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2019高中数学人教A版必修5习题:第三章不等式 3.4.2

第 2 课时 基本不等式的应用 课时过关· 能力提升 基础巩固 1 已知 p,q∈R,若 pq=100,则 p2+q2 的最小值是 ( ). A.200 2 2 B.100 C.50 D.20 解析:p +q ≥2pq=200,当且仅当 p=q=10 或 p=q=-10 时,等号成立. 答案:A 2 在下列函数中,最小值为 2 的是( A.y=x B.y=3x+3-x C.y=lg x D.y=sin x 解析:选项 A 中,由于 x 可能为负,因此 y=x x ). 最小值不是2;选项 B 中,3x,3-x 都大于零,且 3x+3- ≥ - 当且仅当3x=3-x,即 x=0 时,等号成立,故 B 正确;选项 C 中,lgx<0,因此最小值不是 2; 取不到最小值2. 选项 D 中,由于 sinx∈(0,1),故 sinx 答案:B 3 若 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则( A.ab≤ C.a2+b2≥2 答案:C D.a2+b2≤3 ). 解析:取 a=1,b=1,则 ab=1,排除 A 项;取 a=0,b=2,则 ab=0,a2+b2=4,排除 B,D 两项,故选 C. 4 将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝 中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( A.6.5 m B.6.8 m ). 1 C.7 m D.7.2 m 解析:设直角三角形框架的两直角边分别为 am,bm,则 ab=4. 所用铁丝长度 l=a+b =4+ 答案:C 5 两直角边之和为 4 的直角三角形面积的最大值等于 答案:2 6 如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,若它的印刷面积为 72 dm2(图中阴影部分),上、下空白各宽 2 dm,左、右空白各宽 1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2. . ≈6.828, 当且仅当 a=b=2 时取等号. 答案:56 7 有一块半径为 2 m 的半圆形钢板,若裁成矩形的钢板,则矩形钢板的最大面积为 m2. 解析:设垂直于直径的边长为 xm, 则另一边长为 则 S=2 等号成立, 故当 x 答案:4 8 已知 a,b,c 都是实数,求证:a2+b2+c2≥ 证明因为 a,b,c∈R, 所以 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac. 将以上三式两边分别相加,得 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca), 在上式两边同时加上 a2+b2+c2,得 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2, 时,S=4,即 S 的最大值为 4. m, ≤4 - 当且仅当x2=4-x2,即 x 时, 2 即 a2+b2+c2≥ 9 某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直 角三角形,如果要求框架围成的总面积为 8 m2,那么 x,y 分别为多少时用料最省? 解由题意得 则y 则框架用料长度为 l=2x+2y+2 2 =16 ,即 x=8-42 时,等号成立,此时 y=22. 因此,当 x=810 若 a>0,b>0,且 (1)求 a3+b3 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 解(1)由 故 a3+b3≥ 所以 a +b 的最小值为 (2)由(1)知,2a+3b≥ 由于 从而不存在a,b,使得 2a+3b=6. 3 3 当且仅当 时用料最省. 得ab≥2,且当 a=b 当且仅当a=b 时,等号成立. 时,等号成立. 能力提升 1 若 a,b 是实数,且 a+b=3,则 2a+2b 的最小值是( A.6 解析:2a+2b≥ 答案:B B. 当且仅当2a=2b,即 a=b 时,等号成立. ). 3 2 在三棱锥 O-ABC 中,OA,OB,OC 两两垂直,若 OC=1,OA=x,OB=y,x+y=4,则三棱锥 O-ABC 体积的 最大值是( A 解析:V · OA· S△OBC · OA·· OB· OC · x·· y· 1 ). 因为 x+y=4,x>0,y>0, 所以 4=x+y≥ 所以 V 答案:A 3 某公司租地建仓库,每月租金 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费 y2 与到车 站的距离成正比.如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 与 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么, 要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 解析:设仓库建在离车站 d 千米处, 设 y1 由 y1=2 得k1=20,∴y1 千米处. 所以xy≤4. 当且仅当x=y=2 时,等号成立. 由 y2=8=10k2,得 k2 ∴y1+y2 当且仅当 答案:5 4 一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/时匀速直达 B 市,已知两地铁路线长 400 千米,为了安全, 两列货车的间距不得小 于 千米 这批货物全部运到 市 最快需要 小时 不计货车的身长 即d=5 时,两项费用之和最小. 解析:设这批货物从 A 市全部运到 B 市的时间为 t,则 t ≥ 小时), 4 当且仅当 此时 t=8 小时. 答案:8 ★ 即v=100 时等号成立, 5 某种汽车的购车费用为 10 万元,每年的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元,年维修费第一 年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元.求这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少. 解设汽车使用 x 年时,它的年平均费用最少.由年维修费第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元,可 知汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项,0.2 万元为公差的等差数列,因此,汽车使用 x 年时总的维修 费用为 万元. 设汽车的年平均费用为 y 万元, 则y =1 当且仅当 ≥1+ 即x=10 时,y 取得最小值. 故这种汽车使用 10 年时,它的年平均费用最少. ★ 6(1)已知 a,b,c>0

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