 225°终边相同,又∵225°终边在第三象限,∴585°是第三象限角;(3)∵ —950°12’=- 230°12’—2×360°,又∵-230°12’终边在第二象限,∴—950°12’是第二象限角. 例 2.在直角坐标系中,写出终边在 y 轴上的角的集合(α用 0°~360°的角表示). 解:在 0°~360°范围内,终边在 y 轴上的角有两个,即 90°与 270°角,因此,所有与 90°角 终边相同的角构成集合 S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z};所有与 270°角终边相同的角构成 集合 S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z};所以,终边在 y 轴上的角的集合 S=S1∪S2={β| β=90°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=270°+k·360°,k∈Z}. 例 3.写出与 60°角终边相同的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-360°≤β<270°的元素β 写出来. 解:S={β|β=60°+k·360°,k∈Z},S 中适合-360°≤β<270°的元素是: 60°-1×360°=-300°,60°+0×360°=60°,60°+1×360°=420°. 2.学生课堂练习:参考练习 (通过多媒体给题)。

(1) (口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、 钝角来回答这两个问题. (2)与—496°终边相同的角是 大负角是 。 ,分针转过的角度为 。 ,它是第 象限的角,它们中最小正角是 ,最

(3)时针经过 3 小时 20 分,则时针转过的角度为
6

(4)若α、β的终边关于 x 轴对称,则α与β的关系是 则α与β的关系是

;若α与β的终边关于 y 轴对称, ;若角α是第二

;若α、β的终边关于原点对称,则α与β的关系是 象限角。

象限角,则 180°—α是第

答案] [ 答案](1)是,不一定.(2)—496°十 k·360°(k∈Z),三,240°,—136°.(3)—100°,— 1200°. (4)α十β=k· 360°(k∈Z); α十β=180°十 k· 360。 (k∈Z); α一β=180°十 k· 360° (k∈Z);一. (四) 归纳整理,整体认识 、归纳整理, 、归纳整理 (1) 请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?你知道角是如何推广的吗? (2) 象限角是如何定义的呢? 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗? (3)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (4)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 、布置作业: (五) 布置作业: 习题 1.2 第 2,3 题. 、布置作业 五、教后反思: 教后反思:

7

第三课时 一、教学目标: 教学目标:

§1.3 弧度制

1、知识与技能: (1)理解 1 弧度的角及弧度的定义; (2)掌握角度与弧度的换算公式; (3)熟练 进行角度与弧度的换算; (4)理解角的集合与实数集 R 之间的一一对应关系; (5)理解并掌握弧 度制下的弧长公式、扇形面积公式,并能灵活运用这两个公式解题。 2、过程与方法:通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念;比较两种度量角的方法探究角度制与弧 度制之间的互化;应用在特殊角的角度制与弧度制的互化,帮助学生理解掌握;以针对性的例题 和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式;通过自主学习和合作学习,树立学生正确的学习 态度。 3、情感态度与价值观:通过弧度制的学习,使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度,二者 虽单位不同,但却是相互联系、辩证统一的;在弧度制下,角的加、减运算可以像十进制一样进 行,而不需要进行角度制与十进制之间的互化,化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不 便,体现了弧度制的简捷美;通过弧度制与角度制的比较,使学生认识到引入弧度制的优越性, 激发学生的学习兴趣和求知欲望,养成良好的学习品质。 二、教学重、难点 教学重、 重点: 理解弧度制的意义,正确进行弧度与角度的换算;弧长和面积公式及应用。 难点: 弧度的概念及与角度的关系;角的集合与实数之间的一一对应关系。 三、学法与教法 在初中,我们非常熟悉角度制表示角,但在进行角的运算时,运用六十进制出现了很不习惯 的问题,与我们常用的十进制不一样,正因为这样,所以有必要引入弧度制;在学习中,通过自 主学习的形式,让学生感受弧度制的优越性,在类比中理解掌握弧度制。教法:探究讨论法。 四、教学过程 、创设情境, (一) 创设情境,揭示课题 、创设情境 在初中几何里我们学过角的度量,当时是用度做单位来度量角的.我们把周角的

1 规定为 360

1 度的角,而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制.但在数学和其他科学中我们还经 常用到另一种度量角的单位制——弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念.(板书课题)弧 度制的单位是 rad,读作弧度. 、探究新知 (二) 探究新知 、 1.1 弧度的角的定义.(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角,叫做 1 弧度的角(打开 课件).如图 1—14(见教材),弧 AB 的长等于半径 r,则弧 AB 所对的圆心角就是 1 弧度的角,弧

8

度的单位记作 rad。 在图 1(课件)中,圆心角∠AOC 所对的弧长 l=2r,那么∠AOC 的弧度数就是 2rad;圆心角 ∠AOD 所对的弧长 l=

1 1 r,那么∠AOC 的弧度数就是 rad;圆心角∠AOE 所对的弧长为 l,那么 2 2

∠AOE 的弧度数是多少呢?学生思考并交流,此我们可以得到弧度制的定义. 2.弧度制的定义: 一般地,(板书)正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角 的弧度数是 o;角α的弧度数的绝对值|α|=

l ,其中 l 是以角α作为圆心角时所对弧的长,r r

是圆的半径,这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制. 在弧度制的定义中,我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的.为什么 可以用这个比值来度量角的大小呢?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系?请同学们自主学 习课本 P12—P13, 从课本中我们可以看出, 这个比值与所取的半径大小无关, 只与角的大小有关。 有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证明: (论证)如图 1—13(见教材) ,设∠α为 n°(n°>0)的角,圆弧 AB 和 AlBl 的长分别为 l 和 l1,点 A 和 Al 到点 O 的距离(即圆的半径)分别为 r(r>0)和 rl(rl>0),由初中所学的弧长公式有 l=

nπ nπ l l nπ r, 1= l r 1, 所以 = 1 = , 这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值, 180 180 r r1 180

与所取的半径大小无关,只与角α的大小有关. 用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但量数相同(都是 0);用角度制和弧度制度量任 一非零角,单位不同,量数也不同.但它们既然是表示同一个角,那这二者之间就应该可以进行 换算,下面我们来讨论角度与弧度的换算. 3.角度制与弧度制的换算. 现在我们知道: 个周角=360°= 1 =πrad,1°=

π
180

≈0.01745rad,1rad=(

2π r, 所以, (板书)360°=2πrad, 由此可以得到 180° r 180

π

)°≈57.30°=57°18’ 。

说明:在进行角度与弧度的换算时,关键要抓住 180°=πrad 这一关系式. 今后我们用弧度制表示角时, “弧度”二字或“rad”通常略去不写,而只写这个角所对应的 弧度数.例如,角 α=2 就表示是 2rad 的角,sin

π
3

就表示

π
3

rad 的角的正弦,但用角度制表示

角时, “度”或“°”不能省去.而且用“弧度”为单位度量角时,常把弧度数写成多少 π 的形 式,如无特别要求,不必把 π 写成小数,如 45°=

π
4

rad ,不必写成 45°=0.785 弧度.

前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法,而角度制与弧度制可以相互转化,所以
9

与角α终边相同的角(连同角α在内),也可以用弧度制来表示.但书写时要注意前后两项所采用 的单位制必须一致. 角的概念推广后,无论用角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集 R 之间建立一种一 一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数与它对应,例如这个角的弧度数或度数;反过来, 每一个实数也都有唯一的一个角与它对应,就是弧度数或度数等于这个实数的角。 、巩固深化, (三) 巩固深化,发展思维 、巩固深化 1.例题讲评 例 1.把 45°化成弧度。 例 2.把 解:45°= 解:

π
180

×45rad=

π
4

rad.

3π rad 化成度。 5

3π 3 rad= ×180°=108°. 5 5

例 3.利用弧度制证明扇形面积公式 S= 证:∵圆心角为 1 的扇形的面积为 形的面积 S=

1 lr,其中 l 是扇形的弧长,r 是圆的半径。 2

1 l 2 ·πr ,又∵弧长为 l 的扇形的圆心角的大小为 ,∴扇 2π r

l 1 1 2 · ·πr = lr. r 2π 2

2.学生课堂练习: (1)填表 度 弧度 0° 45° 60° 180° 360°

π
6

π
2

3π 2

说明:一些特殊角的弧度数,大家要熟记,免得每次遇到都要去进行换算. (2)用弧度制写出终边落在 y 轴上和 x 轴上的角集合。 、归纳整理,整体认识: (1)主要学习了弧度制的定义;角度与弧度的换算公式;特殊角 (四) 归纳整理,整体认识: 、归纳整理 的弧度数。 (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这 节课中的表现怎样?你的体会是什么? 、布置作业: (五) 布置作业:习题 1—3 中的 1、2、6. 、布置作业 五、课后反思: 课后反思:

10

第四课时§ 第四课时§1.4.1 单位圆与正弦函数 一、教学目标 1、知识与技能: (1)回忆锐角的正弦函数定义; (2)熟练运用锐角正弦函数的性质; (3)理解通 过单位圆引入任意角的正弦函数的意义; (4)掌握任意角的正弦函数的定义; (5)理解有向线段 的概念; (6)了解正弦函数图像的画法; (7)掌握五点作图法,并会用此方法画出[0,2π]上的 正弦曲线。 2、过程与方法:初中所学的正弦函数,是通过直角三角形中给出定义的;由于我们已将角推广到 任意角的情况,而且一般都是把角放在平面直角坐标系中,这样一来,我们就在直角坐标系中来 找直角三角形,从而引出单位圆;利用单位圆的独特性,是高中数学中的一种重要方法,在第二 节课的正弦函数图像,以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用;讲解例题,总结方法, 巩固练习。 3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识;在由锐 角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中,体会特殊与一般的关系,形成一种辩证统一的 思想;通过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、 解决问题的能力。 二、教学重、难点 教学重、 重点: 1.任意角的正弦函数定义,以及正弦函数值的几何表示。2.正弦函数图像的画法。 难点: 1.正弦函数值的几何表示。2.利用正弦线画出 y=sinx,x∈[0, 2π]的图像。 三、学法与教法 在初中,我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦,当把锐角放在直 角坐标系中时,角的终边与单位圆交于一点,正弦函数对应于该点的纵坐标,当是任意角时,通 过函数定义的形式引出正弦函数的定义; 作正弦函数 y=sinx 图像时, 在正弦函数定义的基础上, 通过平移正弦线得出其图像,再归结为五点作图法。教法: 探究讨论法。 四、教学过程 、创设情境, (一) 创设情境,揭示课题 、创设情境 我们学习角的概念的推广和弧度制,就是为了学习三角函数。请同学们回忆(1)角的概念的 推广及弧度制、 象限角等概念; 初中所学的正弦函数是如何定义的?并想一想它有哪些性质? (2) 学生思考回答以后,教师小结。 (板书课题) 、探究新知 (二) 探究新知 、探究 b C a
11

A c

B

在初中,我们学习了锐角α的正弦函数值:sinα=

a 对边 ,如图:sinA= ,由于 a 是直角 斜边 c

边,c 是斜边,所 sinA∈(0,1)。由于我们通常都是将角放到平面直角坐标系中,我们来看看会 发生什么? y P(a,b) r x

O

M

在直角坐标系中, (如图所示) ,设角α(α∈(0, 则角α的正弦值是:sinα=

π
2

) )的终边与半经为 r 的圆交于点 P(a,b) ,

b b .根据相似三角形的知识可知,对于确定的角α, 都不会随圆的 r r

半经的改变而改变。为简单起见,令 r=1(即为单位圆),那么 sinα=b,也就是说,若角α的终 边与单位圆相交于 P,则点 P 的纵坐标 b 就是角α的正弦函数。 直角三角形显然不能包含所有的角,那么,我们可以仿照锐角正弦函数的定义.你认为该如 何定义任意角的正弦函数? 一般地,在直角坐标系中(如上图) ,对任意角α,它的终边与单位圆交于点 P(a,b) ,我 们可以唯一确定点 P(a,b)的纵坐标 b,所以 P 点的纵坐标 b 是角α的函数,称为正弦函数,记 作 y=sinα(α∈R)。通常我们用 x,y 分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为 y=sinx. 正弦函数值有时也叫正弦值.

7π 角的终边与单位圆的交点的纵 3 3 π 8π π 5π 2π 坐标有什么关系?它们的正弦值有什么关系? 角和 角呢?- 角和 角呢?- 角和 3 3 3 3 3 14π - 角呢? y 3 π 、 7π P(-x,y) 3 3
请同学们画图,并利用正弦函数的定义比较说明: 角与 Y P(x,y) P(x,y) r x O X M o M

π

12

sin

π
3

=sin

7π y = =y 3 r
y

sin

8π π =-sin =-y 3 3
y

M o x P(x,y) P(x,y)

o

x

Sin(-

π
3

)=sin(

5π )=y 3

sin(-

2π 14π )=sin()=y 3 3

通过上述问题的讨论,容易得到:终边相同的角的正弦函数值相等,即 sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z),说明对于任意一个角α,每增加 2π的整数倍,其正弦函数值不 变。所以,正弦函数是随角的变化而周期性变化的,正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z,k≠0) 为正弦函数的周期。 2π是正弦函数的正周期中最小的一个,称为最小正周期。一般地,对于周期函数 f(x),如 果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫作 f(x)的最小正周期。 【巩固深化,发展思维】 1. 课本 P17 的思考与交流。 2.课本 P18 的练习。

3.若点 P(—3,y)是α终边上一点,且 sinα=—

2 6 5 ,求 y 值. y = ? 【 】 3 5

4.若角α的顶点为坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在函数 y=—3x (x≤0) 的图像上,则 sinα= 。 【

3 10 】 10

、归纳整理,整体认识: (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主 (三) 归纳整理,整体认识: 、归纳整理 要数学思想方法有那些? (2) 在本节课的学习过程中, 还有那些不太明白的地方, 请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 、作业布置: ,求 α 角的正弦值。 (四) 作业布置:1、已知锐角 α 终边上一点 P (3,4) 、作业布置

13

? 2、已知 P ( ?2, 3) 是角 α 终边上一点,求 sin α 的值。

3、已知角 α 的终边落在直线 y = 2 x 上,求 sin α 的值。

2 2 x sin 4、若实数 x , y 满足 x + y ? 12x + 4 y + 40 = 0 ,求:

25 π ? ? ? 15 π ? ?? ? + y sin ? ? ? 3 ? 4 ? ? ?

的值。

、课后反思: (五) 课后反思: 、课后反思

14

第五课时

§1.4.2 正弦函数 y=sinx 的图像 1.4.

(1)回忆锐角的正弦函数定义; (2)熟练运用锐角正弦函数的 一、教学目标:1、知识与技能: 教学目标: 性质; (3)理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义; (4)掌握任意角的正弦函数的定义; (5)理解有向线段的概念; (6)了解正弦函数图像的画法; (7)掌握五点作图法,并会用此方法 画出[0,2π]上的正弦曲线。2、过程与方法:初中所学的正弦函数,是通过直角三角形中给出定 义的;由于我们已将角推广到任意角的情况,而且一般都是把角放在平面直角坐标系中,这样一 来,我们就在直角坐标系中来找直角三角形,从而引出单位圆;利用单位圆的独特性,是高中数 学中的一种重要方法,在第二节课的正弦函数图像,以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的 应用;讲解例题,总结方法,巩固练习。3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使同学们对正 弦函数的概念有了一个新的认识;在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中,体会 特殊与一般的关系,形成一种辩证统一的思想;通过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发 学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力。 二、教学重、难点 教学重、 重点: 1.任意角的正弦函数定义,以及正弦函数值的几何表示。2.正弦函数图像的画法。 难点: 1.正弦函数值的几何表示。2.利用正弦线画出 y=sinx,x∈[0, 2π]的图像。 三、学法与教法 在初中,我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦,当把锐角放在直 角坐标系中时,角的终边与单位圆交于一点,正弦函数对应于该点的纵坐标,当是任意角时,通 过函数定义的形式引出正弦函数的定义; 作正弦函数 y=sinx 图像时, 在正弦函数定义的基础上, 通过平移正弦线得出其图像,再归结为五点作图法。教法: 探究讨论法。 四、教学过程 【创设情境,揭示课题】 三角函数是一种重要的函数, 从第一节我们就知道在实际生活中, 有许多地方用到三角函数。 今天我们来学正弦函数 y=sinx 的图像的做法。在前一节,我们知道正弦函数是一个周期函数, 最小正周期是 2π,所以,关键就在于画出[0,2π]上的正弦函数的图像。 请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的? 作函数图像的三步骤:列表,描点,连线。 【探究新知】 1、正弦函数线 MP 下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示.如右图所示, 角α的终边与单位圆交于点 P(x,y) ,提出问题 ①线段 MP 的长度可以用什么来表示? M O x α的终边 P y

15

②能用这个长度表示正弦函数的值吗?如果不能,你能否设计一种方法加以解决?引出有向线段的 概念.有向线段:当α的终边不在坐标轴上时,可以把 MP 看作是带方向的线段, ① y>0 时,把 MP 看作与 y 轴同向(多媒体优势,利用计算机演示角α终边在一、二象限时 MP 从 M 到 P 点的运动过程.让学生看清后定位,运动的方向表明与 y 轴同向). ② y<0 时, MP 看作与 y 轴反向(演示角α终边在三、 把 四象限时 MP 从 M 到 P 点的运动过程. 让 学生看清后定位,运动的方向表明与 y 轴反向). 师生归纳:①MP 是带有方向的线段,这样的线段叫有向线段.MP 是从 M→P,而 PM 则是从 P →M。②不论哪种情况,都有 MP=y.③依正弦定义,有 sinα=MP=y,我们把 MP 叫做α的正弦 线. (投影仪出示反馈练习) 当α为特殊角, 即终边在坐标轴上时, 找出其正弦线。 演示运动过程, 让学生清楚认识到:当α终边在 x 轴上时,正弦线变为一个点,即 sinα=0。 2.作图的步骤 边作边讲(几何画法)y=sinx x∈[0,2π]

(1) 作单位圆,把⊙O 十二等分(当然分得越细,图像越精确)
π π

π

(2) 十二等分后得对应于 0, 6 , 3 , 2 ,…2π等角,并作出相应的正弦线, (3) 将 x 轴上从 0 到 2π一段分成 12 等份(2π≈6.28),若变动比例,今后图像将相应“变 形” (4) 取点,平移正弦线,使起点与轴上的点重合 (5) 描图(连接)得 y=sinx x∈[0,2π] (6)由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x∈[2kπ,2(k+1)π] (k∈Z,k≠0) 与函数 y=sinx x∈[0,2π]图像相同,只是位置不同——每次向左(右)平移 2π单位长。 可以得到 y=sinx 在 R 上的图像

y o
以下五个关键点 (0,0) ( 关键点: 关键点

3、五点作图法:由上图我们不难发现,在函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图像上,起着关键作用的有

x

π
2

,1) (π,0)

(

3π ,-1) 2

(2π,0)。 描出这五个点后, 函数 y=sinx,

x∈[0,2π]的图像的形状就基本上确定了。因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个 关键点,然后用光滑曲线将它们连接起来,就得到这个函数的简图。我们称这种画正弦曲线的方 法为“五点法” 。
16

【巩固深化,发展思维】 1.例题探析 例 1.用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图。 (1)y=-sinx 解: (1)列表 x y=-sinx 0 0 (2)y=1+sinx

π
2
-1

π 0

3π 2
+1

2π 0

描点得 y=-sinx 的图像: (略,见教材 P22) y y=-sinx x

o x y=1+sinx 0 1 y

π
2
2

π 1

3π 2
0

2π 1

2.学生练习: 教材 P22

o

x

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数 二、归纳整理,整体认识: 归纳整理,整体认识: 学思想方法有那些? (2) 在本节课的学习过程中, 还有那些不太明白的地方, 请向老师提出。 (3) 你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、布置作业:作业:习题 1—4 第 1,2 题. 布置作业: 四、课后反思: 课后反思:

17

第六课时§1.4.3 正弦函数诱导公式 六课时§1.4.3 4. 一、教学目标 1、知识与技能: (1)进一步熟悉单位圆中的正弦线; (2)理解正弦诱导公式的推导过程; (3)掌 握正弦诱导公式的运用; (4)能了解诱导公式之间的关系,能相互推导。 2、过程与方法:通过正弦线表示α,-α,π-α,π+α,2π-α,从而体会各正弦线之间的关系; 或从正弦函数的图像中找出α,-α,π-α,π+α,2π-α,让学生从中发现正弦函数的诱导公 式;讲解例题,总结方法,巩固练习。 3、情感态度与价值观:通过本节的学习,培养学生创新能力、探索归纳能力;让学生体验自身探 索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养 学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 教学重、 重点: 正弦函数的诱导公式。 难点: 诱导公式的灵活运用。 三、学法与教法 在上一节课的基础上,运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系,引发学生探索出正 弦函数的诱导公式;通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用;在正弦函数的图像中,以学 生的自主学习和合作探究式学习为主。教法: 自主合作探究式 四、教学过程 、创设情境, (一) 创设情境,揭示课题 、创设情境 在上一节课中,我们已经学习了任意角的正弦函数定义,以及终边相同的角的正弦函数值也 相等, sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z), 即 这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求 0°~ 360°的角的正弦函数值。如果还能把 0°~360°间的角转化为锐角的正弦函数,那么任意角的 正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。 (二) 探究新知 、探究新知 、 1、复习: (公式 1)sin(360°k+α) = sinα 2、对于任一 0°到 360°的角,有四种可能(其中α为不大于 90°的非负角)

? α 当β ∈ 0 o , o ) 90 ? o o 180 o ?180 ? α 当β ∈ 90 , ) β=? o o 270 o ?180 + α 当β ∈ 180 , ) ?360 o ? α 当β ∈ 270 o , o) 360 ?

[ [ [

[

β 为第一象限角 β 为第二象限角 β 为第三象限角 β 为第四象限角
(以下设α为任意角)

18

y P (x,y) o


y

P(x,y) x P (-x,-y) P’(x,-y) M o x

3、公式 2: 设α的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 180°+α终边与单位圆交于点 P’(-x,-y),由正弦线可知: sin(180°+α) = ?sinα 4.公式 3:如图:在单位圆中作出α与-α角的终边, 同样可得:sin(?α) = ?sinα, 5、公式 4:由公式 2 和公式 3 可得: sin(180°?α) = sin[180°+(?α)] = ?sin(?α) = sinα, 同理可得: sin(180°?α) = sinα, 6.公式 5:sin(360°?α) = ?sinα 、巩固深化, (三) 巩固深化,发展思维 、巩固深化 1、例题探析 例1. 求下列函数值 (1)sin(-1650°); (2)sin(-150°15’); (3)sin(-

7 π) 4

解: (1)sin(-1650°)=-sin1650°=-sin(4×360°+210°)=-sin210° =-sin(180°+30°)=sin30°=

1 2

(2) sin(-150°15’)=-sin150°15’=-sin(180°-29°45’) =-sin29°45’=-0.4962 (3) sin(-

7 π π 2 π)=sin(-2π+ )=sin = 4 4 4 2

例 2.化简:

sin (2π ? α )sin (3π + α ) sin (? π + α )sin (3π ? α )sin (? α ? π )

解:原式=

sin(?α ) sin(π + α ) ? sin α (? sin α ) 1 = =? ? sin(π ? α ) sin(π ? α )[? sin(π + α )] ? sin α sin α sin α sin α

2. 学生练习:教材 P24 练习 1、2、3 、归纳整理, (四) 归纳整理,整体认识 、归纳整理
19

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?

3 ?π ? ? 5π ? sin ? ? θ ? = sin ? +θ ? 3 ,则 ? 6 ? ?= 、作业布置 (五) 作业布置:1、若 ? 6 、作业布置:
2 2、若 sin α 是方程 2 x + x ? 1 = 0 的根,求 sin(3π + α ) sin(π ? α ) 的值。

3 。 3

sin(2π ? α ) sin(5π + α ) 3、化简: sin(π ? α ) sin( ?3π ? α ) sin(α ? π ) 。

4、已知 A、B、C 是 ?ABC 的内角,求证: sin( 2 A + B + C ) = ? sin A 。

五、教后反思: 教后反思:

20

第七课时§1.4.4 第七课时§1.4.4 正弦函数的性质 4. 一、教学目标 1、知识与技能: (1)理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大(小)值、单调性、奇 偶性; (2)能熟练运用正弦函数的性质解题。 2、过程与方法:通过正弦函数在 R 上的图像,让学生探索出正弦函数的性质;讲解例题,总结方 法,巩固练习。 3、情感态度与价值观:通过本节的学习,培养学生创新能力、探索归纳能力;让学生体验自身探 索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养 学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 教学重、 重点:正弦函数的性质。 难点:正弦函数的性质应用。 三、学法与教法 在上一节课的基础上,运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系,引发学生探索出正 弦函数的诱导公式;通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用;在正弦函数的图像中,直观 判断出正弦函数的性质,并能上升到理性认识;理解掌握正弦函数的性质;以学生的自主学习和 合作探究式学习为主。教法: 自主合作探究式 四、教学过程 (一) 、创设情境,揭示课题 同学们,我们在数学一中已经学过函数,并掌握了讨论一个函数性质的几个角度,你还记得 有哪些吗?在上一次课中,我们已经学习了正弦函数的 y=sinx 在 R 上图像,下面请同学们根据 图像一起讨论一下它具有哪些性质? y

1

-4π

-3π

-2π



o
-1

π











x

21

(二)、探究新知 让学生一边看投影,一边仔细观察正弦曲线的图像,并思考以下几个问题: (1) 正弦函数的定义域是什么? (2) 正弦函数的值域是什么? (3) 它的最值情况如何? (4) 它的正负值区间如何分? (5) ?(x)=0 的解集是多少? 师生一起归纳得出: 1. 定义域:y=sinx 的定义域为 R 2. 值域:引导回忆单位圆中的正弦函数线,结论:|sinx|≤1(有界性) 再看正弦函数线(图象)验证上述结论,所以 y=sinx 的值域为[-1,1] 3.最值:1°对于 y=sinx 当且仅当 x=2kπ+ 当且仅当时 x=2kπ-

π
2

,k∈Z 时 ymax=1

π
2

, k∈Z 时 ymin=-1

2°当 2kπ<x<(2k+1)π (k∈Z)时 y=sinx>0 当(2k-1)π<x<2kπ (k∈Z)时 y=sinx<0 4.周期性: (观察图象) 1°正弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 2°规律是:每隔 2π重复出现一次(或者说每隔 2kπ,k∈Z 重复出现) 3°这个规律由诱导公式 sin(2kπ+x)=sinx 也可以说明 结论:y=sinx 的最小正周期为 2π 5.奇偶性 sin(-x)=-sinx (x∈R) 6.单调性 x sinx - y=sinx (x∈R)是奇函数

π
2



0 0



π
2
1



π 0



3π 2
-1

-1

增区间为[- 减区间为[

π
2

+2kπ,

π
2

+2kπ](k∈Z) ,其值从-1 增至 1;

π
2

+2kπ,

3π +2kπ](k∈Z) ,其值从 1 减至-1。 2

、巩固深化, (三) 巩固深化,发展思维 、巩固深化

22

例题探析 例、利用五点法画出函数 y=sinx-1 的简图,根据函数图像和解析式讨论它的性质。 解: (略,见教材 P26) 2.课堂练习 教材 P27 的练习 1、2、3 (四)、归纳整理,整体认识 归纳整理, (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法有哪些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 、布置作业: (五) 布置作业:习题 1—4 第 3、4、5、6、7 题. 、布置作业 五、教后反思: 教后反思:

23

第八课时§ 第八课时§1.5 余弦函数的概念和诱导公式 一、教学目标: 教学目标: 1、知识与技能: (1)了解任意角的余弦函数概念; (2)理解余弦函数的几何意义; (3)掌握余弦 函数的诱导公式; (4)掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2、过程与方法:类比正弦函数的概念,引入余弦函数的概念;在正、余弦函数定义的基础上,将 三角函数定义推广到更加一般的情况;让学生通过类比,联系正弦函数的诱导公式,自主探究出 余弦函数的诱导公式。 3、情感态度与价值观:使同学们对余弦函数的概念有更深的体会;会用联系的观点看问题,建立 数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自 身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经; 培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 教学重、 重点:余弦函数的概念和诱导公式。难点: 余弦函数的诱导公式运用。 三、学法与教法 学法与教法 我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把锐角 的正弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正弦函数的概念作比较,得出余弦函数的概 念;同样地,可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出 y =cosx 在[0,2π]上的图像,并由图像直观得到其性质。教法:自主合作探究式 四、教学过程 、创设情境, (一) 创设情境,揭示课题 、创设情境 在初中,我们不但学习了正弦函数,也学习了余弦函数,sinα= 角放在平面直角坐标系中以后,就可以得到余弦函数的定义。 下面请同学们类比正弦函数的定义,自主学习课本 P30—P31. 、探究新知 (二) 探究新知 、 1.余弦函数的定义:在直角坐标系中,设任意角α与单位圆交于点 P(a,b), 那么点 P 的横坐标 a 叫做角α余弦函数,记作:a=cosα(α∈R). 通常我们用 x,y 分别表示自变量与因变量,将余弦函数表示 为 y=cosx(x∈R). 如图,有向线段 OM 称为角α的余弦线。 O M x y r P(a,b)

邻边 。同样地,当我们把 斜边

24

其实,由相似三角形的知识,我们知道,只要已知角α 的终边上任意一点 P 的坐标(a,b) ,求出|OP|,记为 r,则 角α的正弦和余弦分别为:sinα=

b a ,cosα= . r r

y π-α α

在今后的解题中,我们可以直接运用这种方法,简化运算过程。 2.余弦函数的诱导公式 从右图不难看出,角α和角 2π+α,2π-α, (-α)的终边 与单位圆的交点的横坐标是相同的,所以,它们的余弦函数值相等; 角α和角π+α,π-α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数, 所以,它们的余弦函数值互为相反数。 由此归纳出公式: cos(2π+α)=cosα cos(-α) = cosα cos(2π-α) =cosα cos(π+α) =-cosα cos(π-α) =-cosα 请同学们观察右图,角α与角

x π+α -α

y P(x,y) M M’ o P’ x

π
2

+α的正弦、余弦函数值有什么关

系?由图可知,Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点 P 的横坐标 cosα与点 P’的纵坐标 sin( 相等;点 P 的纵坐标 sinα与点 P’的横坐标 cos( sin(

π
2

+α)

π
2

+α)互为相反数。我们可以得到:

π
2

+α)=cosα sin(

cos(

π

问题与思考:验证公式

π
2

2

+α)=-sinα cos(

+α)=cosα

π
2

+α)=-sinα

以上公式统称为诱导公式,其中α可以是任意角。利用诱导公式,可以将任意角的正、余弦 y 函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。 、巩固深化, (三) 巩固深化,发展思维 、巩固深化 1、例题探析 例 1.已知角α的终边经过点 P(2,-4)(如图),求角α的余弦 函数值。 解:∵x=2,y=-4 , ∴ r=|OP|=2 5 ∴cosα=
25

2

x

-4 P

x 5 = r 5

例 2.如果将例 1 中点 P 的坐标改为(2t,-4t)(t≠0),那么怎样求角α的余弦函数值。 解:(提示:在 r=|OP|=2 5 |t|中,分 t<0 和 t>0 两种情况,见教材 P31) 例 3.求值: (1)cos

11π 6

(2)cos

9π 8

(3)cos(-

3π ) 4

(4)cos(-1650°) 解: (1)cos

(5)cos(-150°15’)

11π π π 3 =cos(2π- )=cos = 6 6 6 2

(2)cos

9π π π =cos(π+ )=-cos ≈-0.9239 8 8 8

(3)、 、 (4)(5)略,见教材 P33 例 4.化简:

cos(2π ? α ) cos(3π + α ) 。解: (略,见教材 P33) cos(? π + α ) cos(3π ? α ) cos(? α ? π )

2、学生练习:教材 P31 的练习 1、2、3 、归纳整理,整体认识: (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要 (四) 归纳整理,整体认识: 、归纳整理 数学思想方法有那些?(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 、作业布置: (五) 作业布置:P34 、作业布置 五、教后反思: 教后反思: 1、2、3

26

第九课时§ 第九课时§1.5 余弦函数的图像与性质 一、教学目标: 教学目标: 1、知识与技能:(1)能利用五点作图法作出余弦函数在[0,2π]上的图像; (2)熟练根据余弦函 数的图像推导出余弦函数的性质; (3)能区别正、余弦函数之间的关系; (4)掌握利用数形结合 思想分析问题、解决问题的技能。 2、过程与方法:类比正弦函数的概念,引入余弦函数的概念;自主探究出余弦函数的诱导公式; 能学以致用,尝试用五点作图法作出余弦函数的图像,并能结合图像分析得到余弦函数的性质。 3、情感态度与价值观:使同学们对余弦函数的概念有更深的体会;会用联系的观点看问题,建立 数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自 身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经; 培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 教学重、 重点:余弦函数的性质。难点:性质应用。 三、学法与教法 我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把锐角 的正弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正弦函数的概念作比较,得出余弦函数的概 念;用五点作图的方法作出 y=cosx 在[0,2π]上的图像,并由图像直观得到其性质。 教法:自主合作探究式 四、教学过程 、创设情境, (一) 创设情境,揭示课题 、创设情境 在上一次课中,我们知道正弦函数 y=sinx 的图像,是通过等分单位圆、平移正弦线而得到 的,在精确度要求不高时,可以采用五点作图法得到。那么,对于余弦函数 y=cosx 的图像是不 是也是这样得到的呢?有没有更好的方法呢? (二)、探究新知 1.余弦函数 y=cosx 的图像 由诱导公式有:与正弦函数关系 ∵y=cosx=cos(-x)=sin[ 结论: (1)y=cosx, x∈R 与函数 y=sin(x+ (2)将 y=sinx 的图象向左平移

π
2

-(-x)]=sin(x+

π
2

)

π
2

)

x∈R 的图象相同

π
2

即得 y=cosx 的图象 x∈[0,2π]的五个点关键是(0,1)
27

(3) 也同样可用五点法作图: y=cosx

(

π
2

,0)

(π,-1)

(

3π ,0) 2

(2π,1) y 1

y

?

π
2

o

π
2

x
π
3π 2 2π
x

-1

(4)类似地,由于终边相同的三角函数性质 y=cosx =cosx x∈[0,2π]

x∈[2kπ,2(k+1)π] k∈Z,k≠0 的图像与 y

图像形状相同只是位置不同(向左右每次平移 2π个单位长度) y

1 o
-4π -3π -2π -π

x
π
2π 3π 4π 5π 6π

-1

2.余弦函数 y=cosx 的性质 观察上图可以得到余弦函数 y=cosx 有以下性质: (1)定义域:y=cosx 的定义域为 R (2)值域: y=cosx 的值域为[-1,1],即有 |cosx|≤1(有界性) (3)最值:1°对于 y=cosx 当且仅当 x=2kπ,k∈Z 时 ymax=1

当且仅当时 x=2kπ+π, k∈Z 时 ymin=-1 2°当 2kπ当 2kπ+

π
2

<x<2kπ+

π
2

(k∈Z)时 y=cosx>0 (k∈Z)时 y=cosx<0

π
2

<x<2kπ+

3π 2

(4)周期性:y=cosx 的最小正周期为 2π (5)奇偶性
28

cos(-x)=cosx (x∈R) (6)单调性

y=cosx (x∈R)是偶函数

增区间为[(2k-1)π, 2kπ](k∈Z) ,其值从-1 增至 1; 减区间为[2kπ, (2k+1)π](k∈Z) ,其值从 1 减至-1。 、巩固深化, (三) 巩固深化,发展思维 、巩固深化 1. 例题探析 例.请画出函数 y=cosx -1 的简图,并根据图像讨论函数的性质。 解: (略,见教材 P36) 2.课堂练习:教材 P37 的练习 1、2、3、4 、归纳整理, (四) 归纳整理,整体认识 、归纳整理 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 、布置作业: (五) 布置作业:P38 的习题 8、9、10、11 、布置作业 五、教后反思: 教后反思:

29

第十课时§ 正切函数的定义、 第十课时§1.6 正切函数的定义、图像及性质 (1)了解任意角的正切函数概念; (2)理解正切函数中的自变 一、教学目标:1、知识与技能: 教学目标: 量取值范围; (3)掌握正切线的画法; (4)能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像; (5)熟 练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质; (6)能熟练掌握正切函数的图像与性质; (7)掌 握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。2、过程与方法:类比正、余弦函数的概念,引 入正切函数的概念;在此基础上,比较三个三角函数之间的关系;让学生通过类比,联系正弦函 数图像的作法,通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像;能学以致用,结合图像分析得到 正切函数的性质。3、情感态度与价值观:使同学们对正切函数的概念有一定的体会;会用联系的 观点看问题,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能 力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;培养学生形成实事求是的科学态度 和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 教学重、 重点: 正切函数的概念、图像与性质 难点: 熟练运用性质分析问题、解决问题 三、学法与教法:我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出 学法与教法: 来的,从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正、余弦函数的概念 作比较,得出正切函数的概念;同样地,可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导 公式;通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像,并从图像观察总结出正切函数的性质。 教法:自主合作探究式 四、教学过程 、创设情境, (一) 创设情境,揭示课题 、创设情境 常见的三角函数还有正切函数,在前两次课中,我们学习了任意角的正、余弦函数,并借助 于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法,在直角坐标系内学 习任意角的正切函数,请同学们先自主学习课本 P40。 、探究新知 (二) 探究新知 、 1、正切函数的定义: 在直角坐标系中,如果角α满足:α∈R,α≠ 点 P(a,b) ,唯一确定比值

π
2

+kπ(k∈Z),那么,角α的终边与单位圆交于

b b .根据函数定义,比值 是角α的函数,我们把它叫作角α的正切 a a

函数,记作 y=tanα,其中α∈R,α≠

π

2

+kπ,k∈Z.

比较正、余弦和正切的定义,不难看出:tanα=

sin α π (α∈R,α≠ +kπ,k∈Z). cos α 2

30

由此可知,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,我们统称为三角 函数。 下面,我们给出正切函数值的一种几何表示. 如右图,单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A(1 ,0) ,任意角α 的终边与单位圆交于点 P,过点 A(1 ,0)作 x 轴的垂线,与角 的终边或终边的延长线相交于 T 点。从图中可以看出: 当角α位于第一和第三象限时,T 点位于 x 轴的上方; 当角α位于第二和第四象限时,T 点位于 x 轴的下方。 分析可以得知,不论角α的终边在第几象限,都可以构造两 个相似三角形,使得角α的正切值与有向线段 AT 的值相等。因此, 我们称有向线段 AT 为角α的正切线。 2.正切函数的图象 (1)首先考虑定义域: x ≠ kπ + 210° P o y 30° T x

A

π
2

(k ∈ z )

(2)为了研究方便,再考虑一下它的周期:

Q tan ( x + π ) = ? ?

sin ( x + π ) ? sin x π ? ? = = tan x? x ∈ R, 且x ≠ kπ + , k ∈ z ? cos( x + π ) ? cos x 2 ? ?

∴ y = tan x? x ∈ R, 且x ≠ kπ +

π

? , k ∈ z ? 的周期为 T = π (最小正周期) 2 ?

(3)因此我们可选择 ? ?

? π π? , ? 的区间作出它的图象。 ? 2 2?
y

?

π
2
O

π
2

x

31

根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数 y = tan x

x ∈ R ,且

x≠

π
2

+ kπ (k ∈ z ) 的图像,称“正切曲线”

y

3 ? π 2

?π ? π 2

0

π
2

π

3 x π 2

从上图可以看出, 正切曲线是由被相互平行的直线 x= 成的,这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。 3.正切函数 y=tanx 的性质 引导学生观察,共同获得: (1)定义域: ? x | x ≠ (2)值域:R 观察:当 x 从小于 kπ + 当 x 从大于 (3)周期性: T = π (4)奇偶性: tan (? x ) = ? tan x 奇函数。 (5)单调性:在开区间 ? ?

π
2

+kπ(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组

? ?

π

? + kπ , k ∈ z ? , 2 ?

π
2

(k ∈ z ) , x ? kπ + π 时, tan x ? ∞ ?→ ?→
π
2 2 + kπ 时, tan x ? ?∞ 。 ?→

π
2

+ kπ (k ∈ z ) , x ? ?→

π ? π ? + kπ , + kπ ?k ∈ z 内,函数单调递增。 2 ? 2 ?

、例题探析与练习 (三) 例题探析与练习 、 例 1、比较下列每组数的大小。

(1)tan167o与 tan173o
( 2) t a n ( 0

1 1 π ) 4
0 0


0

t a n ( -

1 3 π 5

)

(1 Q 解: 1) 90 < 167 < 173 < 180 (

?π y = tan x在 ? , π ?2
32

? 0 0 ∴ ? 上是增函数, tan167 < tan173 ?

(2) tan( ? 11 π ) = tan π ,

13 2 π 2 π π ) = tan π Q 0 < < π < , 4 4 5 5 4 5 2 π 2 11 13 π? ? 又y = tan x在 ? 0, ? 是增函数 ∴ tan < tan π ∴ tan(? π ) < tan(? π ). 4 5 4 5 ? 2? tan(?

说明:比较两个正切值大小,关键是把相应的角 化到 y=tanx 的同一单调区间内,再利用 y=tanx 的单调递增性解决。 例 2、 求函数y = tan( x + π )的定义域、值域和单调区间. 解: 设t = x + π , 则y = tan t的定义域为 ?t t ∈ R且t ≠ kπ + π , k ∈ Z ? ∴ x + π ≠ kπ + π , ? ?

4

2 ? ? π ? ? 4 因此,函数的定义域是 ? x x ∈ R且x ≠ kπ + , k ∈ Z ? 值域 : R 4 ? π ? π ? ? Q y = tan t的单调增区间是 ? - + kπ , + kπ ? , k ∈ Z 2 ? 2 ? π π ∴? + kπ < x + < π + kπ 3π π ∴? + kπ < x < + kπ 2 4 2 4 4 3π π? ? ∴ 函数的单调增区间是 ? k π ? , kπ + ? , k ∈ Z

∴ x ≠ kπ +

π4

4

2

练习:
1 ( ( 、 1 2 ) ) 比 t t a a 较 n n 1 ( 大 3 8 1

?

4

4?


0

: _ _ π _ ) _ _ _ _ t _ a _ n _ 1 t 4 a 3 n
0

。 1 7 π 5 )

3 4

(

答案【 (1)< (2)>】 2、求函数 y=tan3x 的定义域,值域,单调增区间。 。
定义域:{ 定义域:{ x \ x ≠ kπ π ,k ∈ z} + 3 6

值域: 值域:

R

单调递增区间:( 单调递增区间:(

?

kπ π kπ π , + + ), k ∈ z 3 3 6 6

、归纳整理,整体认识: (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要 (三) 归纳整理,整体认识: 、归纳整理 数学思想方法有那些?(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 、作业布置: (四) 作业布置:P45 习题 A 组 1、2、3、4、5 、作业布置 五、教后反思: 教后反思: B 组 1、3

33

第十一课时§ 第十一课时§1.6 正切函数的诱导公式及例题讲评 一、教学目标 1、知识与技能: (1)了解任意角的正切函数概念; (2)理解正切函数中的自变量取值范围; (3) 掌握正切线的画法; (4)能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像; (5)熟练根据正切函数的 图像推导出正切函数的性质; (6)能熟练掌握正切函数的图像与性质; (7)掌握利用数形结合思 想分析问题、解决问题的技能。 2、过程与方法:类比正、余弦函数的概念,引入正切函数的概念;在此基础上,比较三个三角函 数之间的关系;让学生通过类比,联系正弦函数图像的作法,通过单位圆中的有向线段得到正切 函数的图像;能学以致用,结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。 3、情感态度与价值观:使同学们对正切函数的概念有一定的体会;会用联系的观点看问题,建立 数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自 身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研 精神。 二、教学重、难点 教学重、 重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质 难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 三、学法与教法 我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把 锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较,得出 正切函数的概念;同样地,可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式;通过单 位圆中的正切线画出正切函数的图像,并从图像观察总结出正切函数的性质。 教法:自主合作探究式 四、教学过程 、创设情境, (一) 创设情境,揭示课题 、创设情境 同学们已经知道,在正、余弦函数中,我们是先学诱导公式,再学图像与性质的。在学正切函数 时,我们为什么要先学图像与性质,再学诱导公式呢? 、探究新知 (二) 探究新知 、 观察下图,角α与角 2π+α,2π-α,π+α,π-α,-α的正切函数值有何关系?

34

y

3 ? π 2

?π ? π 2

0

π
2

π

3 x π 2

我们可以归纳出以下公式:π-α, tan(2π+α)=tanα tan(π-α)=-tanα 、巩固深化, (三) 巩固深化,发展思维 、巩固深化 1. 例题探析 例 1.若 tanα= 解:∵tanα= tan(-α)=-tanα tan(π+α)=tanα tan(2π-α)=-tanα

2 ,借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。 3

2 >0,∴α是第一象限或第三象限的角 3 2 (1)如果α是第一象限的角,则由 tanα= 可知,角α终边上必有一点 P(3,2). 3
所以 x=3,y=2. ∵r=|OP|= 13 ∴sinα=

y 2 13 x 3 13 = , cosα= = . r 13 r 13 y 2 13 x 3 13 =- , cosα= =- . r 13 r 13

(2) 如果α是第三象限角,同理可得:sinα=

例 2.化简:

tan (2π ? α ) tan (3π + α ) tan (? π + α ) tan (3π ? α ) tan (? α ? π )

解:原式=

? tan α tan (π + α ) (? tan α ) tan α 1 = =- . [? tan(π ? α )] tan(π ? α )[? tan(π + α )] tan α (? tan α )(? tan α ) tan α

2.学生课堂练习 教材 P45 的练习 1、2、3、4 、归纳整理, (四) 归纳整理,整体认识 、归纳整理 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法有那些?
35

(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
1、正切曲线是先利用平 移正切线得 y = tan x , x ∈ ( ? 象向左、右扩展得到。 再利用周期性把该段图 象向左、右扩展得到。 π π , )的图象, 的图象, 2 2

2、 y

= tan x
{x | x ≠

性质:

⑴ 定义域

π + kπ,k ∈ Z } 2 ;⑵ 值域:R;⑶ 周期性: π

;⑷ 奇偶性:奇函

数,图象关于原点对称。(5) 对称性:对称中心: ( k π , 0 ) 无对称轴;(6)单调性:在每一个开 π π 2 区间 ( - 2 + k π , 2 + k π ) k ∈ Z 内都是增函数。(7)渐近线方程: 增

x

=

k π +

π , 2

k ∈ Z
B组4

、布置作业: (五) 布置作业:P45 习题 A 组 6、7、8、9、10、11 、布置作业 五、教后反思: 教后反思:

36

第十二课时§ 的图像, sin( 第十二课时§1.7 y=sinx 和 y=Asinx 的图像, y=sinx 和 y=sin(x+φ)的图像 一:教学目标:1、知识与技能: 教学目标: (1)熟练掌握五点作图法的实质; (2)理解表达式 y=Asin(ωx +φ),掌握 A、φ、ωx+φ的含义; (3)理解振幅变换和周期变换的规律,会对函数 y=sinx 进行振幅和周期的变换; (4)会利用平移、伸缩变换方法,作函数 y=Asin(ωx+φ)的图像; (5) 能利用相位变换画出函数的图像。2、过程与方法:通过学生自己动手画图像,使他们知道列表、 描点、连线是作图的基本要求;通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像,发现规律, 总结提练,加以应用;要求学生能利用五点作图法,正确作出函数 y=Asin(ωx+φ)的图像;讲 解例题,总结方法,巩固练习。3、情感态度与价值观:通过本节的学习,渗透数形结合的思想; 树立运动变化观点,学会运用运动变化的观点认识事物;通过学生的亲身实践,引发学生学习兴 趣;创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度;让学生感受图形的对称美、运动美,培养 学生对美的追求。 二、教学重、难点 :重点: 相位变换的有关概念,五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图像 教学重、 难点: 相位变换画函数图像,用图像变换的方法画 y=Asin(ωx+φ)的图像 三、学法与教法:在前面,我们知道精确度要求不高时,可以用五点作图法,是哪五个关键点; 学法与教法: 首先请同学们回忆,然后通过物理学中的几个情境引入课题;主要让学生动手实践,两节课尽可 能多地让他们画图,教师只是加以点拨;可以从几个具体的、简单的例子开始,在适当的时候加 以推广;先分解各个小知识点,再综合在一起,上升更高一层。 四、教学过程 、创设情境,揭示课题: (一) 创设情境,揭示课题:在物理和工程技术的许多问题中,经常会遇到形如 y=Asin(ωx 、创设情境 +φ)的函数,例如:在简谐振动中位移与时间表的函数关系就是形如 y=Asin(ωx+φ)的函数。 正因为此,我们要研究它的图像与性质,今天先来学习它的图像。 (二)探究新知 例 1、画出函数 y=2sinx x∈R;y= 解:由于周期 T=2π
1 sinx 2

x∈R 的图象(简图) 。

∴不妨在[0,2π]上作图,列表:

x sinx 2sinx
1 sinx 2

0 0 0 0

π
2

π 0 0 0

3π 2

2π 0 0
1 2

1 2
1 2
37

-1 -2 -

0

y=2sinx 2 y 2 1 1 O -1 ? -2 ? y=sinx y= 1 sinx
2

作图:

π

π

2 2π

x

配套练习:函数 y=

2 sinx 的图像与函数 y=sinx 的图像有什么关系? 3

引导,观察,启发:与 y=sinx 的图象作比较,结论: 1.y=Asinx,x∈R(A>0 且 A≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0<A<1)到原来的 A 倍得到的。2.若 A<0 可先作 y=-Asinx 的图象 ,再以 x 轴为对称轴翻折。 性质讨论:不变的有定义域、奇偶性、单调区间与单调性、周期性。 变化的有值域、最值、 由上例和练习可以看出:在函数 y=Asinx(A>0)中,A 决定了函数的值域以及函数的最大 值和最小值,通常称 A 为振幅。 例 2、画出函数 y=sin(x+ 解:由于周期 T=2π

π
3

) (x∈R)和 y=sin(x?

π
4

)

(x∈R)的图像(简图) 。

∴不妨在[0,2π]上作图,列表:

π

x+ 3 x

0

π
2

π
2π 3

3π 2 7π 6


5π 3

π
?3

π
6

π
sin(x+ 3 )

0

1

0

-1

0

y=sinx

1
3

π O ? π y=sin(x+ )
配套练习:函数 y=sin(x-

π



3
y=sin(x-

4
π
4
)

x

π
15

)的图像与函数 y=sinx 的图像有什么关系?

引导,观察,启发:与 y=sinx 的图象作比较,结论:y=sin(x+φ) ,x∈R(φ≠0)的图象可以看作
38

把正数曲线上的所有点向左平移φ(φ>0)个单位或向右平移-φ个单位(φ<0=得到的。 性质讨论:不变的有定义域、值域、最值、周期。 变化的有奇偶性、单调区间与单调性 由上例和练习可以看出:在函数 y=sin(x+φ) ,x∈R(φ≠0)中,φ决定了 x=0 时的函数, 通常称φ为初相,x+φ为相位。 、巩固深化,发展思维: (三) 巩固深化,发展思维:课堂练习:P52 练习第 3 题 、巩固深化 、归纳整理,整体认识: (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要 (四) 归纳整理,整体认识: 、归纳整理 数学思想方法有那些?(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 1、作函数 y=Asin(ωx+?) 的图象: (1)用“五点法”作图。 (2)利用变换关系作图。 2、函数 y = sinx 的图象与函数 y=Asin(ωx+?)的图象间的变换关系。 3、函数 y=Asin(ωx+?)中 A、ω、? 的物理意义。 4、函数 y=Sinx 向左或右平移| ? |个单位 y=Sin(x+ ? ) 的图象横坐标缩短或伸长原来的 y=Sin(ω x+ ? ) 的图象纵坐标伸长或缩短到原来的 A 倍 y=ASin(ωx+ ? )的图象。 (五) 作业布置:1、指出 y =2sin(x/2-π/3)的振幅、周期、频率、初相。并说出它的图象是 、作业布置: 、作业布置 怎样从 y=sinx 的图象变换来的? 2、已知函数 y=3sin(x+π/5)x∈R 的图象为 C. (1)为了得到函数 y=3sin(x-π/5),x∈R 的图象, 只需把 C 上所有的点( (A)向左平行移动π/5 个单位长度 (C)向左平行移动 2π/5 个单位长度 ) 答案: 答案: D (B)向右平行移动π/5 个单位长度 (D)向右平行移动 2π/5 个单位长度 )。 答案 B

1

ω

(2)为了得到函数 y=3sin(2x+π/5),x∈R 的图象,只需把 C 上所有的点( y=3sin(2x+π/5),

(A)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的 1/2 倍,纵坐标不变 (C)纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变 (D)纵坐标伸长到原来的 1/2 倍,横坐标不变 (3)为了得到函数 y=4sin(x+π/5),x∈R 的图象,只需把 C 上所有的点( ) 答案:C 答案:

(A)横坐标伸长到原来的 4/3 倍,纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的 3/4 倍,纵坐标不变 (C)纵坐标伸长到原来的 4/3 倍,横坐标不变 (D)纵坐标伸长到原来的 3/4 倍,横坐标不变 3、用五点法作出函数的图象并说明这个图象可由余弦函数的图象经过如何变换得到?
y = 3 c o s( 1 π x ? ) 2 4

五、教后反思: 教后反思:

39

第十三课时 一:教学目标

sinω 的图像, sin(ω y=sinx 和 y=sinωx 的图像, y=sinx 和 y=Asin(ωx+φ)的图像

1、知识与技能: (1)熟练掌握五点作图法的实质; (2)理解表达式 y=Asin(ωx+φ),掌握 A、 φ、ωx+φ的含义; (3)理解振幅变换和周期变换的规律,会对函数 y=sinx 进行振幅和周期的 变换; (4)会利用平移、伸缩变换方法,作函数 y=Asin(ωx+φ)的图像; (5)能利用相位变换 画出函数的图像。 2、过程与方法:通过学生自己动手画图像,使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求;通 过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像,发现规律,总结提练,加以应用;要求学生能 利用五点作图法,正确作出函数 y=Asin(ωx+φ)的图像;讲解例题,总结方法,巩固练习。 3、情感态度与价值观:通过本节的学习,渗透数形结合的思想;树立运动变化观点,学会运用运 动变化的观点认识事物;通过学生的亲身实践,引发学生学习兴趣;创设问题情景,激发学生分 析、探求的学习态度;让学生感受图形的对称美、运动美,培养学生对美的追求。 二、教学重、难点 教学重、 重点: 相位变换的有关概念,五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图像 难点: 相位变换画函数图像,用图像变换的方法画 y=Asin(ωx+φ)的图像 三、学法与教法:在前面,我们知道精确度要求不高时,可以用五点作图法,是哪五个关键点; 学法与教法: 首先请同学们回忆,然后通过物理学中的几个情境引入课题;主要让学生动手实践,两节课尽可 能多地让他们画图,教师只是加以点拨;可以从几个具体的、简单的例子开始,在适当的时候加 以推广;先分解各个小知识点,再综合在一起,上升更高一层。 四、教学过程 (一) 、创设情境,揭示课题 上一节课,我们已过 y=sinx 和 y=Asinx 的图像,y=sinx 和 y=sin(x+φ)的图像间的 关系,请与 y=Asin(ωx+φ)比较一下,还有什么样的我们没作过? 、探究新知 (二) 探究新知 、 例一.画出函数 y=sin2x x∈R;y=sin 解:∵函数 y=sin2x 周期 T=π
1 x 2

x∈R 的图象(简图) 。

∴在[0, π]上作图 从而 sint=sin2x

令 t=2x 则 x= 列表:

t 2

40

t=2x x sin2x 作图:

0 0 0

π
2

π

3π 2 3π 4

2π π 0

π
4

π
2

1

0

-1

1y O ? y=sin2x
函数 y=sin
x 2

y=sin 1 x
2

π

π



2

3

4π 4

x

y=sinx

周期 T=4π

∴在[0, 4π]上作图

列表 t=
x 2

0 0 0

π
2

π 2π 0

3π 2

2π 4π 0

x sin
x 2

π 1

3π -1

配套练习:函数 y=sin

2 x 的图像与函数 y=sinx 的图像有什么关系? 3

引导, 观察启发 与 y=sinx 的图象作比较,结论: 1.函数 y=sinωx, x∈R (ω>0 且ω≠1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1) 或伸长(0<ω<1)到原来的
1

ω

倍(纵坐标不变)

2.若ω<0 则可用诱导公式将符号“提出”再作图。 由上例和练习可以看出:在函数 y=sinωx, x∈R (ω>0 且ω≠1)中,ω决定了函数的周期 T =



ω

,通常称周期的倒数 f=
π
3

1 ω = 为频率。 T 2π
x∈R 的图象。
π
3

例二.画出函数 y=3sin(2x+

)

解:周期 T=π(五点法) ,设
π
3

t?
则 x=

t=2x+

3 = t ?π 2 2 6

π

2x+ x

0 ?
π
6

π
2

π
π
3

3π 2 7π 12


5π 6

π
12

3sin(2x+

π
3

)

0

3

0

-3

0

41

?

π ?π
3

1y O π

y=sin(2x+ π
3

y=sin(x+ π )

)

3

6

5π π 6

3

4

x

小结平移法过程(步骤) 作 y=sinx(长度为 2π的某闭区间) 沿 x 轴平 移|φ|个单位 得 y=sin(x+φ) 横坐标伸 长或缩短 得 y=sin(ωx+φ) 纵坐标伸 长或缩短 横坐标 伸长或缩短 得 y=sinωx 沿 x 轴平 移|

?

? |个单位 ω

得 y=sin(ωx+φ) 纵坐标伸 长或缩短

得 y=Asin(ωx+φ)的图象,先在一 个周期闭区间上再扩充到 R 上。

两种方法殊途同归 、巩固深化,发展思维: (三) 巩固深化,发展思维:教材 P58 练习 1、2、3 、巩固深化 、归纳整理, (四) 归纳整理,整体认识 、归纳整理 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? (五) 布置作业:教材 P62 习题 2、3、4 、布置作业: 、布置作业 五、教后反思: 教后反思:

42

第十四课时 一、教学目标

sin(ω §1.7 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质

1、知识与技能: (1)进一步理解表达式 y=Asin(ωx+φ),掌握 A、φ、ωx+φ的含义; (2) (3)会由函 熟练掌握由 y = sin x 的图象得到函数 y = A sin(ωx + ?) + k ( x ∈ R ) 的图象的方法; 数 y=Asin(ωx+φ)的图像讨论其性质; (4)能解决一些综合性的问题。 2、过程与方法:通过具体例题和学生练习,使学生能正确作出函数 y=Asin(ωx+φ)的图像; 并根据图像求解关系性质的问题;讲解例题,总结方法,巩固练习。 3、情感态度与价值观:通过本节的学习,渗透数形结合的思想;通过学生的亲身实践,引发学生 学习兴趣;创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度;让学生感受数学的严谨性,培养学 生逻辑思维的缜密性。 二、教学重、难点 教学重、 重点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图像,函数 y=Asin(ωx+φ)的性质。 难点: 各种性质的应用。 三、学法与教法 在前面,我们讨论了正弦、余弦、正切函数的性质,如:定义域、值域、最值、周期性、单 调性和奇偶性,那么,对于函数 y=Asin(ωx+φ)的性质会是什么样的呢?今天我们这一节课就 研究这个问题。教法:探析交流法 四、教学过程 、创设情境, (一) 创设情境,揭示课题 、创设情境 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质问题,是三角函数中的重要问题,是高中数学的重点内容,也 是高考的热点,因为,函数 y=Asin(ωx+φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型,与我们的 生活息息相关。 、探究新知 (二) 探究新知 、 复习提问: (1)如何由 y = sin x 的图象得到函数 y = A sin(ωx + ?) 的图象?(2)如何用五点法 作 y = A sin(ωx + ?) 的图象?(3) A、ω、? 对函数 y = A sin(ωx + ?) 图象的影响作用。 函数 y = A sin(ωx + ?), x ∈ [0,+∞), (其中A > 0, ω > 0) 的物理意义: 函数表示一个振动量时:A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称为“振幅”

2π 1 ω 往复振动一次所需的时间,称为“周期”f: f = = 单位时间内往返振动的次 ω T 2π 数,称为“频率” ωx + ? :称为相位; ? :x = 0 时的相位,称为“初相” ;
T: T =
43

例 1、函数 y = A sin(ωx + ?), ( A > 0, ω > 0, | ? |<

π ) 的最小值是?2,其图象最高点与最低点横 2 2π = 6π ω 1 3

坐标差是 3π,又:图象过点(0,1),求函数解析式。 解:易知:A = 2 半周期

T = 3π 2

∴T = 6π 即

从而: ω =

设: y = 2 sin( x + ?) 又: | ? |<

π 2

1 3

令 x = 0 有 2 sin ? = 1 ∴所求函数解析式为 y = 2 sin( x +

∴? =

π 6

例 2、函数 f (x)的横坐标伸长为原来的 2 倍,再向左平移 图像,试求 y = f (x ) 的解析式。 解:将 y =

π 1 个单位所得的曲线是 y = sin x 的 2 2

1 3

π ) 6

1 π 1 π sin x 的图像向右平移 个单位得: y = sin( x ? ) 2 2 2 2 1 1 1 即 y = ? cos x 的图像再将横坐标压缩到原来的 得: y = ? cos 2 x 2 2 2 1 ∴ y = f ( x ) = ? cos 2 x 2 4 1 sin x 3 2 1 π cos(3x+ ) 2 4

例 3、求下列函数的最大值、最小值,以及达到最大值、最小值时 x 的集合。 (1)y=sinx-2 解: (1)当 x=2kπ+ 当 x=2kπ+ (2)y= (3)y=

π
2

(k∈Z)时,sinx 取最大值 1,此时函数 y=sinx-2 取最大值-1;

3π (k∈Z)时,sinx 取最小值-1,此时函数 y=sinx-2 取最小值-3; 2 1 π 1 5π x- )的递增区间; (2)求函数 y= cos(4x+ )的递减区间。 2 3 3 6

(2)(3)略,见教材 P59 、 例 4、 (1)求函数 y=2sin( 解:略,见教材 P60 、巩固深化,发展思维: (三) 巩固深化,发展思维:学生课堂练习:教材 P60 练习 3 、巩固深化 、归纳整理,整体认识: (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要 (四) 归纳整理,整体认识: 、归纳整理 数学思想方法有那些?(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 、布置作业: (五) 布置作业: 习题 1-7 第 4,5,6 题. 、布置作业 五、教后反思: 教后反思:

44

第十五课时 一、教学目标

§1.8 同角三角函数的关系

1、知识与技能: (1)能根据三角函数的定义,导出同角三角函数的基本关系; (2)能正确运用进 行三角函数式的求值运算; (3)能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数(式)的值,并 从中了解一些三角运算的基本技巧; (4)运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的 证明。 2、过程与方法:回忆初中所学的几个三角函数之间的关系,用高中所学的同角三角函数之间的关 系试着进行证明;掌握几种同角三角函数关系的应用;掌握在具体应用中的一定技巧和方法;理 解并掌握同角三角关系的简单变形; 提高学生恒等变形的能力, 提高分析问题和解决问题的能力。 3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使同学们加深理解基本关系在本章中的地位;认识事物 间存在的内在联系,使学生面对问题养成勤于思考的习惯;培养学生良好的学习方法,进一步树 立化归的数学思想方法。 二、教学重、难点 教学重、 重点: 同角三角函数之间的基本关系,化简与证明。 难点: 化简与证明中的符号,同角三角函数关系的灵活运用。 三、学法与教法 在初中, 学生已经见过同角三角函数之间的关系, 在高中就要求学生能对这些关系进行证明, 最主要的还是在于运用。主要有三方面的应用,即计算、化简、证明。正因为这样,本节课通过 例题讲评和学生练习的形式开展教学。教法:讲练结合,探析归纳 四、教学过程 、创设情境, (一) 创设情境,揭示课题 、创设情境 同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过,只不过当时应用不是很多,那么到底有哪 些?它们成立的条件是什么?学习实践中,你还发现了哪些关系?今天这节课,我们就来讨论这 些问题。 、探究新知 (二) 探究新知 、 在初中我们已经知道,对于同一个锐角α,存在关系式:

sin 2 α + cos 2 α = 1
理论证明: (采用定义)

sin α = tan α cos α

45

1o Q x 2 + y 2 = r 2

y x , cos α = ∴ sin 2 α + cos 2 α = 1 r r sin α y x y r y π 2 o 当α ≠ kπ + (k ∈ Z )时, = ÷ = × = = tan α 2 cos α r r r x x 且 sin α =

注意:1°“同角”的概念与角的表达形式无关,

如: sin 3α + cos 3α = 1
2 2

α 2 = tan α α 2 cos 2 sin

2°上述关系(公式 2)都必须在定义域允许的范围内成立。 3°据此,由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值,且因为利用“平方 关系”公式,最终需求平方根,会出现两解,因此应尽可能少用(实际上,至多只要用一次) 。 、巩固深化, (三) 巩固深化,发展思维 、巩固深化 1.例题探析 例 1.已知 sinα=-

3 ,且α在第三象限,求 cosα和 tanα. 5 3 2 16 2 2 2 2 解:∵ sin α + cos α = 1 ∴cos α=1-sin α=1-(- ) = 5 25 4 sin α 3 又∵α在第三象限,cosα<0 ∴cosα=- ,tanα= = 5 cos α 4

例 2.已知 cos α = m ( m ≠ 0, m ≠ ±1), 解:若α在第一、二象限,则

求α的其他三角函数值。

sin α = 1 ? m 2
若α在第三、四象限,则

tan α =

1? m2 m

sin α = ? 1 ? m
2

2

1 ? m2 tan α = ? m

例 3.化简: 1 ? sin 440

o

解:原式 = 1 ? sin (360 + 80 ) = 1 ? sin 80 =
2 o o 2 o

cos 2 80 o = cos 80 o

例 4.求证:

cos α 1 + sin α = 1 ? sin α cos α cos α (1 + sin α ) cos α (1 + sin α) cos α (1 + sin α) = = (1 ? sin α )(1 + sin α ) 1 ? sin 2 α cos 2 α

证一: 左边 =

46

=

1 + sin α = 右边 cos α
2 2

∴ 等式成立

(利用平方关系)

证二:Q (1 ? sin α)(1 + sin α ) = 1 ? sin α = cos α

且 1 ? sin α ≠ 0, cos α ≠ 0


证三:Q

cos α 1 + sin α = 1 ? sin α cos α

(利用比例关系)

cos α 1 + sin α cos 2 α ? (1 ? sin α)(1 + sin α) cos 2 α ? (1 ? sin 2 α) ? = = 1 ? sin α cos α (1 ? sin α) cos α (1 ? sin α) cos α ∴ cos α 1 + sin α = 1 ? sin α cos α
(作差)

=

cos 2 α ? cos 2 α =0 (1 ? sin α) cos α

2.学生课堂练习:教材 P66 练习 1 和 P67 练习 2 、归纳整理, (四) 归纳整理,整体认识 、归纳整理 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 、布置作业: (五) 布置作业:教材 P68 习题中 1—6 、布置作业 五、教后反思: 教后反思:

47

第十六课时 本章复习与小结 一、教学目标 1、知识与技能 (1)了解本章的知识结构体系,在整体上有一个初步的认识; (2)加深对任意角、弧度及三角函 数的理解; (3)掌握三角函数的图像与性质,能利用性质进行解题; (4)掌握一定的解题方法, 形成较好的能力。 2、过程与方法 三角函数是一种重要的函数,通过整理本章的各知识点以及它们之间的联系,帮助学生系统地认 识本章内容,从而对本章内容有全面的认识,上升到更高一个水平;启发学生将本章内容与数学 1、数学 2 的横向联系,形成知识的网络化。 3、情感态度与价值观 通过本节的复习,使同学们对三角函数有一个全面的认识;以辩证唯物主义的观点看待任何事, 养成一种科学的态度;帮助学生树立正确的世界观和人生观,树立远大理想,立志为国争光,为 洋浦的开发建设贡献力量。 二、教学重、难点 教学重、 重点: 三角函数定义,以及三角函数的图像与性质 难点: 本章内容的系统掌握与灵活运用 三、学法与教法 师生共同整理本章的知识结构体系, 从角到角的度量, 从三角函数的定义到它们之间的关系, 再到三角函数的图像与性质;整理本章出现的各种题目,从中理顺它们的关系,将它们适当归类, 提炼其中的方法,争取做到举一反三、触类旁通。教法:探析归纳,讲练结合。 四、教学过程 、知识的初步整合 (一) 知识的初步整合 、 同 角 三角 函 数的关系 诱导公式

任意角 的概念

角度制与 弧度制

任意角的三 角函数定义

三 角 函数 的 图像与性质

弧长与扇形 面积公式
48

、知识的概括与引申 (二) 知识的概括与引申 、 1.角是由射线的旋转所产生的,那么就有旋转量与旋转方向的问题,所以必须推广到任意正 角、负角和零角。为了使弧长公式在形式上变得简单,引进了弧度制,这一度量单位不仅使弧长 公式、扇形面积公式得以简化,也为定义任意角的三角函数作好了准备。 2.同角三角函数的基本关系的作用是:已知某任意角的一种三角函数值,就能求出另一种三 角函数值。 3.诱导公式的作用是:把求任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数值。 4.三角函数的图像和性质是本章的重要内容,是三角函数应用的基础。 、例题探析 (三) 例题探析 、 例 1.求图中公路弯道处弧 AB 的长 l (精确到 1m) 图中长度单位为:m R=45 解: ∵ 60 =
o

60

π
3

∴ l = α ?R =

π
3

× 45 ≈ 3.14 × 15 ≈ 47(m)

例 2、已知θ是第三象限角且 cos

?
2

< 0 ,问

?
2

是第几象限角?

解:∵ ( 2k + 1)π < ? < ( 2k + 1)π + ∴ kπ + 又∵ cos ∴

π
2

(k ∈ Z ) 3π 4 (k ∈ Z )


π
2

<

θ
2

< kπ +


?
2

是第二或第四象限角

?
2

<0

?
2

是第二或第三象限角

?
2

必为第二象限角

例 3.已知 sin α = 2 cos α ,求 解:Q sin α = 2 cos α

sin α ? 4 cos α 及 sin 2 α + 2 sin α cos α的值。 5 sin α + 2 cos α

∴ tan α = 2



sin α ? 4 cos α tan α ? 4 ?2 1 = = =? 5 sin α + 2 cos α 5 tan α + 2 12 6

sin 2 α + 2 sin α cos α =
例 4.函数 y = tan ? 3 x ? 解:由 3 x ?

sin 2 α + 2 sin α cos α tan 2 α + 2 tan α 4 + 2 6 = = = 4 +1 5 sin 2 α + cos 2 α tan 2 α + 1

? ?

π?

? 的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性。 3? kπ 5π + , 3 18
49

π
3

≠ kπ +

π
2

得x ≠



所求定义域为 ? x | x ∈ R, 且x ≠

? ?

kπ 5π ? + , k ∈ z? 3 18 ?

值域为 R,周期 T = 在区间 ?

π
3

,是非奇非偶函数。

? kπ π kπ 5π ? ? , + ?(k ∈ z ) 上是增函数。 ? 3 18 3 18 ?

、随堂练习: (四) 随堂练习: 教材 P77 复习题一 A 组 1—11 、随堂练习 、课堂小结 (五) 课堂小结 、 本章涉及到的主要数学思想方法有那些?你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 、布置作业: (六) 布置作业: 教材 P77 复习题一 A 组 12—15 、布置作业 五、教后反思: 教后反思:

50


相关文章:
北师大版必修四第一章《三角函数》word教案.doc
北师大版必修四第一章《三角函数》word教案 - 北师大版高中数学必修 4 第一章《三角函数》全部教案 第一课时 一、教学目标 1、知识与技能: (1)了解周期现象...
北师大版高中数学必修四《半角的三角函数》教案.doc
北师大版高中数学必修四《半角的三角函数》教案 - 3.2 二倍角的正、余弦和正切 一.教学目标: 3.3 半角的三角函数 1.知识与技能 (1)能够由和角公式而导出...
高中数学必修四三角函数的应用教案北师大版Word版.doc
高中数学必修四三角函数的应用教案北师大版Word版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修四教案北师大版Word版 三角函数的应用 1.会用三角函数解决一些简单...
北师大版高中数学必修四《二倍角的三角函数》优质教案1....doc
北师大版高中数学必修四《二倍角的三角函数》优质教案1【精品】 - (此文档为 w
必修4 第一章 三角函数(北师大版).doc
必修4 第一章 三角函数(北师大版)_数学_高中教育_教育专区。富县高级中学集体...富县高级中学集体备课教案 8 年级:高一 课题 三维 目标 科目:数学 4.4 单位圆...
《三角函数的简单应用》教案 高中数学必修四北师大版.doc
《三角函数的简单应用》教案 高中数学必修四北师大版 - 三角函数的简单应用 学习
北师大版高中数学必修四《二倍角的三角函数》优质教案2....doc
北师大版高中数学必修四《二倍角的三角函数》优质教案2【精品】 - (此文档为 w
北师大版高中数学必修四《三角函数模型的简单应用》教案.doc
北师大版高中数学必修四《三角函数模型的简单应用》教案 - 1.6 三角函数模型的简单应用 教学目的: 1、通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学生初步学会由图象求...
北师大版必修四第一章《三角函数》word教案.doc
北师大版必修四第一章《三角函数》word教案 - 北师大版高中数学必修 4 第一章《三角函数》全部教案 合阳县黑池高中王成林 第一课时 §1.1 周期现象与周期函数...
普通高中数学必修4《任意角的三角函数》教案_图文.doc
普通高中数学必修4《任意角的三角函数》教案_数学_高中教育_教育专区。普通高中数学必修4《任意角的三角函数》教案,高中数学必修四三角函数知识点6,高中数学必修四...
高中数学第一章三角函数《角的概念的推广》教案北师大....doc
高中数学第一章三角函数《角的概念的推广》教案北师大版必修4 - §1.2 一、学目标 1.理解引入大于 角的概念的推广教案 角和负角的意义. 2.理解并掌握正、...
北师大版高中数学必修四《两角和与差的三角函数》教案.doc
北师大版高中数学必修四《两角和与差的三角函数》教案 - 3.2.3 一、新旧知识
【精选】北师大版必修四《半角的三角函数》word教案-数....doc
【精选】北师大版必修四《半角的三角函数》word教案-数学知识点总结 - 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、...
高中数学第一章《同角三角函数的关系》教案北师大版必修4.doc
高中数学第一章《同角三角函数的关系》教案北师大版必修4 - §8 同角三角函数的关系(1 课时) 教学目标: 知识与技能 (1)能根据三角函数的定义,导出同角三角...
高中数学复习与小结教案北师大版必修4.doc
高中数学复习与小结教案北师大版必修4 - 高中数学 复习与小结教案 北师大版必修 4 一、 教学目标: 1、 知识与技能 (1)了解本章的知识结构体系,在整体上有一...
...章《两角和与差的三角函数》教案2 北师大版必修4.doc
陕西省西安市高中数学 第三章《两角和与差的三角函数》教案2 北师大版必修4_数学_高中教育_教育专区。陕西省西安市高中数学 第三章《两角和与差的三角函数》...
高中数学北师大版必修4第三章《同角三角函数的基本关系....doc
高中数学北师大版必修4第三章《同角三角函数的基本关系》word教案2 - 同角三角函数的基本关系 教学目标: 1.进一步提高学生对三角函数定义的认识,通过本节课的...
【高中数学】第三章《两角和与差的三角函数》教案1北师....doc
高中数学】第三章《两角和与差的三角函数》教案1北师大版必修4 - 第三章 三角
18学年高中数学第一章三角函数3弧度制教学案北师大版必修4.doc
18学年高中数学第一章三角函数3弧度制教学案北师大版必修4 - 3 弧度制 [核
...三角函数9三角函数的简单应用教学案北师大版必修4.doc
2017_2018学年高中数学第一章三角函数9三角函数的简单应用教学案北师大版必修4 - 9 三角函数的简单应用 ?讲一讲 1.某海滨浴场的海浪高度 y(单位:m)是时间 t...
更多相关标签: